一道高考題的拓展

鄭金

歷年高考題都是師生進(jìn)行復(fù)習(xí)和研究的寶貴資源，若能善于利用，將會(huì)收到良好的教學(xué)效果，如一題多解、一題多問(wèn)或一題多變，有助于理解知識(shí)、訓(xùn)練思維和培養(yǎng)能力.現(xiàn)以2007年高考江蘇卷第19題為例進(jìn)行一題多問(wèn)和多解.該題是關(guān)于兩個(gè)相互作用物體在豎直方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，作為壓軸題，其難度很大.如果對(duì)題目進(jìn)行拓展，不僅能訓(xùn)練思維，而且能加深理解牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和能量守恒定律等規(guī)律以及隔離法、整體法、歸納法、補(bǔ)償法和相對(duì)加速度法等解題方法.

例題 如圖1所示.一個(gè)圓環(huán)A套在一根均勻圓柱形木棒B上，環(huán)和棒的質(zhì)量都為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，大小為f=km（k>1）.開(kāi)始時(shí)棒豎直放置，下端離地面高度為H，圓環(huán)套在棒的上端，二者由靜止開(kāi)始自由下落，棒與地面發(fā)生碰撞后，棒以豎直向上的速度反向運(yùn)動(dòng)，而且碰撞前后的速度大小相等，設(shè)碰撞時(shí)間極短，空氣阻力忽略不計(jì)，棒始終保持豎直.問(wèn)：（1）在木棒再次著地前，要使圓環(huán)不脫離木棒，木棒至少為多長(zhǎng)？（2）木棒第一次觸地后上升的最大高度為多少？（3）木棒與圓環(huán)第一次相對(duì)靜止時(shí)的速度為多少？（4）木棒第二次觸地時(shí)的速度為多大？（5）木棒從第二次觸地到二者速度相等期間的相對(duì)位移為多少？（6）木棒從第一次觸地到第 次觸地后速度相等期間發(fā)生的相對(duì)位移為多少？

解析 （1）環(huán)與棒一起做自由落體運(yùn)動(dòng)，剛觸地時(shí)木棒的速度為v0=2gH，在棒觸地瞬間，由于慣性，環(huán)獲得向下的初速度，大小為v0=2gH，相對(duì)于棒向下滑動(dòng)，即相對(duì)于地面向下做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為aA=f-mgm，方向向上;

同時(shí)棒反彈，向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為

aB=f+mgm，方向向下.

由于棒的加速度大于環(huán)的加速度，而初速度相同，因此棒的速度先變?yōu)榱?，接著受力情況不變，環(huán)繼續(xù)向下做勻減速運(yùn)動(dòng)，棒向下做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，直到二者速度相同.對(duì)上述過(guò)程可求出環(huán)相對(duì)于棒的位移，即為滿足條件的棒的最小長(zhǎng)度.但分步求解太麻煩，下面利用整體法求解.

在棒開(kāi)始向上反彈直到二者速度相同的過(guò)程中，環(huán)相對(duì)于棒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，以棒為參考系，環(huán)的相對(duì)初速度為v=2v0，方向向下，相對(duì)末速度為v′=0，相對(duì)加速度為a=aA+aB=2fm，方向向上.所以相對(duì)位移為s1=v22a=mv20f=2mgHf=2Hk.

只要棒的長(zhǎng)度不小于2Hk，那么在棒再次著地前，圓環(huán)就不會(huì)脫離木棒.反之，如果棒的長(zhǎng)度已確定為L(zhǎng)，那么開(kāi)始下落時(shí)棒下端到地面的距離不應(yīng)大于kL2.上述相對(duì)加速度法是一種過(guò)程整體法.

點(diǎn)評(píng) 解答該題關(guān)鍵是通過(guò)分析各自的加速度后能得出棒的速度先變?yōu)榱悖貏e是利用相對(duì)加速度法和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).

（2）木棒第一次觸地后，彈起速度為v0=2gH，加速度為a1=f+mgm=（k+1）g，方向向下，向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度為零，可知木棒下端上升的最大高度為h=v202a1=Hk+1.

（3）木棒上升時(shí)間t=v0a1=v0（k+1）g，木棒第一次觸地后，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t′達(dá)到共同速度，以棒為參考系，取豎直向下為正方向，則環(huán)的相對(duì)初速度為v=2v0，方向向下，相對(duì)末速度為v′=0，相對(duì)加速度為a=aA+aB=2fm，方向向上.所以時(shí)間

t′=2v0-0a=v0kg，可見(jiàn)t′大于t，表明二者速度相等時(shí)木棒在下落.

第一次速度相等時(shí)的共同速度為圓環(huán)勻減速運(yùn)動(dòng)的速度，即u=v0-a2t′=v0k.

（4）利用過(guò)程分解法，木棒從最大高度開(kāi)始下落到與圓環(huán)速度相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間

Δt=t′-t=v0kg-v0（k+1）g=v0k（k+1）g.

因此木棒在Δt時(shí)間內(nèi)下落的距離為

Δh=12a1（Δt）2=v202k2（k+1）g=Hk2（k+1）.

二者速度相等以后，一起做加速度為g的落體運(yùn)動(dòng)，初速度為u，木棒下端將發(fā)生的位移為

h′=h-Δh=Hk+1-Hk2（k+1）=k-1k2H，

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2gh′=v21-u2，

即2kk-1k2H=v21-2gHk2，所以v21=2gHk，即v1=2gHk.

或者利用過(guò)程整體法，應(yīng)用能量守恒定律求木棒觸地速度.圓環(huán)相對(duì)于木棒的位移為s1=2Hk，則從開(kāi)始下落到第2次觸地的整個(gè)過(guò)程，有mgH+mg（H+s1）-kmgs1=12（2m）v21），可得v1=2gHk.

還可利用補(bǔ)償法.即把初速度不為零的加速度為g的落體運(yùn)動(dòng)視為自由落體運(yùn)動(dòng)的一部分，可找到初速度為零的位置，就是所設(shè)想的自由落體運(yùn)動(dòng)的初始位置，則從該位置開(kāi)始速度由零增加到 所發(fā)生的位移為h0=u22g=v202gk2=Hk2，它與位移h′=k-1k2H之和等于設(shè)想的自由落體運(yùn)動(dòng)的位移，即s=h0+h′=Hk，所以木棒做自由落體運(yùn)動(dòng)的觸地速度v1=2gs=

2gHk.

（5）木棒第二次上升的最大高度h1=v212a1=2Hk（k+1），以棒為參考系，環(huán)的相對(duì)初速度v=2v1，方向向下，相對(duì)末速度為v′=0，相對(duì)加速度為a=aA+aB=2fm，方向向上.

所以相對(duì)位移s2=2v21a=mv21f=2mgHkf=2Hk2.