李慶勝，劉思峰

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇南京211106)

(2.臨沂大學(xué)商學(xué)院，山東臨沂276005)

灰色猶豫模糊集及其灰關(guān)聯(lián)TOPSIS決策方法

李慶勝1，2，劉思峰1

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇南京211106)

(2.臨沂大學(xué)商學(xué)院，山東臨沂276005)

猶豫模糊集作為模糊集的最新擴(kuò)展形式，在處理部分確定、部分不確定新方面有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).在現(xiàn)實(shí)的猶豫模糊決策中，決策信息往往呈現(xiàn)部分信息已知，部分信息未知的特征，體現(xiàn)為灰信息的形式.基于此，文中提出了一種新的灰色猶豫模糊集合(gray hesitant fuzzy set，GHFS)，將猶豫模糊集擴(kuò)展到灰集領(lǐng)域.文章還給出了灰猶豫模糊元的距離計(jì)算公式，提出了GHFS的灰關(guān)聯(lián)加權(quán)和TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution)決策方法.專業(yè)市場(chǎng)發(fā)展策略的算例表明了方法的有效性與實(shí)用性.

灰色猶豫模糊集;灰關(guān)聯(lián);TOPSIS

自從文獻(xiàn)［1］中提出模糊集以來，模糊集理論現(xiàn)已成功地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.由于客觀世界的復(fù)雜性和不確定性，加上人們思維能力和知識(shí)水平的局限性，用于表達(dá)決策信息的形式不僅僅只是確定數(shù)，而經(jīng)常以區(qū)間數(shù)的形式進(jìn)行描述.由于傳統(tǒng)的模糊集不能完整地刻畫所研究問題的信息，文獻(xiàn)［2-3］中引入了直覺模糊集并拓展到區(qū)間直覺模糊.由于直覺模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個(gè)方面的信息，因此它廣泛地應(yīng)用于處理模糊性和不確定性等方面的問題.人們發(fā)現(xiàn)在進(jìn)行群決策時(shí)，決策者們經(jīng)常是猶豫和優(yōu)柔寡斷的，并且由于不能說服對(duì)方，使最終的決策結(jié)果難以達(dá)成一致.于是，文獻(xiàn)［4-5］中提出了模糊集的另一種廣義形式，即猶豫模糊集，其隸屬度是由若干種可能的值構(gòu)成的集合.

猶豫模糊集作為模糊集的最新擴(kuò)展形式，有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此引起了眾多學(xué)者的研究興趣.文獻(xiàn)［6-7］中將猶豫模糊集推廣至區(qū)間的形式，給出了區(qū)間猶豫模糊集的概念.

一個(gè)多屬性決策問題往往同時(shí)包含模糊性和灰性，稱之為灰色模糊多屬性決策問題.文獻(xiàn)［8］中提出了灰色模糊集合，認(rèn)為這既是模糊集合的推廣又是灰色集合的推廣，是灰色集合與模糊集合的有機(jī)結(jié)合.文獻(xiàn)［9］中認(rèn)為灰色模糊多屬性決策方法的研究己引起了人們的極大關(guān)注，但是灰色模糊多屬性決策無論是在理論研究方面還是在方法應(yīng)用方面，都還很不成熟，有待于人們的不斷探索.

同時(shí)，一些學(xué)者把猶豫模糊集合和其他不確定性理論進(jìn)行了有機(jī)的結(jié)合，進(jìn)而提出了相關(guān)的多屬性決策方法.文獻(xiàn)［10］中提出了基于粗糙集的猶豫模糊多屬性決策方法;文獻(xiàn)［11］中提出了基于猶豫直覺模糊數(shù)的多屬性決策方法.

在現(xiàn)實(shí)決策中，猶豫模糊決策權(quán)據(jù)往往是灰數(shù)的大概范圍而不是其確切值，并非是在給定范圍之內(nèi)任意數(shù)皆可的區(qū)間數(shù)，因此文中提出灰色猶豫模糊集合，并進(jìn)一步探討基于灰關(guān)聯(lián)加權(quán)的決策方法.為方便起見，文中采用多目標(biāo)決策分析中的優(yōu)劣解距離法(technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS).TOPSIS法是根據(jù)有限個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象與理想化目標(biāo)的接近程度進(jìn)行排序的方法，在現(xiàn)有的對(duì)象中進(jìn)行相對(duì)優(yōu)劣的評(píng)價(jià).

1 灰色猶豫模糊集

定義1［4-5］令X為一個(gè)給定的集合.形如A={〈x，hA(x)〉|x∈X}的二元組稱為X上的猶豫模糊集.其中，hA(x)是由區(qū)間［0，1］上若干個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成的集合，表示元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度構(gòu)成的集合.為了書寫方便，記hA(x)為猶豫模糊元.假如其每個(gè)猶豫模糊元中的元素只有一個(gè)，則猶豫模糊集退化為模糊集.

由于客觀世界的復(fù)雜性和不確定性，以及人們思維能力和知識(shí)水平的局限性，人們經(jīng)常以區(qū)間數(shù)的形式表達(dá)決策信息.因此，文獻(xiàn)［6-7］中在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上，引入了區(qū)間猶豫模糊集.

定義2令X為一給定的集合，D［0，1］表示區(qū)間［0，1］上的所有閉子區(qū)間構(gòu)成的集合.X上形如~A={〈x，~h~A(x)〉|x∈X}的二元組稱為一個(gè)區(qū)間猶豫模糊集.其中~h~A(x):X→D［0，1］表示元素x屬于集合~A的所有可能區(qū)間隸屬度構(gòu)成的集合.稱~h~A(x)為一個(gè)區(qū)間猶豫模糊元.顯然，對(duì)于一個(gè)區(qū)間猶豫模糊集，若其每個(gè)區(qū)間猶豫模糊元中的元素只有一個(gè)，則區(qū)間猶豫模糊集退化為區(qū)間模糊集;若其區(qū)間猶豫模糊元中的每個(gè)元素都為實(shí)數(shù)，則區(qū)間猶豫模糊集退化為猶豫模糊集.

只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)稱為灰數(shù).在應(yīng)用中，灰數(shù)實(shí)際上指在某一個(gè)區(qū)間或某一個(gè)一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù);而區(qū)間數(shù)往往是指在區(qū)間范圍之內(nèi)的任意數(shù).因此用灰數(shù)代替區(qū)間數(shù)，提出猶豫模糊集具有特定學(xué)術(shù)價(jià)值.

定義3令X為一給定的集合，g0［0，1］表示區(qū)間［0，1］上的所有閉子區(qū)間構(gòu)成的集合.X上形如GA={〈x，ghA(x)〉|x∈X}的二元組稱為一個(gè)灰色猶豫模糊集(GHFS).其中g(shù)hA(x):X→g0［0，1］表示元素x屬于集合GA的所有可能灰色隸屬度構(gòu)成的集合，稱ghA(x)為一個(gè)灰色猶豫模糊元.顯然，對(duì)于一個(gè)灰色猶豫模糊集，若其每個(gè)灰色猶豫模糊元中的元素只有一個(gè)，則灰色猶豫模糊集退化為灰色模糊集;若其灰色猶豫模糊元中的每個(gè)元素都為實(shí)數(shù)，則灰色猶豫模糊集退化為猶豫模糊集.

顯然灰色猶豫模糊集即是對(duì)猶豫模糊集的擴(kuò)展，更屬于灰集的一個(gè)特殊分支.這樣可以進(jìn)一步利用灰色系統(tǒng)的理論解決模糊數(shù)學(xué)所難以解決的小樣本、貧信息以及不確定性問題［12］，實(shí)現(xiàn)少數(shù)據(jù)建模.

定義4兩個(gè)灰色猶豫模糊元gh1和gh2，它們之間的距離d(gh1，gh2)應(yīng)該滿足以下特性:

(1)0≤d(gh1，gh2)≤1.

(2)d(gh1，gh2)=0，當(dāng)且僅當(dāng)gh1=gh2時(shí)成立.

(3)d(gh1，gh2)=d(gh2，gh1).

在許多情況下，灰色猶豫模糊集中元素的個(gè)數(shù)是不等的，并且數(shù)值是處于無序狀態(tài).為了方便，假定l=max{lgh1，lgh2}，其中l(wèi)為灰色猶豫模糊集中元素的個(gè)數(shù).為了更精確地計(jì)算兩個(gè)灰色猶豫模糊元之間的距離，需要它們具有相同的個(gè)數(shù)，參考文獻(xiàn)［13］制定了如下擴(kuò)展規(guī)則:

定義5假定GA:gh={ghσ(i)|i=1，2，…，l}，規(guī)定gh+和gh-分別為GHFE中的最大和最小值.稱gh=ηgh++(1-η)gh-為擴(kuò)展值.參數(shù)η(0≤η≤1)由決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好決定.當(dāng)決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，取η=0.5，此時(shí)擴(kuò)展值gh=0.5(gh++ gh-);當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者時(shí)，取η=0，此時(shí)擴(kuò)展值gh=gh-;當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)尋求者時(shí)，取η=1，此時(shí)擴(kuò)展值gh=gh+.

根據(jù)歐氏距離同時(shí)參考文獻(xiàn)［13］，給出GHFE的距離測(cè)度:

d(gh1，gh2)=

2 灰色關(guān)聯(lián)TOPSIS決策方法

2.1 問題描述

在灰色猶豫模糊多屬性決策時(shí)，根據(jù)各屬性的評(píng)估值建立決策矩陣.設(shè)m個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象組成方案集A={A1，A2…Am}，n個(gè)決策屬性組成指標(biāo)集X= {x1，x2，…xn}，則灰色猶豫模糊決策矩陣GH為:

2.2 用灰色關(guān)聯(lián)計(jì)算權(quán)重

目前已有不少研究成果研究群決策專家權(quán)重的確定，包括關(guān)聯(lián)加權(quán)幾何平均法、離差最大化法［14-16］等，這些方法從多方面、多角度解決了群決策中專家權(quán)重的確定問題.

灰色系統(tǒng)理論在處理小樣本、貧信息，以及不確定問題上存在巨大優(yōu)勢(shì)，在多屬性決策研究中得到廣泛應(yīng)用［12，17-18］.文中依據(jù)文獻(xiàn)［12］中提出的利用灰色關(guān)聯(lián)確定群決策中指標(biāo)權(quán)重的原理，將該原理擴(kuò)展到灰色猶豫模糊集中.

定義6 GH0=(gh0(1)，gh0(2)，…gh0(n))

(1)計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)及灰色關(guān)聯(lián)度［17-18］

首先利用公式(1)，分別求出 GH0和 GH1，GH2，…，GHm的距離D，然后利用式(4)和式(5)求出灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)ζ(j)和灰色關(guān)聯(lián)度γ(j)，令D= d(ghi(j)，gh0(j))

式中:ρ為分辨系數(shù)，ρ∈(0，1)，一般取ρ=0.5各個(gè)數(shù)列的關(guān)聯(lián)度大小，直接反映了各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)于設(shè)定指標(biāo)數(shù)列相對(duì)重要的程度，即權(quán)重大小.

(2)確定為各個(gè)決策指標(biāo)的權(quán)重值wj.W(X)=(w1，w2，…wn)

式中:

2.3 確定正理想方案和負(fù)理想方案

在確定完屬性權(quán)重后，把 TOPSIS決策方法［19-22］擴(kuò)展到灰色猶豫模糊集，進(jìn)行方案排序.正理想點(diǎn)PIS用GA+表示;負(fù)理想點(diǎn)NIS用GA-表示.

負(fù)理想方案:

2.4 計(jì)算第i方案到正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)距離

在TOPSIS決策的實(shí)踐中，各指標(biāo)的重要程度不同，常常需要考慮權(quán)重因素.文中采用有關(guān)聯(lián)加權(quán)距離的方法.各方案到正理想點(diǎn)的加權(quán)距離為:

各方案到負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)距離為:

式中，wj為第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重.

2.5 計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度

各方案的相對(duì)貼近度ci的計(jì)算方法為

顯然，相對(duì)貼近度越大，方案越優(yōu).基于以上分析，灰色猶豫模糊集的灰關(guān)聯(lián)TOPSIS決策方法的主要步驟為①利用公式(4)、(5)和(6)得到屬性權(quán)重向量;②利用公式(7)和(8)確定灰色猶豫模糊的正理想值GA+和負(fù)理想值GA-;③利用公式(9)和(10)計(jì)算方案Ai的d+i和d-i;④ 利用公式(11)，計(jì)算各方案相對(duì)貼近度ci;⑤根據(jù)相對(duì)貼近度，選擇最佳方案.

3 算例

專業(yè)批發(fā)市場(chǎng)可持續(xù)性發(fā)展決策受多種因素影響.正確的專業(yè)市場(chǎng)發(fā)展決策影響經(jīng)濟(jì)與社會(huì)各個(gè)方面.假定有5種備選發(fā)展方案Ai(i=1，2，3，4，5)，有4種屬性:P1為技術(shù);P2為環(huán)境;P3為社會(huì)政治;P4為經(jīng)濟(jì).邀請(qǐng)5位專家來評(píng)估5種方案.屬性值以GHFS的形式給出，灰色猶豫模糊決策矩陣見表1.顯然本例中屬性值的長(zhǎng)度不同，此處假定決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，因此取η=0，擴(kuò)展值gh= gh-，具體數(shù)值見表2.

表1 灰色猶豫模糊決策矩陣Table 1 Grey hesitation fuzzy decision-making matrix

表2 基于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的灰色猶豫模糊擴(kuò)充決策矩陣Table 2 Grey hesitation fuzzy decision-making extended matrix based on risk aversion

步驟1:利用式(4)、(5)得到灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)ζi(j)和灰色關(guān)聯(lián)度γ(j)，利用公式(6)得到w.

步驟2:利用公式(7)和(8)確定灰色猶豫模糊的正理想值GA+和負(fù)理想值GA

GA-=

{〈［0.2，0.5］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］，［0.1，0.3］〉，

〈［0.6，0.7］，［0.3，0.4］，［0.1，0.2］，［0.1，0.2］，［0.1，0.2］〉，

〈［0.3，0.5］，［0.1，0.3］，［0.1，0.2］，［0.1，0.3］，［0.1，0.2］〉，

〈［0.5，0.6］，［0.3，0.4］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］，［0.2，0.3］〉}

GA+=

{〈［0.7，0.9］，［0.6，0.7］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］〉，

〈［0.7，0.9］，［0.7，0.8］，［0.6，0.7］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］〉，

〈［0.7，0.9］，［0.7，0.8］，［0.6，0.7］，［0.6，0.7］，［0.6，0.7］〉，

〈［0.8，0.9］，［0.7，0.8］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］，［0.5，0.6］〉}

步驟3:利用公式(9)和(10)計(jì)算方案Ai(i=

步驟4:利用公式(11)，計(jì)算各方案相對(duì)貼近度ci(i=1，2，3，4，5):

c1=0.3518，c2=0.3308，c3=0.5558，

c4=0.3404，c5=0.6803.

步驟5:根據(jù)相對(duì)貼近度，選擇最佳方案ci(i= 1，2，3，4，5)，對(duì)備選方案進(jìn)行排序Ai(i=1，2，3，4，5)

顯然，A5?A3?A4?A1?A2，這樣最佳選擇方案為A5.

4 結(jié)論

多屬性決策問題往往面臨著復(fù)雜的環(huán)境，并且可能會(huì)出現(xiàn)非精確的數(shù)據(jù)，甚至伴有模糊性和灰性.在現(xiàn)實(shí)決策中，猶豫模糊決策信息往往是只知道大概范圍而不知道其確切值的灰權(quán)，而并非在給定范圍之內(nèi)任意數(shù)皆可的內(nèi)涵，因此文中提出了用灰數(shù)代替區(qū)間數(shù)的灰色猶豫模糊集.它既是對(duì)猶豫模糊的擴(kuò)展，更是對(duì)灰色系統(tǒng)的新應(yīng)用領(lǐng)域的拓展.以此為基礎(chǔ)，文中進(jìn)一步提出了灰關(guān)聯(lián)定權(quán)的TOPSIS決策方法，并用專業(yè)批發(fā)市場(chǎng)可持續(xù)性發(fā)展策略的算例證明了該方法的有效性和應(yīng)用性.該方法可以在類似的經(jīng)濟(jì)與管理的決策中推廣應(yīng)用.

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(責(zé)任編輯:童天添)

Grey hesitant fuzzy sets and its decision making based on grey relation and TOPSIS

Li Qingsheng1，2，Liu Sifeng1
(1.School of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing Jiangsu 211106，China)
(2.School of Business，Linyi University，Linyi Shandong 276005，China)

As a fuzzy set of the latest extension form，hesitant fuzzy set has its unique advantage in dealing with the data of partial certainty and partial uncertainty.In reality，in the hesitant fuzzy decision-making，the information is often partially known and partially unknown，embodied in the form of grey information.So we propose a new grey hesitant fuzzy set(GHFS)which is an extension to grey sets of the hesitant fuzzy set.This paper also presents the calculation formula of grey hesitant fuzzy element distance，and then puts forward the grey weighted and TOPSIS decision method of GHFS.A professional market development strategy selection problem is used to illustrate the detailed implementation process of the proposed approach and to demonstrate its validity and applicability.

grey hesitant fuzzy set;grey relation; TOPSIS

C934

A

1673-4807(2015)06-0597-05

10.3969/j.issn.1673-4807.2015.06.016

2015-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金國(guó)際(地區(qū))合作與交流項(xiàng)目(71111130211);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70901041，70701017);國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃培育項(xiàng)目(90924022);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70971064)

李慶勝(1970—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)榛疑到y(tǒng)、不確定性決策.E-mail:liqingshengguanli@163.com

李慶勝，劉思峰.灰色猶豫模糊集及其灰關(guān)聯(lián)Topsis決策方法［J］.江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，29(6):597-601.