曾建英

綜合題常以函數(shù)與圖形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、特殊圖形的性質(zhì)與判定、畫(huà)圖分析與列方程求解等問(wèn)題融為一體，此類(lèi)題具有涉及的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、方法靈活的特點(diǎn)，既考查了數(shù)學(xué)核心知識(shí)，也考查了重要的數(shù)學(xué)思想方法。

例題 如圖1，已知點(diǎn)A（6■，0），B（0，6），經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。 ■

⑴用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵過(guò)O作OC⊥AB于C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，問(wèn)：t為何值時(shí)，以P為圓心、1為半徑的圓與直線(xiàn)OC相切？并說(shuō)明此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系。

1.從條件出發(fā)進(jìn)行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我們可以得到OA、OB的長(zhǎng)度。 “點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度的相互轉(zhuǎn)化”是解決圖形與坐標(biāo)問(wèn)題的金鑰匙，可知△AOB是個(gè)直角三角形。確定△AOB的形狀非常重要，因?yàn)?，在綜合題中，適當(dāng)?shù)剡x擇或構(gòu)造直角三角形，就為運(yùn)用勾股定理、銳角三角形函數(shù)，甚至為相似的運(yùn)用準(zhǔn)備了條件，而直角三角形是實(shí)現(xiàn)幾何計(jì)算的常用載體。

⑵“經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)”這一條件理解起來(lái)比較困難。對(duì)于這種同時(shí)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為分兩次運(yùn)動(dòng)來(lái)理解，即點(diǎn)P從B沿BA方向運(yùn)動(dòng)t秒，即BP=t，然后向下運(yùn)動(dòng)（平移）t秒，即OB由6變?yōu)?-t。用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的變量，為列式解答做好準(zhǔn)備。

2.從問(wèn)題入手進(jìn)行分析

問(wèn)題⑴中，“用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)”，要得到坐標(biāo)，一般有兩種方法，一是通過(guò)解析求坐標(biāo)，這種方法叫做解析式法（代數(shù)法）；二是由邊的長(zhǎng)度來(lái)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，這種方法稱(chēng)之為圖形法（幾何法）。本題采用后一種辦法，此法一般都要選擇或構(gòu)造與坐標(biāo)軸互相垂直（或平行）的線(xiàn)段，并計(jì)算相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度。計(jì)算這種線(xiàn)段的長(zhǎng)度要充分利用線(xiàn)段間的和差關(guān)系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如圖2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

問(wèn)題⑵要探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往“線(xiàn)段的長(zhǎng)度”是不可或缺的條件。所以在思考上，我們要圍繞“特殊的位置”“特殊的數(shù)量”“特殊的圖形”三個(gè)角度來(lái)思考，它們?nèi)叩年P(guān)系是互為依存、相互支撐的?！皥A與直線(xiàn)OC相切”這是特殊的位置，我們可以假定此位置、此圖形的存在，然后圍繞此結(jié)論存在所需要的數(shù)量條件建立方程式，解方程。（解答過(guò)程略）

反思總結(jié)

1.在探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往是從圖形特殊的位置、特殊圖形判定尋找突破，最后由特殊的數(shù)量關(guān)系來(lái)一錘定音，前者給我們提供計(jì)算的依據(jù)和方法。

2.要善于用含未知數(shù)的式子表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，這是在解答動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題的關(guān)鍵所在。在這一過(guò)程中要充分觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用線(xiàn)段之間和差關(guān)系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的圖形功能。

3.要善于利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與直角三角形之間邊與角的關(guān)系、勾股定理來(lái)構(gòu)建方程。大多數(shù)幾何計(jì)算問(wèn)題的解決，很大程度上取決于“相關(guān)直角三角形的選取和構(gòu)造”或“相似三角形的選取和構(gòu)造”。此外，利用特殊圖形的特有的數(shù)量關(guān)系、圖形的面積公式也是建立方程的手段，也不能忽視?！簦ㄗ髡邌挝唬航魇∮诙伎h第六中學(xué)）

□責(zé)任編輯：周瑜芽endprint

綜合題常以函數(shù)與圖形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、特殊圖形的性質(zhì)與判定、畫(huà)圖分析與列方程求解等問(wèn)題融為一體，此類(lèi)題具有涉及的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、方法靈活的特點(diǎn)，既考查了數(shù)學(xué)核心知識(shí)，也考查了重要的數(shù)學(xué)思想方法。

例題 如圖1，已知點(diǎn)A（6■，0），B（0，6），經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。 ■

⑴用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵過(guò)O作OC⊥AB于C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，問(wèn)：t為何值時(shí)，以P為圓心、1為半徑的圓與直線(xiàn)OC相切？并說(shuō)明此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系。

1.從條件出發(fā)進(jìn)行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我們可以得到OA、OB的長(zhǎng)度。 “點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度的相互轉(zhuǎn)化”是解決圖形與坐標(biāo)問(wèn)題的金鑰匙，可知△AOB是個(gè)直角三角形。確定△AOB的形狀非常重要，因?yàn)?，在綜合題中，適當(dāng)?shù)剡x擇或構(gòu)造直角三角形，就為運(yùn)用勾股定理、銳角三角形函數(shù)，甚至為相似的運(yùn)用準(zhǔn)備了條件，而直角三角形是實(shí)現(xiàn)幾何計(jì)算的常用載體。

⑵“經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)”這一條件理解起來(lái)比較困難。對(duì)于這種同時(shí)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為分兩次運(yùn)動(dòng)來(lái)理解，即點(diǎn)P從B沿BA方向運(yùn)動(dòng)t秒，即BP=t，然后向下運(yùn)動(dòng)（平移）t秒，即OB由6變?yōu)?-t。用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的變量，為列式解答做好準(zhǔn)備。

2.從問(wèn)題入手進(jìn)行分析

問(wèn)題⑴中，“用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)”，要得到坐標(biāo)，一般有兩種方法，一是通過(guò)解析求坐標(biāo)，這種方法叫做解析式法（代數(shù)法）；二是由邊的長(zhǎng)度來(lái)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，這種方法稱(chēng)之為圖形法（幾何法）。本題采用后一種辦法，此法一般都要選擇或構(gòu)造與坐標(biāo)軸互相垂直（或平行）的線(xiàn)段，并計(jì)算相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度。計(jì)算這種線(xiàn)段的長(zhǎng)度要充分利用線(xiàn)段間的和差關(guān)系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如圖2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

問(wèn)題⑵要探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往“線(xiàn)段的長(zhǎng)度”是不可或缺的條件。所以在思考上，我們要圍繞“特殊的位置”“特殊的數(shù)量”“特殊的圖形”三個(gè)角度來(lái)思考，它們?nèi)叩年P(guān)系是互為依存、相互支撐的?！皥A與直線(xiàn)OC相切”這是特殊的位置，我們可以假定此位置、此圖形的存在，然后圍繞此結(jié)論存在所需要的數(shù)量條件建立方程式，解方程。（解答過(guò)程略）

反思總結(jié)

1.在探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往是從圖形特殊的位置、特殊圖形判定尋找突破，最后由特殊的數(shù)量關(guān)系來(lái)一錘定音，前者給我們提供計(jì)算的依據(jù)和方法。

2.要善于用含未知數(shù)的式子表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，這是在解答動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題的關(guān)鍵所在。在這一過(guò)程中要充分觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用線(xiàn)段之間和差關(guān)系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的圖形功能。

3.要善于利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與直角三角形之間邊與角的關(guān)系、勾股定理來(lái)構(gòu)建方程。大多數(shù)幾何計(jì)算問(wèn)題的解決，很大程度上取決于“相關(guān)直角三角形的選取和構(gòu)造”或“相似三角形的選取和構(gòu)造”。此外，利用特殊圖形的特有的數(shù)量關(guān)系、圖形的面積公式也是建立方程的手段，也不能忽視?！簦ㄗ髡邌挝唬航魇∮诙伎h第六中學(xué)）

□責(zé)任編輯：周瑜芽endprint

綜合題常以函數(shù)與圖形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、特殊圖形的性質(zhì)與判定、畫(huà)圖分析與列方程求解等問(wèn)題融為一體，此類(lèi)題具有涉及的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、方法靈活的特點(diǎn)，既考查了數(shù)學(xué)核心知識(shí)，也考查了重要的數(shù)學(xué)思想方法。

例題 如圖1，已知點(diǎn)A（6■，0），B（0，6），經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。 ■

⑴用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑵過(guò)O作OC⊥AB于C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，問(wèn)：t為何值時(shí)，以P為圓心、1為半徑的圓與直線(xiàn)OC相切？并說(shuō)明此時(shí)⊙P與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系。

1.從條件出發(fā)進(jìn)行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我們可以得到OA、OB的長(zhǎng)度。 “點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度的相互轉(zhuǎn)化”是解決圖形與坐標(biāo)問(wèn)題的金鑰匙，可知△AOB是個(gè)直角三角形。確定△AOB的形狀非常重要，因?yàn)?，在綜合題中，適當(dāng)?shù)剡x擇或構(gòu)造直角三角形，就為運(yùn)用勾股定理、銳角三角形函數(shù)，甚至為相似的運(yùn)用準(zhǔn)備了條件，而直角三角形是實(shí)現(xiàn)幾何計(jì)算的常用載體。

⑵“經(jīng)過(guò)A、B的直線(xiàn)l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線(xiàn)上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)”這一條件理解起來(lái)比較困難。對(duì)于這種同時(shí)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為分兩次運(yùn)動(dòng)來(lái)理解，即點(diǎn)P從B沿BA方向運(yùn)動(dòng)t秒，即BP=t，然后向下運(yùn)動(dòng)（平移）t秒，即OB由6變?yōu)?-t。用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的變量，為列式解答做好準(zhǔn)備。

2.從問(wèn)題入手進(jìn)行分析

問(wèn)題⑴中，“用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)”，要得到坐標(biāo)，一般有兩種方法，一是通過(guò)解析求坐標(biāo)，這種方法叫做解析式法（代數(shù)法）；二是由邊的長(zhǎng)度來(lái)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，這種方法稱(chēng)之為圖形法（幾何法）。本題采用后一種辦法，此法一般都要選擇或構(gòu)造與坐標(biāo)軸互相垂直（或平行）的線(xiàn)段，并計(jì)算相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度。計(jì)算這種線(xiàn)段的長(zhǎng)度要充分利用線(xiàn)段間的和差關(guān)系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如圖2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

問(wèn)題⑵要探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往“線(xiàn)段的長(zhǎng)度”是不可或缺的條件。所以在思考上，我們要圍繞“特殊的位置”“特殊的數(shù)量”“特殊的圖形”三個(gè)角度來(lái)思考，它們?nèi)叩年P(guān)系是互為依存、相互支撐的?！皥A與直線(xiàn)OC相切”這是特殊的位置，我們可以假定此位置、此圖形的存在，然后圍繞此結(jié)論存在所需要的數(shù)量條件建立方程式，解方程。（解答過(guò)程略）

反思總結(jié)

1.在探索形成特定圖形所具有的特定條件，往往是從圖形特殊的位置、特殊圖形判定尋找突破，最后由特殊的數(shù)量關(guān)系來(lái)一錘定音，前者給我們提供計(jì)算的依據(jù)和方法。

2.要善于用含未知數(shù)的式子表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，這是在解答動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題的關(guān)鍵所在。在這一過(guò)程中要充分觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用線(xiàn)段之間和差關(guān)系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的圖形功能。

3.要善于利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與直角三角形之間邊與角的關(guān)系、勾股定理來(lái)構(gòu)建方程。大多數(shù)幾何計(jì)算問(wèn)題的解決，很大程度上取決于“相關(guān)直角三角形的選取和構(gòu)造”或“相似三角形的選取和構(gòu)造”。此外，利用特殊圖形的特有的數(shù)量關(guān)系、圖形的面積公式也是建立方程的手段，也不能忽視?！簦ㄗ髡邌挝唬航魇∮诙伎h第六中學(xué)）

□責(zé)任編輯：周瑜芽endprint