張應應

(重慶大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 401331)

0 引言

異常值實質(zhì)上存在于任何應用領域的任一數(shù)據(jù)集。為了避免異常值的影響，需要使用穩(wěn)健性估計量。多元均值和協(xié)方差陣的經(jīng)典估計量是樣本均值和樣本協(xié)方差陣。如果數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體的話，它們是最優(yōu)的估計量，但是它們對異常值非常敏感。如果數(shù)據(jù)中有異常值，異常值會影響樣本均值和樣本協(xié)方差陣，從而會影響依賴于它們的經(jīng)典因子分析[1]。因此有必要考慮使用樣本均值和樣本協(xié)方差陣的穩(wěn)健性估計量。

本文所采用的數(shù)據(jù)是上證A股2013-09-30三季度財務數(shù)據(jù)，共有957只股票（樣本），10個財務指標（變量），數(shù)據(jù)下載自免費的大智慧軟件。為了更加客觀地對待每一個樣本點，本文采用穩(wěn)健性因子分析。使用的上市公司財務量化指標包括：主營業(yè)務收入(x1，元)、主營業(yè)務利潤(x2，元)、利潤總額(x3，元)、凈利潤(x4，元)、每股收益(x5，元)、每股凈資產(chǎn)(x6，元)、凈資產(chǎn)收益率(x7，%)、總資產(chǎn)收益率(x8，%)、資產(chǎn)總計(x9，元)、股本(x10)。需要說明的是，大智慧軟件中沒有總資產(chǎn)收益率這個指標，但它可以由公式

計算得到。本文采用R軟件[2]進行計算。

1 實證

從圖1可以看出異常點在經(jīng)典因子分析中的影響。我們所采用的數(shù)據(jù)是經(jīng)典的Hawkins，Bradu and Kass(hbk)數(shù)據(jù)集，它來自軟件包robustbase[3]，有75個樣本，4個變量（一個響應變量，三個解釋變量）。前10個樣本是壞的杠桿點，11～14樣本是好的杠桿點（即：它們的x部分是異常的，但是它們的y部分對模型擬合得很好）。在這里我們只考慮hbk數(shù)據(jù)集的x部分。左圖顯示的是經(jīng)典因子分析前兩個因子的散點圖，前兩個因子解釋了總方差的99.4%。異常點（1～14）被有效地區(qū)分了出來，但是正常點遠離原點（因子得分的樣本均值理應在原點，因為因子得分是從樣本相關陣出發(fā)計算的）。此外，97.5%的置信橢圓沒有覆蓋正常點，這表明置信橢圓被異常點嚴重地影響了（注意：經(jīng)典因子分析的置信橢圓并不一定要比穩(wěn)健性因子分析的置信橢圓大，置信橢圓的大小由特征值的大小確定）。右圖顯示的是穩(wěn)健性因子分析前兩個因子的散點圖，前兩個因子解釋了總方差的71.5%。我們發(fā)現(xiàn)穩(wěn)健性因子得分的樣本均值沒有受到異常點的影響，并且異常點被97.5%的置信橢圓很好地區(qū)分開來。進一步計算因子得分的樣本均值，我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)典因子分析的因子得分在所有點的樣本均值為0(3.700743e-18,4.302114e-18)，而在正常點上不為0(4.545664,1.874009)；穩(wěn)健性因子分析的因子得分在所有點的樣本均值不為0(-0.3613164,-0.3013054)，而 在 正 常 點 上 為 0(1.069557e-16,2.832434e-17)。

圖1 hbk數(shù)據(jù)集前兩個因子的散點圖:經(jīng)典的和穩(wěn)健性的

下面我們利用FaCov()函數(shù)計算穩(wěn)健性因子分析。它的一般使用格式為：FaCov(x,factors=2,cor=FALSE,cov.control=CovControlMcd(),method=c(“mle”,“pca”,“pfa”),scoresMethod=c(“none”,“regression”,“Bartlett”),...)

其中x是一個數(shù)值矩陣或者是一個可以強制為數(shù)值矩陣的對象（如數(shù)據(jù)框）。factors是因子個數(shù)，默認值為2。cor是一個邏輯變量，如果cor=TRUE則用相關陣進行計算，如果cor=FALSE（默認值）則用協(xié)方差陣進行計算。cov.control用來確定用什么樣的穩(wěn)健性估計量來計算穩(wěn)健性樣本均值和穩(wěn)健性樣本協(xié)方差陣，它的取值為類為CovControl的對象，默認值為CovControlMcd()，這時所取的穩(wěn)健性估計量為MCD。如果cov.control=NULL，則用經(jīng)典的估計量來計算樣本均值和樣本協(xié)方差陣。method是因子分析所用的方法，它的取值為“mle”（默認值，極大似然法），“pca”（主成分法）和“pfa”（主因子法）。scoresMethod表示計算因子得分的方法，默認值是“none”（即不計算因子得分），“regression”表示用回歸法計算Thompson因子得分，“Bartlett”表示用加權(quán)最小二乘法計算Bartlett因子得分。

既然計算因子分析的方法有“mle”，“pca”和“pfa”3種，而cov.control的取值有CovControlOgk()，CovControlMcd()，CovControlMest()，CovControlMve()，CovControlSde()，Cov-ControlSest()等6種。那么哪一種配對是最佳的呢？我們采用的準則是選擇使殘差矩陣E的元素平方和Q(E)最小的方法。見文獻[5]。其中

結(jié)果見表1。同時我們也計算了3種因子分析方法下經(jīng)典估計量的Q(E)。在表1中Q(E)最小的組合是(pfa,Classic)，但是由經(jīng)典估計量計算的樣本均值和樣本協(xié)方差陣嚴重地受到了異常點的影響，所以我們在剩下的穩(wěn)健性估計量中選擇最小的Q(E )，它就是組合(pfa,Sde)，此時的Q(E)=0.09865221。注意：表1中的結(jié)果是在set.seed(2)下得到的，如果不set.seed，則每次運行的結(jié)果會稍有不同，但是對此數(shù)據(jù)集在絕大多數(shù)情況下，組合(pfa,Sde)得到的Q(E)都是最好的。并且對某些set.seed，method=“mle”會報錯，比如當set.seed(5)時，method=“mle”且cov-Control=CovControlMve()會報錯。

表1 各種因子分析方法和估計量下的Q(E)

圖2 Stock數(shù)據(jù)的distance-distance圖

現(xiàn)在我們利用robustfa[4]軟件包中plot-utils.R中的myplotDD()函數(shù)來畫類為Cov的對象，如圖2所示。此處使用的穩(wěn)健性估計量是Sde估計量，從表1可以看出，組合(pfa,Sde)可以使殘差矩陣的元素平方和達到最小。我們發(fā)現(xiàn)穩(wěn)健性馬氏距離比經(jīng)典馬氏距離要大得多。異常點的穩(wěn)健性馬氏距離非常大。myplotDD()是rrcov軟件包中plot-utils.R中的.myddplot()函數(shù)的改進版。在myplotDD()中，id.n和ind顯示出來了。其中id.n是異常點數(shù)，并且用記號把它們標志出來。默認狀態(tài)下，id.n是穩(wěn)健性馬氏距離大于cutoff的樣本點數(shù)，其中默認狀態(tài)下cutoff=sqrt(qchisq(0.975,p))。ind是穩(wěn)健性馬氏距離大于cutoff的樣本點的標號。

從結(jié)果可以看出cutoff=4.525834。有id.n=371個樣本點的穩(wěn)健性馬氏距離大于cutoff，即有id.n=371個異常點。sort.y是一個列表，它包含了y的升序排列，y就是穩(wěn)健性馬氏距離向量。sort.y$x是y的升序排列，sort.y$ix是sort.y的樣本點序號。ind顯示的是異常樣本點的序號。

可以計算由經(jīng)典估計量和穩(wěn)健性Sde估計量計算的樣本相關陣。它們的差異非常大，說明異常點嚴重地影響了經(jīng)典的樣本相關陣。

表2給出由經(jīng)典估計量和穩(wěn)健性Sde估計量計算的旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣、共性方差、因子F對原始變量的貢獻、貢獻率和累積貢獻率。從表2可以看出對于由經(jīng)典估計量計算的因子載荷矩陣，因子1解釋x2、x3、x4、x9、x10，并且在x1上面有中等偏小的載荷，因此該因子可稱為股票的規(guī)模因子；因子2解釋x5、x6、x7、x8，因此該因子可稱為股票的收益率因子；因子3解釋x1，并且在x2上面有中等偏小的載荷，因此該因子可稱為股票的主營因子。對于由穩(wěn)健性Sde估計量計算的因子載荷矩陣，因子1解釋x3、x4、x5、x7、x8，并且在x2、x6上面有中等偏小的載荷，因此該因子可稱為股票的收益率因子；因子2解釋x10，并且在x1、x2、x3、x4、x9上面有中等偏小的載荷，因此該因子可稱為股票的規(guī)模因子；因子3解釋x1、x2、x6、x9，并且在x3、x4、x5上面有中等偏小的載荷，因此該因子可稱為股票的資產(chǎn)主營因子。因此經(jīng)典估計量的因子1（因子2）與穩(wěn)健性Sde估計量的因子2（因子1）相似。在以后的畫圖和按因子得分的數(shù)值大小由高到低排序中有所體現(xiàn)。注意到在表2中，對于共性方差，在由經(jīng)典估計量計算的因子載荷矩陣中，有3個變量（每股凈資產(chǎn)x6、凈資產(chǎn)收益率x7、總資產(chǎn)收益率x8）的共性方差小于0.5，而在由穩(wěn)健性Sde估計量計算的因子載荷矩陣中，只有1個變量（每股凈資產(chǎn)x6）的共性方差小于0.5。

表2 經(jīng)典估計量和穩(wěn)健性Sde估計量計算的旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣等結(jié)果

兩種估計量相關陣的特征值的碎石圖的差別不是特別明顯，這里省略。

圖3畫的是兩種估計量前兩個因子得分的散點圖和97.5%置信橢圓?？梢钥闯鼋?jīng)典的置信橢圓包含了異常點，而穩(wěn)健性Sde估計量的置信橢圓有效地區(qū)分了正常點和異常點。

圖3 經(jīng)典估計量（左圖）和穩(wěn)健性Sde估計量（右圖）前兩個因子得分的散點圖和97.5%置信橢圓

下面分別按因子得分的數(shù)值大小由高到低排序列于表3、表4和表5，限于篇幅，每張表只列出了排在前兩位和后兩位的股票。在表3中，各股票的順序反映了股票的收益率由高到低的排序。同樣，表4的股票順序反映了股票的規(guī)模由大到小的排序，表5的股票順序反映了股票的主營/資產(chǎn)主營由多到少的排序。

2 討論

經(jīng)計算，在表3至表5的前10名和最后10名中（共60只股票），經(jīng)典估計量的所有股票均為異常點，穩(wěn)健性Sde估計量除了安信信托以外的所有股票也均為異常點。這種現(xiàn)象是正常的，因為因子得分取極大/小值的樣本點很可能是異常點。

由于經(jīng)典估計量的樣本均值和樣本相關陣極大地受到了異常點的影響，所以由經(jīng)典估計量計算的因子得分結(jié)果不可信賴。以下我們只分析由穩(wěn)健性Sde估計量計算的因子得分。對于穩(wěn)健性Sde估計量，由表3、表4和表5可知，三個因子得分的取值范圍分別是 -135.824≤Factor1≤31.410，-10.185≤Factor2≤860.061，-8.047≤Factor3≤1624.999，雖然各因子得分的最大值和最小值關于零不對稱，甚至很不對稱，但因子得分在正常點的平均值都是零。若得分值接近零，則表明該股票在這個因子上的得分接近于平均水平。從表3至表5可見，F(xiàn)actor1值越大，表明該股票的收益率越高；反之，則越低。Factor2值越大，表明該股票的規(guī)模越大；反之，則越小。Factor3值越大，表明該股票的資產(chǎn)主營越多；反之，則越少。在表3中，貴州茅臺、中國神華、中國石油的Factor1值較大，它們都是非常優(yōu)秀的上市公司，值得投資者長期持有；最后10只股票的Factor1值為負，表明它們是收益率特別低的股票，都是些嚴重虧損的上市公司股票，注意國內(nèi)四大商業(yè)銀行排名最后，收益率最低，且最后10名中有8家銀行。從表4可見，在規(guī)模排名最后的那些Factor2值都較為接近，并未出現(xiàn)異常小的值，這是因為按有關規(guī)定股票上市的公司都必須具備一定的規(guī)模，這樣就不會出現(xiàn)規(guī)模特別小的上市公司；規(guī)模排名前10的股票的Factor2值特別大，表明有規(guī)模特別大的上市公司，它們就是國內(nèi)四大商業(yè)銀行和中國石油、中國石化、交通銀行、中國神華、中信銀行、招商銀行。在表5中，有取正值且絕對值特別大的Factor3值，但沒有取負值且絕對值特別大的Factor3值，表明有資產(chǎn)主營特別多的股票，但沒有資產(chǎn)主營特別少的股票。

表3 按第1列(收益率因子)得分的排序

表4 按第2列(規(guī)模因子)得分的排序

表5 按第3列(主營因子/資產(chǎn)主營因子)得分的排序

從表3至表5中可以看出，有這樣一些財務指標數(shù)值特殊的股票：收益率大且規(guī)模大（中國神華、中國石油），收益率大且規(guī)模?。?ST國藥），收益率小且規(guī)模大（中國石化、中信銀行、交通銀行、建設銀行、工商銀行、中國銀行、農(nóng)業(yè)銀行），收益率小且規(guī)模?。o）；收益率大且資產(chǎn)主營大（中國石油），收益率大且資產(chǎn)主營?。?ST國藥），收益率小且資產(chǎn)主營大（中國石化、興業(yè)銀行、浦發(fā)銀行、交通銀行、建設銀行、工商銀行、中國銀行、農(nóng)業(yè)銀行），收益率小且資產(chǎn)主營小（無）；規(guī)模大且資產(chǎn)主營大（工商銀行、建設銀行、農(nóng)業(yè)銀行、中國銀行、中國石油、中國石化、交通銀行、招商銀行），規(guī)模大且資產(chǎn)主營?。o），規(guī)模小且資產(chǎn)主營大（無），規(guī)模小且資產(chǎn)主營小（*ST國藥）。還有一些股票，它們同時出現(xiàn)在三組中：中國石油、*ST國藥、中國石化、交通銀行、建設銀行、工商銀行、中國銀行、農(nóng)業(yè)銀行，具體表現(xiàn)為：收益率大且規(guī)模大且資產(chǎn)主營大（中國石油），收益率大且規(guī)模小且資產(chǎn)主營小（*ST國藥），收益率小且規(guī)模大且資產(chǎn)主營大（中國石化、交通銀行、建設銀行、工商銀行、中國銀行、農(nóng)業(yè)銀行）。

利用穩(wěn)健性因子分析方法可以對上市公司財務報表中的眾多指標進行降維，本文中利用3個因子得分指標來代替原始10個財務指標，而損失的信息卻不多。通過對3個因子得分指標的分析，投資者對上市公司的財務狀況能夠有一個明確、簡潔和清晰的認識，有利于他們對股票作出正確的評價。在實際應用中，投資者還可結(jié)合財務報表的原始數(shù)據(jù)作出自己正確和明智的判斷。

[1]Pison G,Rousseeuw P J,Filzmoser P,et al.Robust Factor Analysis[J].Journal of Multivariate Analysis,2003,(84).

[2]Rousseeuw P J,Croux C,Todorov V,et al.Robustbase:Basic Robust Statistics.R Package Version,URL http://CRAN.R-Project.org/Package=Robustbase,2013.

[3]Zhang YY.Robustfa:An Object Oriented Solution for Robust Factor Analysis.R Package Version,URL http://CRAN.R-Project.org/Package=Robustfa,2013.

[4]Team R C.R:A Language and Environment for Statistical Computing.R Foundation for Statistical Computing,Vienna,Austria.URL http://www.R-Project.org/.2015.

[5]薛毅,陳立萍.統(tǒng)計建模與R軟件[M].北京:清華大學出版社,2007.