基于Matlab Simulink的分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)仿真

周福萍，楊軍

基于Matlab Simulink的分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)仿真

周福萍，楊軍

基于Matlab Simulink仿真技術(shù)，本文研究分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)的仿真問(wèn)題。 首先對(duì)Oustaloup濾波器進(jìn)行模塊封裝得到分?jǐn)?shù)階微分求解器；其次利用Matlab Simulink工具箱和分?jǐn)?shù)階微分求解器，對(duì)分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)搭建可視化仿真框圖并設(shè)置仿真參數(shù)，運(yùn)行仿真，進(jìn)而得到分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)的軌線圖和相圖；最后從仿真結(jié)果可以看出分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)是混沌的，從而說(shuō)明文章所設(shè)計(jì)的仿真方法是可行和有效的。

分?jǐn)?shù)階微積分；分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)；Matlab Simulink仿真；Oustaloup濾波器

分?jǐn)?shù)階微分方程 (FODE)近年來(lái)已被廣泛的應(yīng)用于圖像處理、信號(hào)處理、地震分析、流體力學(xué)、分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。所謂FODE是指微分方程中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，由于FODE具有歷史依賴性與全域相關(guān)性，增加了其數(shù)值計(jì)算復(fù)雜性.現(xiàn)階段FODE的數(shù)值算法主要包括：1.有限差分法：Crank-Nicholson格式、預(yù)估校正算法等；2.級(jí)數(shù)逼近法；3.有限元法；4.無(wú)網(wǎng)格方法；5.矩陣轉(zhuǎn)化法、外推法；6.Matlab Simulink方法.其中最為直接和有效的方法為Matlab Simulink方法，下面重點(diǎn)介紹Matlab Simulink方法。

Matlab Simulink toolbox是Matlab公司開(kāi)發(fā)的用于分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和建模仿真的一組程序包，它能實(shí)現(xiàn)在連續(xù)時(shí)間，離散時(shí)間或兩者的復(fù)合情況下建模.Simulink提供一種基于框圖的可視化建模與仿真方法，用鼠標(biāo)拖放塊狀圖表即可完成建模，此過(guò)程就像用鉛筆在紙上畫(huà)模型一樣，其為復(fù)雜工程系統(tǒng)的建模與仿真提供了嶄新的思路和方法。

本文將在Oustaloup濾波器進(jìn)行模塊封裝得到分?jǐn)?shù)階微分求解器的基礎(chǔ)上，利用Matlab Simulink仿真工具箱，討論分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)的數(shù)值仿真問(wèn)題。

一、Oustaloup濾波器和分?jǐn)?shù)階微分求解器

由于在FODE中微積分的階次可取非整數(shù)，所以傳統(tǒng)ODE的Simulink仿真算法不能直接使用，一般可采用整數(shù)階濾波器如Oustaloup濾波器來(lái)逼近分?jǐn)?shù)階微分算子Sγ。該濾波器的傳輸函數(shù)為：

傳輸函數(shù)中的增益和濾波器零極點(diǎn)由下式給出

而（ωb,ωh）為期望的擬合頻率區(qū)間，N為用戶選取定的濾波器階數(shù)。根據(jù)上面的濾波器設(shè)計(jì)式，在Matlab M-file窗口中編寫(xiě)出如下的M函數(shù)以便仿真過(guò)程中調(diào)用：

綜上所述，建立如圖1.a所示的分?jǐn)?shù)階微分濾波器模塊，然后對(duì)其進(jìn)行封裝，得到如圖1.b所示的分?jǐn)?shù)階微分求解器，以便在后面的仿真過(guò)程中調(diào)用該求解器。盡管理論上Oustaloup濾波器可以求解任意階次的分?jǐn)?shù)階微積分，但從微積分?jǐn)?shù)值分析精度的角度來(lái)看，Oustaloup濾波器更適合求解階次為1以內(nèi)的分?jǐn)?shù)階微積分。于是可以將高階分?jǐn)?shù)階微積分先進(jìn)行整數(shù)階微積分運(yùn)算后，再利用Oustaloup濾波器對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行濾波處理，以達(dá)到更好的數(shù)值計(jì)算精度。

圖1 分?jǐn)?shù)階微分求解器設(shè)計(jì)模塊

對(duì)圖1-b中的分?jǐn)?shù)階微分求解器進(jìn)行雙擊即得參數(shù)設(shè)置對(duì)話框 (如圖2所示)，在該對(duì)話框中用戶可以根據(jù)需要設(shè)置Oustaloup濾波器的參數(shù)。

圖2 Oustaloup濾波器參數(shù)對(duì)話框

在模塊封裝Initialization選項(xiàng)卡中輸入如圖3所示的代碼，以便在使用分?jǐn)?shù)階微分求解器模塊前先自動(dòng)設(shè)計(jì)出濾波器，并根據(jù)階次正確顯示圖標(biāo)，據(jù)此可以對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行可視化Simulink建模。

圖3 分?jǐn)?shù)階微分求解器封裝參數(shù)對(duì)話框

下面將通過(guò)分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)演示該模塊在FODE近似求解中的應(yīng)用.

二、分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)仿真實(shí)現(xiàn)

考慮下面的分?jǐn)?shù)階的Volta微分方程組模型，該系統(tǒng)是一個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，其具體的數(shù)學(xué)描述參見(jiàn)文獻(xiàn)。

（1）式中的系統(tǒng)參數(shù)如下：

應(yīng)用Matlab Simulink toolbox仿真系統(tǒng)(1)，由于Oustaloup濾波器不能設(shè)置初值，故需將分?jǐn)?shù)階的Volta系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為如下的等價(jià)分?jǐn)?shù)階微分積分方程，以便于引入積分器設(shè)置初值：

根據(jù)方程(2)，在Matlab Simulink環(huán)境下作出如圖4所示的Simulink框圖。

接下來(lái)，在M-file對(duì)話框中輸入系統(tǒng)參數(shù)并命名為Volta.m文件保存；將圖1中的分?jǐn)?shù)階微分求解器命名為Fsolver.mld保存；將圖4中分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)Simulink框圖命名為FodeVolta. mdl保存.運(yùn)行仿真之前需要將Volta.m、Fsolver.mld、FodeVolta. mdl和前面所述的ousta_fod.m文檔放到同一個(gè)目錄下面。下面分三步運(yùn)行仿真：

（1）運(yùn)行Volta.m；

（2）運(yùn)行Fsolver.mld；

（3）運(yùn)行FodeVolta.mdl.

圖4 分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)(1)的Matlab simulink仿真框圖

仿真結(jié)果如圖5-11所示：其中圖5-7分別給出了系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t),y(t),z(t)的軌線圖；系統(tǒng)的相圖則由圖8-10給出；圖11則是系統(tǒng)的相軌跡圖。

從仿真結(jié)果可以看出分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)(1)是混沌的，這與文獻(xiàn)從理論上證明該系統(tǒng)是混沌的是一致的，進(jìn)而說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的仿真算法(框圖)的可行性和有效性。

圖5 狀態(tài)變量x(t)的軌線圖

圖6 狀態(tài)變量y(t)的軌線圖

圖7 狀態(tài)變量z(t)的軌線圖

圖8 x(t)vs.y(t)的相圖

圖9 x(t)vs.z(t)的相圖

圖10 y(t)vs.z(t)的相圖

圖11 分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)(1)的3維相軌圖

三、結(jié)論

通過(guò)Matlab Simulink仿真技術(shù)，本文主要討論了分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)仿真問(wèn)題.通過(guò)對(duì)Oustaloup濾波器進(jìn)行模塊封裝，得到了分?jǐn)?shù)階仿真的核心子模塊——分?jǐn)?shù)階微分求解器；在此基礎(chǔ)上，利用Matlab Simulink工具箱對(duì)分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)搭建Simulink框圖，設(shè)置仿真參數(shù)，運(yùn)行Simulink框圖實(shí)現(xiàn)仿真。最后得到分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)的軌線圖和相圖，另一方面從仿真結(jié)果還可以看出分?jǐn)?shù)階Volta系統(tǒng)是混沌的，從而說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的仿真方法的可行性和有效性。值得一提的是本文提出Simulink框圖做適當(dāng)修改即可實(shí)現(xiàn)其它分?jǐn)?shù)階線性/非線性系統(tǒng)的仿真。

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周福萍,女,四川成都人,西南科技大學(xué)在校學(xué)生，研究方向：工程管理；

楊軍,男,四川瀘州人,理學(xué)博士,中國(guó)民航飛行學(xué)院副教授，研究方向：動(dòng)力系統(tǒng)分析與仿真。

O193．1

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1008-4428（2015）05-104-03