崔艷，李群

(阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 ,安徽 阜陽 236000)

二階非線性三點邊值問題的解和多解性

崔艷，李群

(阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 ,安徽 阜陽 236000)

利用錐上的不動點定理,給出了非線性二階三點邊值問題解和多解的存在性定理,其中允許非線性項有一個負的下界.

半正非線性;存在性;多解性

1 引言及預備知識

近年來,關(guān)于非線性二階三點邊值問題的研究受到了廣泛關(guān)注,取得了一些研究成果[1-5],文獻[7]在非線性項滿足一定增長條件下,研究了邊值問題

正解的存在性,上述正解的研究大都在f非負,即f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)的情況下展開的,本文通過構(gòu)造一個適用的錐,研究了邊值問題(P)的解和正解的存在性和多解性,不要求非線性項f滿足增長條件,并且允許非線性項f有一個負的下界,即允許f是半正的.

我們稱函數(shù)ω∈C[0,1]是凹的,若ω(τt1+(1-τ)t2)≥τω(t1)+(1-τ)ω(t2),t1,t2,τ∈[0,1].

設(shè)p(t)=-ρt2+(1-αη2)t+β(1-αη2),則p″(t)=-2ρ,0≤t≤1,于是p(t)是一個[0,1]上的非負凹函數(shù),易知p(0)=βp'(0),p(1)=αp(η),又因為

00,

直接計算表明G(t,s)滿足以下性質(zhì):

定義g(t,l)=f(t,l)+M,(t,l)∈[0,1]×[-kM,+∞),g:[0,1]×[-kM,+∞)→[0,+∞)連續(xù),考慮三點邊值問題

(i)算子T:C+[0,1]→C[0,1]有定義且連續(xù),

(ii)對于任何ω∈C+[0,1],(Tω)(0)=β(Tω)'(0),(Tω)(1)=α(Tω)(η).

簡單核驗后我們得到:

引理2(1) ω*是問題(P)的解當且僅當ω*+ω0是(P')的解,

注:在具體問題中q(t)是可簡便計算出的.

顯然0<σ<1.

因此, 0

本文將使用下列控制函數(shù),對于l>0,我們記

顯然φ(l)≥Φ(l)≥0,Ψ(l)≥ψ(l)≥0,事實上,控制函數(shù)Φ(l),Ψ(l),φ(l)及ψ(l)都是可計算的,而且φ(l)和ψ(l)的計算是比較簡單的.

引理3T:C+[0,1]→K是全連續(xù)的.

證 對于任何ω∈C+[0,1],有g(shù)(t,ω(t)-ω0(t))≥0,0≤t≤1 , 參照[8]中引理2.1和2.2的證明將可獲證.

(1)‖Tω‖≤‖ω‖,ω∈?Ω1,并且‖Tω‖≥‖ω‖,ω∈?Ω2.

(2)‖Tω‖≥‖ω‖,ω∈?Ω1,并且‖Tω‖≤‖ω‖,ω∈?Ω2.

2 解的存在性定理

定理1假設(shè)存在兩個正數(shù)a

(1)Φ(a)≤aA,Ψ(b)≥bB,特別地, φ(a)≤aA,ψ(b)≥bB,

(2)Ψ(a)≥aB,Φ(b)≤bA,特別地, ψ(a)≥aB,φ(b)≤bA,

則問題(P)至少有一個解ω*,滿足ω*+ω0∈K,并且a≤‖ω*+ω0‖≤b.

證:僅證情況(1),由于a

則‖ω‖=a,0≤ω(t)≤a,0≤t≤1,于是

0≤g(t,ω(t)-ω0(t))≤Φ(a)≤aA,0≤t≤1.

根據(jù)引理3和2(3),我們有:

‖Tω‖

g(t,ω(t)-ω0(t))≥Ψ(b)≥bB,μ≤t≤ν

利用引理2(3),我們得到:

‖Tω‖

根據(jù)引理2,3和4知:問題(P)至少有一個解ω*滿足ω*+ω0∈K,并且a≤‖ω*+ω0‖≤b.

同理可證情況(2)亦成立.

因為ω0(t)=Mp(t),我們有ω0(0)=Mβ(1-αη2)=j(0),ω'(0)=M(1-αη2),ω=kM,

注意到ω0(t)為凹函數(shù),可知ω0(t)≤j(t),0≤t≤1.

于是aθq(t)>ω0(t),0

ω*(t)=(ω*(t)+ω0(t))-ω0(t)≥θq(t)‖ω*(t)+ω0(t)‖-ω0(t)> aθq(t)-ω0(t)>0.

由此,我們斷言ω*是一個正解.定理獲證.

利用定理1,我們可以建立下列多解性結(jié)論:

定理2假設(shè)存在3個正數(shù)a

(1)Φ(a)≤aA,Ψ(b)>bB,Φ(c)≤cA,特別地, φ(a)≤aA,ψ(b)>bB,φ(c)≤cA,

(2)Ψ(a)≥aB,Φ(b)

證: 我們僅證情況(1),因為Ψ:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù),且Ψ(b)>bB知:存在兩個正數(shù)b1,b2,使a

定理3假設(shè)存在n+1個正數(shù)a1

注1: 當β=0,即為文[8]中討論的情況,本文結(jié)論是對文[8]結(jié)論的推廣和改進.

注2: 定理的證明的關(guān)鍵是構(gòu)造一個適用的錐,值得注意的是文[8]證明解和正解的存在性對本文的證明似乎是困難的.

注3: 本文不再要求θ為具體常數(shù),而是將其放寬為0<θ<1的任何常數(shù),推廣了文[8]中結(jié)果.

由定理1情況(1)知:該問題至少有一個解ω*使ω*+p∈K且1≤‖ω*+p‖≤300.

[1] Liu Yansheng,Qi Aiqin.Positive Solutions of Nonlinear Singular Boundary Value Problem in Ab-stract Space[J].Computers and Mathematics with Applications,2004,47:683-688

[2] Ma Ruyun.The Nonlocal Problems for Nonlinear Ordinary Differential Equation[M].Beijing:Science and Technologey Press,2004(in Chinese).

[3] Ravi P Agarwal,Donal O'Regan.Some New Results for Singular Problems with Sign Changing Nonlinearities[J].Journal of Computational and Applied Mathematics ,2000,113:1-15.

[4] Gupta C P. Solvability of a Three-point Nonlinear Boundary Value Problem for a Second Order Ordinary Differential Equation[J].J.Math.Anal.Appl.,1992,168:540-551.

[5] 趙增勤.非線性奇異微分方程邊值問題的正解[J].數(shù)學學報,2000,43(1):179-188.

[6] 楊志林,孫經(jīng)先.非線性二階常微分方程組邊值問題的正解[J].數(shù)學學報,2004,47(1):111-118.

[7] Guo Yanping,Ge Weigao,Dong Shijie.Two Positive Solutions for Second Order ThreePoint Boundary Value Problems with Sign Changing Nonlinearties[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2004,27(3):522-529(in Chinese).

[8] 姚慶六.半正二階三點邊值問題的解和正解[J].應用數(shù)學學報,2007(30):209-217.

[責任編輯：王軍]

Solutions and multiple solutions of second-order three-point boundary value problems

CUI Yan,LI Qun

(College of mathematics and statistics, Fuyang Normal College, Fuyang 236000,China)

By using a fixed point theorem in cones , the existence of solutions and multiple solutions is considered for a nonlinear second-order three-point boundary value problem .

semipositone nonlinearity; existence ;multiplicity

2015-05-15

安徽省自然科學基金項目(2014KJ013);阜陽師范學院校級自然科學基金項目(2014FSKJ03ZD);安徽省自然科學基金項目(2014KJ001)

崔艷(1980-),女,山東德州人,阜陽師范學院講師,應用數(shù)學專業(yè)碩士生,主要從事非線性泛函分析研究.

O175.8

A

1672-3600(2015)09-0011-05