胡積謀

【中圖分類號】G633.66 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）6-0254-02

即將迎來新一年的高考，備考考生的復(fù)習(xí)正如火如荼地進(jìn)行，有序而又充實。這一階段的學(xué)習(xí)任務(wù)主要以歸納、總結(jié)、提升為主，因此適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生注意一題多解與巧解尤為重要，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、敏捷性的培養(yǎng)也是有好處的。以下以2012、2013福建文科數(shù)學(xué)壓軸題22題這兩道高考題為例，講解如何利用基本函數(shù)的性質(zhì)與圖像解決實際問題，讓學(xué)生感受到正難則反，化繁為簡，數(shù)形結(jié)合，多思少算的解題真諦！

例1 【2012福建高考文科數(shù)學(xué)試題22題】：已知函數(shù)，且在 上的最大值為.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.

解析：

（Ⅰ）過程略，答案；

（Ⅱ）要判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，即判斷關(guān)于x的方程xsinx-=0在（0，π）內(nèi)根的個數(shù)，等價變形為sinx=，即只需判斷兩基本初等函數(shù)h（x）=sinx與t（x）=的圖象在（0，π）內(nèi)的交點個數(shù)，

又由函數(shù)y=sinx與y= 性質(zhì)與圖象知內(nèi)有兩個交點.

例2【2013福建高考文科數(shù)學(xué)試題22題】：已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅲ）當(dāng)a=1的值時，若直線與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值.

（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）直線與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于關(guān)于x的方程在R上沒有實數(shù)解，即關(guān)于X的方程：在R上沒有實數(shù)解.

只需判斷兩基本初等函數(shù) 與 的圖象在 上沒有交點.

① 當(dāng)k>1時，函數(shù)h（x）=（k-1）x為一次函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x趨于+∞時，h（x）趨于+∞，為指數(shù)函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，由基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖象知h（x）與t（x）在R上有交點，這與函數(shù)h（x）與t（x）的圖象在R上沒有交點矛盾，故k>1不合題意，

② 當(dāng)k=1時.函數(shù)h（x）=0為常數(shù)函數(shù)，其圖象即為x軸，因為指數(shù)函數(shù)，其圖象在x軸上方，與x軸無交點，滿足題意綜合知k的最大值為1.