楊 碩，謝文海，劉德民

(1.大連大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧大連116622;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫214122)

如果運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)受到的力及其作用線總是通過空間中某一固定點(diǎn)，這種力叫做有心力［1］。理論物理學(xué)中有心力包括萬有引力，重力，靜電力，部分磁場(chǎng)力等［2］。通過有心力理論分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況，在天體研究、原子結(jié)構(gòu)與核力研究、太空安全和相關(guān)技術(shù)發(fā)展、先進(jìn)通訊、地球資源探測(cè)和軍事偵探等方面具有重要的意義［3］。有心力是理論力學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中，常見的有心力實(shí)例如天體間萬有引力和電子受庫侖力作用在原子核內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，無合適的實(shí)驗(yàn)和教具展示，學(xué)生難以建立物理直觀圖像，難以深刻理解有關(guān)內(nèi)容。本文研究運(yùn)用Mathematica進(jìn)行編程，直觀、清晰地展示有心力下物體的運(yùn)動(dòng)，以此輔助理論力學(xué)教學(xué)。Mathematica［4］是美國Wolfram Research公司開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，功能強(qiáng)大，使用方便，能進(jìn)行微分、積分、微分方程式求解等運(yùn)算。其內(nèi)置了大量而豐富的內(nèi)部數(shù)據(jù)處理函數(shù)，僅僅需要簡單的命令就可以計(jì)算函數(shù)和繪制圖形。Mathematica還可進(jìn)行人機(jī)交互，通過簡單的命令即時(shí)顯現(xiàn)圖像和數(shù)值的變化，動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)物理圖像隨物理參數(shù)變化效果。此外，Mathematica平臺(tái)在互聯(lián)網(wǎng)上分享很多專業(yè)程序包和演示項(xiàng)目。理論力學(xué)問題通常涉及復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)計(jì)算，運(yùn)用Mathematica輔助理論力學(xué)研究有助于提高物理教學(xué)效果。Mathematica展示動(dòng)畫是基于科學(xué)公式計(jì)算的，與Flash等動(dòng)畫制作軟件相比更加科學(xué)準(zhǔn)確。本文研究利用Mathematica軟件探究有心力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，繪制運(yùn)動(dòng)圖線，展示質(zhì)點(diǎn)在有心力下的運(yùn)動(dòng)過程，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，有利于學(xué)生建立物理情景，加深對(duì)物理概念和規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

1 平方反比引力下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道

通過推導(dǎo)可知，在平方反比引力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相應(yīng)方程是

這是極坐標(biāo)下典型的圓錐曲線方程［1］。在實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)方程和曲線圖形理解困難。通過Mathematica內(nèi)置的極坐標(biāo)畫圖函數(shù)PolarPlot和可視交互命令Manipulate，繪制隨著離心率e的不同而變化的圓錐曲線。在式(1)中，設(shè)p=1，拖動(dòng)參數(shù)滑動(dòng)塊，改變離心率e值，Mathematica可及時(shí)、動(dòng)態(tài)地展示圓錐曲線相應(yīng)不同離心率的圖線，展現(xiàn)了圖像動(dòng)態(tài)變化的效果，有助于學(xué)生理解有關(guān)內(nèi)容。在Mathematica工作窗口輸入 Manipulate［PolarPlot［1/(1+e*cos［t］)，{t，0，2Pi}，{e，0，2}］，移動(dòng)滑塊，改變 e 值，得到圖形如圖 1所示。

圖1 隨離心率e的變化，圓錐曲線的變化

2 開普勒定律和兩體運(yùn)動(dòng)的Mathematica模擬

圖2 開普勒第二定律的計(jì)算機(jī)模擬

在很多力學(xué)教材中，開普勒定律和兩體問題是有心力教學(xué)中的重要內(nèi)容。由于缺乏合適的展示教具，很多教師在實(shí)際教學(xué)中只注重開普勒的定律公式的推導(dǎo)及物理定理的證明。運(yùn)用Mathematica進(jìn)行有關(guān)的動(dòng)畫制作和展示，有助于學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的掌握。此處，運(yùn)用Mathematica網(wǎng)絡(luò)資源平臺(tái)分享的開普勒第二定律演示動(dòng)畫，圖2為相應(yīng)于離心率0.86和0.5時(shí)，在不同時(shí)間段內(nèi)太陽和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線掃過的面積示意圖。在遠(yuǎn)日點(diǎn)附近相對(duì)引力小，行星加速度小，單位時(shí)間轉(zhuǎn)過的角度小，但是由于與力心連線的距離遠(yuǎn)掃過的面積并不小;在近日點(diǎn)附近，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度快，單位時(shí)間連線掃過的角度大。雖然行星在不同區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過角度不同，但是正是在有心力作用下，太陽和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。此外，借助Mathematica還可以方便地改變行星運(yùn)動(dòng)軌道的離心率，形象地展示不同離心率下開普勒第二定律是普遍適用的。

選取一固定參考系，由開普勒第一定律可知，行星圍繞著太陽做橢圓運(yùn)動(dòng)，由開普勒第三定律的修正，太陽也圍繞著行星做橢圓運(yùn)動(dòng)，這就構(gòu)成兩體運(yùn)動(dòng)問題。兩體的質(zhì)量不同，離心力不同，運(yùn)動(dòng)軌道的形狀就有差異。從理論上分析，質(zhì)量大的物體軌道小，質(zhì)點(diǎn)小的物體運(yùn)動(dòng)軌道大。若離心率不同，運(yùn)動(dòng)的軌道難以想象，抽象程度高。由Mathematica自定義函數(shù)，利用如上開普勒三大定律定義 r［ε_(tái)，θ_］:=5/(1+εcos［θ－π/4］))，即r為ε和θ的函數(shù)，x，y也為ε和θ的函數(shù)，對(duì)其編程操作，不僅能能夠展現(xiàn)出不同離心率的運(yùn)動(dòng)軌道圖樣，還能控制物體的運(yùn)動(dòng)，展現(xiàn)不同質(zhì)量比和不同離心率的運(yùn)動(dòng)圖景。圖3中，當(dāng)物體質(zhì)量比為1，離心率為0時(shí)，其兩物體相向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)在同一條軌道上。當(dāng)質(zhì)量相同時(shí)，物體軌道也相同。但離心率為0.5，繞兩軌道中心做橢圓運(yùn)動(dòng)。

圖3 質(zhì)量相同離心率不同時(shí)兩體運(yùn)動(dòng)軌道的對(duì)比

圖4 質(zhì)量比較小時(shí)，離心率不同的兩體運(yùn)動(dòng)的對(duì)比

當(dāng)物體質(zhì)量比不同時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道大小不同，且離心率不同，軌道大小也不同，如圖4所示。質(zhì)量比大時(shí)，大質(zhì)量物體幾乎不運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量小的物體軌道變化較大變化。如圖5所示，大質(zhì)量物體沒有顯示運(yùn)動(dòng)軌道。

在圖像變化中小物體離質(zhì)量大的物體較近時(shí)運(yùn)動(dòng)速度快，較遠(yuǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)速度慢，符合開普勒第二定律。通過演示，讓學(xué)生的理論分析得到證實(shí)，驗(yàn)證了開普勒第二定律的正確性和合理性。此外，還可以指導(dǎo)學(xué)生探究質(zhì)量比小于1的兩體運(yùn)動(dòng)規(guī)律、離心率大于一的兩體運(yùn)動(dòng)規(guī)律等。

圖5 質(zhì)量比較大時(shí)，離心率不同的兩體運(yùn)動(dòng)的對(duì)比

3 任意冪有心力問題的探討與研究

一般來說，有心力與距離呈冪指數(shù)的形式為

質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用下的有心運(yùn)動(dòng)屬于非線性動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)其問題求解需要用更復(fù)雜的數(shù)學(xué)，理論分析較麻煩。在Mathematica中，用數(shù)值模擬，可以任意選擇每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始條件:質(zhì)點(diǎn)的位矢初始坐標(biāo)r0(x0，y0)和初始速度v0(v0x，v0y)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡一般是不閉合的，軌道離力心最遠(yuǎn)點(diǎn)或最近的點(diǎn)叫做拱點(diǎn)，兩相鄰拱點(diǎn)矢徑間的夾角稱為拱角［1］。利用Mathematica互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)上分享的展示項(xiàng)目，A=5，x0=－0.62，y0= －0.84，v0x=0.75，v0y= －0.66，在一定的時(shí)間內(nèi)顯示，設(shè) t0為單位時(shí)間，當(dāng) n=1，n=2 時(shí)，相應(yīng)有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖6 n=1 質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 n=2 質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)n=1時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道如圖6所示，軌道為不閉合曲線，質(zhì)點(diǎn)在30個(gè)單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)的過程。我們可以觀察質(zhì)點(diǎn)一方面繞力心運(yùn)動(dòng)，同時(shí)軌道本身還繞力心轉(zhuǎn)動(dòng)，軌道繞力心轉(zhuǎn)動(dòng)稱為軌道的進(jìn)動(dòng)［1］。當(dāng)n=2時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道如圖7所示，此運(yùn)動(dòng)圖象較簡單，且運(yùn)動(dòng)圖像是一個(gè)閉合的圖像，在2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)已閉合。當(dāng)n不同，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道不同，運(yùn)動(dòng)圖像差異較大。通過Mathematica也可以探究n=3，4，5等時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由此激發(fā)學(xué)生對(duì)有心力規(guī)律的探究和學(xué)習(xí)動(dòng)力。

4 結(jié)語

本文通過有心力的三個(gè)實(shí)例展示在有心力作用下物體的運(yùn)動(dòng)過程，探討如何通過Mathmatica軟件輔助有心力教學(xué)。在有心力的教學(xué)運(yùn)用和實(shí)踐過程中優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)了教學(xué)質(zhì)量的提高，加深了學(xué)生對(duì)在有心力下物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解。

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