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      等差數(shù)列基本題型“知三求二”析解

      2015-01-15 08:07:07李敏
      試題與研究·教學(xué)論壇 2014年5期
      關(guān)鍵詞:公比通項(xiàng)公差

      李敏

      在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中含有5個(gè)基本量:a1,d,n,an,Sn。關(guān)于這5量之間的運(yùn)算是一類基礎(chǔ)題型,稱為“知三求二”,根據(jù)條件和結(jié)論要求可分為10類,限于篇幅,只就較為典型的5類進(jìn)行分析求解,旨在拋磚引玉。

      一、已知a1,d,n求an,Sn型

      例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,公比d=-2,求a5與S5。

      分析:分別把已知條件代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn求解。

      解:a5=3+(5-1)×(-2)=-5;

      點(diǎn)評(píng):在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中涉及的5個(gè)量中,a1與d又是最基本的兩個(gè)量,是構(gòu)成等差數(shù)列的兩大支柱,因此一般a1與d為已知,則只有直接將相關(guān)的量代入通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式就可求得an與Sn。

      變式拓展1:在{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),求an與S6。

      二、已知a1,an,n求d,Sn型

      例2 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-10,a5=-38,求公比d和S5。

      分析:先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求公差d的值,然后把相關(guān)量代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求S5。

      點(diǎn)評(píng):利用a1與an的值代入通項(xiàng)公式可求得公差d,然后再將相關(guān)的已知量與所求得的量代入前n項(xiàng)和公式即可求得Sn。

      例3 等差數(shù)列的{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0。(1)求出公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,Sn中哪一項(xiàng)最大,并說(shuō)明理由。

      解:(1)設(shè)Sn=An2+Bn,∵a3=S3-S2=5A+B=12,∴B=12-5A,即Sn=An2+(12-5A)n。由題意得S12=144A+12(12-5A)點(diǎn)評(píng):借助二次函數(shù)的性質(zhì)研究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,是常用的方法。一般需抓住“三點(diǎn)一軸”來(lái)考慮問題。三點(diǎn)是指開口方向、n取值范圍的兩個(gè)端點(diǎn),一軸是對(duì)稱軸。

      變式拓展2:在等差數(shù)列{an}中,a1=-60,a17=-12。(1)求通項(xiàng)an;(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和。

      三、已知a1,an,d求n,Sn型

      例4 等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=-1,公差d=5,如果an=124,求n和Sn。

      分析:先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求出n,然后把相關(guān)量已知量及所求得的量代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Sn。

      解:依題意,由通項(xiàng)公式得-1+(n-1)×5=124,解得n=26。

      變式拓展3:等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=-3,a5=5,如果an=25,求n和Sn。

      四、已知a1,d,Sn求n,an型

      例5 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,d=4,Sn=36,求n和an。

      分析:先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立方程求出n,然后把相關(guān)量代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an。

      變式拓展4:在等差數(shù)列{an}中,公差為d,a1∶a3=1∶3,且Sn∶d=30∶1,求n和an∶d。

      五、已知an,d,Sn求a1,n型

      ∴n2-7n-30=0,∴(n-10)(n+3)=0,又n∈N*,

      ∴n=10,a1=-3。

      點(diǎn)評(píng):已知an,d,Sn求a1,n,只需依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程組求解。

      (作者單位:河南省鄭州幼兒師范高等??茖W(xué)校)endprint

      在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中含有5個(gè)基本量:a1,d,n,an,Sn。關(guān)于這5量之間的運(yùn)算是一類基礎(chǔ)題型,稱為“知三求二”,根據(jù)條件和結(jié)論要求可分為10類,限于篇幅,只就較為典型的5類進(jìn)行分析求解,旨在拋磚引玉。

      一、已知a1,d,n求an,Sn型

      例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,公比d=-2,求a5與S5。

      分析:分別把已知條件代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn求解。

      解:a5=3+(5-1)×(-2)=-5;

      點(diǎn)評(píng):在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中涉及的5個(gè)量中,a1與d又是最基本的兩個(gè)量,是構(gòu)成等差數(shù)列的兩大支柱,因此一般a1與d為已知,則只有直接將相關(guān)的量代入通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式就可求得an與Sn。

      變式拓展1:在{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),求an與S6。

      二、已知a1,an,n求d,Sn型

      例2 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-10,a5=-38,求公比d和S5。

      分析:先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求公差d的值,然后把相關(guān)量代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求S5。

      點(diǎn)評(píng):利用a1與an的值代入通項(xiàng)公式可求得公差d,然后再將相關(guān)的已知量與所求得的量代入前n項(xiàng)和公式即可求得Sn。

      例3 等差數(shù)列的{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0。(1)求出公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,Sn中哪一項(xiàng)最大,并說(shuō)明理由。

      解:(1)設(shè)Sn=An2+Bn,∵a3=S3-S2=5A+B=12,∴B=12-5A,即Sn=An2+(12-5A)n。由題意得S12=144A+12(12-5A)點(diǎn)評(píng):借助二次函數(shù)的性質(zhì)研究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,是常用的方法。一般需抓住“三點(diǎn)一軸”來(lái)考慮問題。三點(diǎn)是指開口方向、n取值范圍的兩個(gè)端點(diǎn),一軸是對(duì)稱軸。

      變式拓展2:在等差數(shù)列{an}中,a1=-60,a17=-12。(1)求通項(xiàng)an;(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和。

      三、已知a1,an,d求n,Sn型

      例4 等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=-1,公差d=5,如果an=124,求n和Sn。

      分析:先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求出n,然后把相關(guān)量已知量及所求得的量代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Sn。

      解:依題意,由通項(xiàng)公式得-1+(n-1)×5=124,解得n=26。

      變式拓展3:等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=-3,a5=5,如果an=25,求n和Sn。

      四、已知a1,d,Sn求n,an型

      例5 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,d=4,Sn=36,求n和an。

      分析:先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立方程求出n,然后把相關(guān)量代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an。

      變式拓展4:在等差數(shù)列{an}中,公差為d,a1∶a3=1∶3,且Sn∶d=30∶1,求n和an∶d。

      五、已知an,d,Sn求a1,n型

      ∴n2-7n-30=0,∴(n-10)(n+3)=0,又n∈N*,

      ∴n=10,a1=-3。

      點(diǎn)評(píng):已知an,d,Sn求a1,n,只需依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程組求解。

      (作者單位:河南省鄭州幼兒師范高等??茖W(xué)校)endprint

      在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中含有5個(gè)基本量:a1,d,n,an,Sn。關(guān)于這5量之間的運(yùn)算是一類基礎(chǔ)題型,稱為“知三求二”,根據(jù)條件和結(jié)論要求可分為10類,限于篇幅,只就較為典型的5類進(jìn)行分析求解,旨在拋磚引玉。

      一、已知a1,d,n求an,Sn型

      例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,公比d=-2,求a5與S5。

      分析:分別把已知條件代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn求解。

      解:a5=3+(5-1)×(-2)=-5;

      點(diǎn)評(píng):在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中涉及的5個(gè)量中,a1與d又是最基本的兩個(gè)量,是構(gòu)成等差數(shù)列的兩大支柱,因此一般a1與d為已知,則只有直接將相關(guān)的量代入通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式就可求得an與Sn。

      變式拓展1:在{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),求an與S6。

      二、已知a1,an,n求d,Sn型

      例2 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-10,a5=-38,求公比d和S5。

      分析:先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求公差d的值,然后把相關(guān)量代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求S5。

      點(diǎn)評(píng):利用a1與an的值代入通項(xiàng)公式可求得公差d,然后再將相關(guān)的已知量與所求得的量代入前n項(xiàng)和公式即可求得Sn。

      例3 等差數(shù)列的{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0。(1)求出公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,Sn中哪一項(xiàng)最大,并說(shuō)明理由。

      解:(1)設(shè)Sn=An2+Bn,∵a3=S3-S2=5A+B=12,∴B=12-5A,即Sn=An2+(12-5A)n。由題意得S12=144A+12(12-5A)點(diǎn)評(píng):借助二次函數(shù)的性質(zhì)研究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,是常用的方法。一般需抓住“三點(diǎn)一軸”來(lái)考慮問題。三點(diǎn)是指開口方向、n取值范圍的兩個(gè)端點(diǎn),一軸是對(duì)稱軸。

      變式拓展2:在等差數(shù)列{an}中,a1=-60,a17=-12。(1)求通項(xiàng)an;(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和。

      三、已知a1,an,d求n,Sn型

      例4 等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=-1,公差d=5,如果an=124,求n和Sn。

      分析:先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求出n,然后把相關(guān)量已知量及所求得的量代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Sn。

      解:依題意,由通項(xiàng)公式得-1+(n-1)×5=124,解得n=26。

      變式拓展3:等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=-3,a5=5,如果an=25,求n和Sn。

      四、已知a1,d,Sn求n,an型

      例5 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,d=4,Sn=36,求n和an。

      分析:先利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立方程求出n,然后把相關(guān)量代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an。

      變式拓展4:在等差數(shù)列{an}中,公差為d,a1∶a3=1∶3,且Sn∶d=30∶1,求n和an∶d。

      五、已知an,d,Sn求a1,n型

      ∴n2-7n-30=0,∴(n-10)(n+3)=0,又n∈N*,

      ∴n=10,a1=-3。

      點(diǎn)評(píng):已知an,d,Sn求a1,n,只需依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列方程組求解。

      (作者單位:河南省鄭州幼兒師范高等??茖W(xué)校)endprint

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