夏文濤+馬生蘭

摘要：隨著課程改革的深入和我國(guó)高考改革的需要，新穎性、獨(dú)特性與探究性兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)創(chuàng)新試題很可能會(huì)成為今后命題的一種趨勢(shì)和導(dǎo)向。探析高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的概念、特點(diǎn)和功能，有利于對(duì)其整體的理解和把握，對(duì)于搞好高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)是十分有益的。

關(guān)鍵詞：高考改革 高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題

隨著課程改革的深入和我國(guó)高考改革的需要，新穎性、獨(dú)特性與探究性兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)創(chuàng)新試題很可能會(huì)成為今后命題的一種趨勢(shì)和導(dǎo)向。對(duì)于高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題，學(xué)界至今還沒有明確定義，多數(shù)研究者就創(chuàng)新試題的背景、題型、編制、解答展開了一些研究，但是對(duì)創(chuàng)新試題的基本問題——概念、特點(diǎn)、功能基本沒有明確闡述，這對(duì)于進(jìn)一步研究高考改革下的數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是不利的。筆者在對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過對(duì)典型高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的分析與探究，試圖初步提出高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的概念、特點(diǎn)、功能。

一、高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的概念

羅增儒教授認(rèn)為數(shù)學(xué)題是指數(shù)學(xué)上要求回答或者解釋的事情，需要研究或解決的矛盾[1]。這是目前對(duì)數(shù)學(xué)題廣為認(rèn)可的一種定義，但是其外延尚顯廣泛。筆者認(rèn)為，通常情況下，數(shù)學(xué)題是指在數(shù)學(xué)教學(xué)或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，基于診斷或測(cè)評(píng)目的，由數(shù)學(xué)教師或者教育研究者根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和命題理論設(shè)計(jì)、提供給學(xué)生解決的數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)題的一般形式包含2個(gè)基本的部分：條件（已知，前提），結(jié)論（未知，要求）。條件一般具有一定的背景（題目背景），需要借助一定的數(shù)學(xué)語言（文字、符號(hào)、圖表）提供若干已知信息，結(jié)論一般指示求值、求證、判斷等。

目前，學(xué)界對(duì)創(chuàng)新試題還沒有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，基于文獻(xiàn)研究和對(duì)典型創(chuàng)新試題的探析，筆者認(rèn)為高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是指根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求，依托一定數(shù)學(xué)命題原理和技術(shù)，旨在培養(yǎng)、診斷、測(cè)評(píng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，在試題背景、試題形式，試題內(nèi)容或解題方法等方面具有一定的新穎性與獨(dú)特性的數(shù)學(xué)題。

二、高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的基本特點(diǎn)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題具有接受性、封閉性和確定性等特征[2]。一般來說，數(shù)學(xué)題考查的內(nèi)容應(yīng)該是學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生通過對(duì)例題的程序式的模仿，可以順暢地完成對(duì)數(shù)學(xué)問題的解答。同時(shí)，它的形式結(jié)構(gòu)一般是常規(guī)的，條件充分簡(jiǎn)潔，設(shè)問清晰明確，答案唯一確定，學(xué)生可以利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法去解決它。另外，它的考查目的在于鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，一般具有一定的挑戰(zhàn)性。

除具有以上一般數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)外，數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題還有一些其他比較突出的特點(diǎn)。通過對(duì)最近10年來典型數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的分析和研究，筆者認(rèn)為高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題有以下的特點(diǎn)：

1.立意的鮮明性

立意是指試題的考查目的。高考數(shù)學(xué)試題的編制遵循“能力立意”的指導(dǎo)思想，這里的能力主要有空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等7大數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題立足學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，著力考查數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，注重測(cè)量其發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力。因此，數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的立意重在檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，考查數(shù)學(xué)思想方法，考查7大數(shù)學(xué)能力，特別是考查數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

2.背景的新穎性

試題的背景是指數(shù)學(xué)題中學(xué)生能夠理解的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)以及其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)。傳統(tǒng)意義上，數(shù)學(xué)試題多是以數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為背景。隨著素質(zhì)教育的推進(jìn)，特別是課程改革的深入發(fā)展，以數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為背景的數(shù)學(xué)試題不斷豐富，如高等數(shù)學(xué)背景、競(jìng)賽數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)史背景等；以生活現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)為背景的數(shù)學(xué)題也逐漸增多，如生活情境問題、物理情境問題等。

例1.（2008年全國(guó)I卷）汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）

本題以物理學(xué)位移與時(shí)間的關(guān)系為背景，也具有一定的現(xiàn)實(shí)生活背景，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問題的能力。此題讓學(xué)生感受到高考數(shù)學(xué)試題的學(xué)科綜合性，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，又具有教導(dǎo)我們關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活、學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的導(dǎo)向意義。

3.形式的靈活性

試題的形式包含數(shù)學(xué)試題的呈現(xiàn)方式、設(shè)問方式以及題型。目前，數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的呈現(xiàn)形式多樣，如采用文字、符號(hào)、圖形、圖表等呈現(xiàn)問題條件，學(xué)生需要通過閱讀、分析其中的數(shù)量關(guān)系或者圖形關(guān)系，推理、判斷或者探索其中的規(guī)律解決相關(guān)問題。開放題引起數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注后，很多設(shè)問方式靈活多變的試題不斷出現(xiàn)，它們要求學(xué)生充分運(yùn)用發(fā)散性思維，從多角度、多層次去分析和解決問題。另外，為了診斷、測(cè)評(píng)的需要，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題型，如選擇題、填空題、解答題等，已經(jīng)不能滿足當(dāng)前課程改革中教育評(píng)價(jià)的要求，一些新的題型應(yīng)時(shí)而出，如復(fù)合型選擇題、復(fù)合型填空題等。

例2.（2010年安微卷）若a>0，b>0，a+b=2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立的是______（寫出所有正確命題的編號(hào)）。

①ab≤1；②■+■≤■；③a2+b2≥3；

④a3+b3≥3；⑤■+■≥2。

例2為改良的客觀題型，需要多次判斷，才能做出正確的選擇，我們稱之為復(fù)合型填空題，它有利于綜合考查學(xué)生的能力，能夠比較理想地預(yù)防猜選。

4.內(nèi)容的綜合性

試題的內(nèi)容是指數(shù)學(xué)試題所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)。課程改革以來，數(shù)學(xué)高考命題要求從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題。數(shù)學(xué)試題包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)密切關(guān)聯(lián)的內(nèi)在要求，也是數(shù)學(xué)測(cè)試兼顧范圍和題量的必然選擇。因此，高考數(shù)學(xué)多數(shù)試題呈現(xiàn)出多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯的特點(diǎn)，命題者精心挑選相互交匯的知識(shí)板塊，合理地控制數(shù)目和難度，最終能夠生成別出心裁的數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題，全面考查學(xué)生知識(shí)掌握程度和問題解決能力。

例3.（2011年陜西卷）設(shè)集合M={y|y=|cos2x-in2x|，x∈R}，N={x||■|<1，x∈R}（i為虛數(shù)單位），則MIN為（ ）endprint

A.（0，1） B.（0，1] C.[0，1） D.[0，1]

本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、集合等數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔、突出基礎(chǔ)、考查能力，特別是絕對(duì)值和復(fù)數(shù)模的考查，十分巧妙。

5.方法的多樣性

解題方法是指解決數(shù)學(xué)試題所用的一般解答方法和數(shù)學(xué)思想方法。很多數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題都能一題多解，學(xué)生可以根據(jù)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，選擇不同的解答方法和思想方法作答。

例4.（2013年重慶卷）在平面上AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2。若|OP|<■，則|OA|的取值范圍是（ ）

A.（0，■] B.（■，■]

C. （■，■] D.（■，■]

本題是向量的綜合應(yīng)用問題，學(xué)生可以根據(jù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，選擇不同的解題方法，如解析法、函數(shù)法、向量運(yùn)算法等，至少有10種方法。

三、高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的功能

長(zhǎng)期以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)解題是最常見的活動(dòng)形式。它有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)的掌握，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的獲得，以及學(xué)生能力的發(fā)展，對(duì)全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有重要的意義，因此，數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中占有重要的地位，數(shù)學(xué)題對(duì)于數(shù)學(xué)教育教學(xué)具有重要的價(jià)值和功能。鑒于高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的概念和特點(diǎn)，除包含數(shù)學(xué)題一般功能外，它還具備鮮明的導(dǎo)向功能、測(cè)評(píng)功能和診斷功能。

1.導(dǎo)向功能

（1）數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是檢測(cè)學(xué)生能力和創(chuàng)新意識(shí)的現(xiàn)實(shí)需要

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《高中課標(biāo)》）[3]明確指出筆試仍是定量評(píng)價(jià)的重要方式，但要注重考察對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)思想方法的掌握、數(shù)學(xué)思考的深度、探索與創(chuàng)新的水平以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力等。

《2013年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)考試大綱》規(guī)定創(chuàng)新意識(shí)是7大數(shù)學(xué)能力要求之一，創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn)，也是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效的遷移、融合，有利于學(xué)生未來的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。

因此，在筆試為主的考評(píng)體系下，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)，設(shè)置數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是現(xiàn)實(shí)的做法。

（2）數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是全面發(fā)展學(xué)生能力和創(chuàng)新意識(shí)的必要選擇

對(duì)于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題，學(xué)生只要學(xué)好課本上的那些條條框框的知識(shí)，就能照搬課本的知識(shí)、方法輕而易舉做好它們。在此過程中，學(xué)生雖然鞏固了所學(xué)知識(shí)和方法，但是卻停留在簡(jiǎn)單模仿、機(jī)械訓(xùn)練的水平，其能力的發(fā)展很有限。

數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題一般包含新穎的問題背景，具有靈活的問題形式和設(shè)問方式，綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、思想方法，設(shè)置發(fā)散性的解答方法。解答數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題，不僅有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)閱讀能力、分析和解決問題的能力，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和愛好，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。更重要的是，學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效地遷移、組合和融會(huì)，選擇數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)造性解決問題，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和意識(shí)的提高有重要意義。

2.測(cè)評(píng)功能

（1）數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題有利于測(cè)評(píng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題一般具有新穎的問題背景和一定的深度、廣度，兼具多樣性、探究性，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的能力和分析、解決問題的能力，能夠比較理想地測(cè)評(píng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力與意識(shí)。

（2）數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題有利于更好地選拔優(yōu)秀人才

由于數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題背景新穎、內(nèi)容豐富、形式靈活、方法多樣，因此它不僅能夠考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，還能考查其對(duì)數(shù)學(xué)思想方法掌握情況，同時(shí)也能夠考查其繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，拉開學(xué)生分?jǐn)?shù)差距，進(jìn)而為不同層次的高校提供不同水平的優(yōu)秀人才。

3.診斷功能

（1）數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題有利于教師提高教學(xué)質(zhì)量

在課堂教學(xué)中，為了教學(xué)需要，教師必須要準(zhǔn)備恰當(dāng)、典型的數(shù)學(xué)題，去了解學(xué)生理解、掌握的情況，從而調(diào)控教學(xué)內(nèi)容、進(jìn)程。考慮到學(xué)生可能會(huì)提前預(yù)習(xí)，以及課本例題比較簡(jiǎn)單，根據(jù)教學(xué)需要，教師可以合理地更改例題的背景、形式等，或者選擇一些典型的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題作為課堂講練的例題。這樣，教師可以根據(jù)學(xué)生的做題情況，盡可能全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，準(zhǔn)確評(píng)估教學(xué)效果，調(diào)控教學(xué)內(nèi)容、進(jìn)程，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

（2）數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題有利于學(xué)生提升學(xué)習(xí)水平

根據(jù)情況的不同，課后習(xí)題的布置各異。課后習(xí)題的選擇，既要綜合考慮學(xué)生課堂教學(xué)的情況、學(xué)生的實(shí)際水平，又要兼顧學(xué)優(yōu)生、學(xué)差生，同時(shí)還要注意發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新意識(shí)。由于數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題具有一定的新穎性和探究性，因此，可以選擇或改編具有一定梯度、創(chuàng)新度的數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題作為課后作業(yè)。教師通過作業(yè)情況進(jìn)一步了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的理解和掌握，幫助分析總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，指導(dǎo)學(xué)生做好學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)計(jì)劃，這樣有利于學(xué)生不斷提高學(xué)習(xí)水平。

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參考文獻(xiàn)

[1] 羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐.南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論.北京：高等教育出版社，2009.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）.北京：人民教育出版社，2003.

[作者：夏文濤（1984-），男，河南信陽人，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2012級(jí)在讀碩士；馬生蘭（1989-），女，青?；ブ耍貞c師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2013級(jí)在讀碩士。]

【責(zé)任編輯 任洪鉞】endprint