宋子君

有一次，著名物理學(xué)家愛因斯坦病了，他的一位朋友給他出了一道題消遣：

“時(shí)鐘上的針指向12點(diǎn)鐘，在這個(gè)位置如果把長針和短針對(duì)調(diào)一下，它們所指示的位置還是合理的. 但是在有的時(shí)候，比如6點(diǎn)鐘，時(shí)針和分針就不能對(duì)調(diào).否則會(huì)出現(xiàn)時(shí)針指12，而分針指6，這種情況是不可能的.

問針在什么位置時(shí)，時(shí)針和分針可以對(duì)調(diào)，使得新位置仍能指示某一實(shí)際上可能的時(shí)刻？”

愛因斯坦說：“這對(duì)于病人確實(shí)提了一個(gè)很有意思的問題，有趣味而不太容易. 只是消磨不了多少時(shí)間，我已經(jīng)快解出來了.”說著他在紙上就解起來了.

愛因斯坦畫了個(gè)草圖. 鐘盤上共有60個(gè)刻度.分針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度是時(shí)針的12倍.

設(shè)所求的時(shí)針的位置是x點(diǎn)y分，此時(shí)分針在離12點(diǎn)有y個(gè)刻度的位置，時(shí)針在離12點(diǎn)有z個(gè)刻度的地方.

時(shí)針走一點(diǎn)時(shí)，分針要轉(zhuǎn)一圈，也就是要轉(zhuǎn)60個(gè)刻度. 如果時(shí)針指向x點(diǎn)鐘，分針要轉(zhuǎn)x圈，要轉(zhuǎn)過60x個(gè)刻度. 現(xiàn)在時(shí)針指向x點(diǎn)y分，分針從12點(diǎn)起已轉(zhuǎn)過了60x+y個(gè)刻度. 由于時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度是分針的十二分之一，所以時(shí)針轉(zhuǎn)過的刻度是z=個(gè).

把時(shí)針、分針對(duì)調(diào)以后，設(shè)所指時(shí)刻為x1點(diǎn)z分，這時(shí)時(shí)針離12點(diǎn)有y個(gè)刻度，y=個(gè).

這樣就得到了一個(gè)不定方程組：

z

=；

y

=.

其中x1和x是不大于11的正整數(shù)或0.

讓x1和x取0到11的各種數(shù)值時(shí)，可以搭配出144組解. 但是當(dāng)x=0，x1=0時(shí)是時(shí)針、分針同時(shí)指向12點(diǎn)；而x=11，x1=11時(shí)算出y=60，z=60是11點(diǎn)60分，即12點(diǎn). 這樣x=0，x1=0與x=11，x1=11是同一組解. 因此，這組不定方程只有143組解.

比如，當(dāng)x=1，x1=1時(shí)，解出y=5，z=5，說明1點(diǎn)5分時(shí)，兩針重合，可以對(duì)調(diào)；

當(dāng)x=2，x1=3時(shí)，解出y=15，z=11，就是2點(diǎn)15分與3點(diǎn)11分兩針可以對(duì)調(diào).

愛因斯坦的朋友十分欽佩他的解題能力.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）