何佳斌 吳志生 李樂樂

（太原科技大學(xué)焊接技術(shù)研究所，太原，030024）

0 引言

馬鞍型空間曲線是一種典型的、復(fù)雜的空間曲線，在焊接馬鞍型焊縫的實際生產(chǎn)中，焊槍沿著焊縫的位置移動也伴隨著姿態(tài)變化，其位姿變化軌跡較復(fù)雜。本文針對Motoman-UP6 型弧焊機(jī)器人實現(xiàn)焊接馬鞍型焊縫的軌跡運(yùn)動仿真，這對研究機(jī)器人自動化焊接空間曲線焊縫起指導(dǎo)作用[1]。

Motoman-UP6 型弧焊機(jī)器人是典型的三維開環(huán)鏈?zhǔn)綑C(jī)構(gòu)的工業(yè)機(jī)器人，具有六個串聯(lián)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸，如圖1 所示，分別為S 軸、L 軸、U 軸、R 軸、B 軸和T 軸，并且在其工作空間內(nèi)，可以實現(xiàn)工具末端點（TCP）的任意空間位置與姿態(tài)。

圖1 Motoman-Up6 弧焊機(jī)器人

1 機(jī)器人三維建模及結(jié)構(gòu)描述

1.1 機(jī)器人三維建模

在對機(jī)器人實體三維建模時，可以簡化機(jī)器人模型中對運(yùn)動仿真不影響的細(xì)節(jié)部分，只要保證機(jī)器人模型的外部輪廓以及關(guān)節(jié)位置和機(jī)器人實體一致，其運(yùn)動學(xué)仿真結(jié)果與實際運(yùn)動學(xué)結(jié)果就是等價的。

通過以上思想，這里對機(jī)器人模型進(jìn)行合理的簡化，減少模型的零件數(shù)，利用三維建模軟件Solidworks 建立整個機(jī)器人各構(gòu)件的實體模型，包括基座、轉(zhuǎn)臺、大臂、拐桿、小臂、末端和焊槍。然后，通過各構(gòu)件之間轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的約束定義，得到UP6 型弧焊機(jī)器人裝配體模型如圖2 所示，弧焊機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸如圖3 所示。

圖2 UP6 弧焊機(jī)器人裝配體模型

圖3 UP6 弧焊機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸

1.2 機(jī)器人結(jié)構(gòu)描述

在機(jī)器人運(yùn)動學(xué)中，機(jī)械臂可以看成是由一系列連桿通過關(guān)節(jié)連接而成的一個運(yùn)動鏈，需要通過定義某些參數(shù)來具體描述這個運(yùn)動鏈。采用修正后的Denait-Hartenberg（D-H）理論[2]，本文將軸S、軸L、軸U、軸R、軸B和T 軸（如圖1 中所示）分別標(biāo)記為軸1-軸6，并且將基座、轉(zhuǎn)臺、大臂、拐桿、小臂、腕部和焊槍（如圖2 中所示）分別標(biāo)記為連桿0-連桿6。

用連桿長度 ai?1（關(guān)節(jié)軸i -1和關(guān)節(jié)軸i 之間公垂線的長度，由關(guān)節(jié)軸i -1指向關(guān)節(jié)軸i）和連桿轉(zhuǎn)角 （按右手定則繞 ai?1從關(guān)節(jié)軸i -1到關(guān)節(jié)軸i 的角度）作為描述連桿i -1的參數(shù)，

節(jié)軸i 同向）關(guān)節(jié)角度θi（按右手定則繞關(guān)節(jié)軸i 從α i?1

用連桿偏距 di（αi?1和 αi之間公垂線的距離，與關(guān)

到 αi的角度）作為描述關(guān)節(jié)軸i 的參數(shù)，其中對于運(yùn)動

鏈的末端連桿， ai?1和αi?1習(xí)慣設(shè)置為0，即 a0=a6= 0，α0=α6= 0。在這里提出了D-H 參數(shù)的方向性，其主要是為了后面建立連桿坐標(biāo)系提供方便，并能夠直接引入

表1 Motoman-UP6 機(jī)器人的D-H 參數(shù)表

1.3 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系建立

機(jī)械臂相鄰連桿之間的空間關(guān)系是通過固接的連桿坐標(biāo)系之間的空間關(guān)系來描述，首先需要在每個連桿上定義一個固接的連桿坐標(biāo)系，其建立規(guī)則如下[2]：

1）坐標(biāo)系{i}的iZ 軸沿關(guān)節(jié)軸i 由公垂線 1ia?指向公垂線ia （當(dāng)id =0 時，iZ 垂直于 1ia?和ia 所在的平面）;

2）坐標(biāo)系{i}的 iX 軸沿公垂線ia 由關(guān)節(jié)軸i 指向關(guān)節(jié)軸 1i+ （當(dāng) ia =0 時，iX 垂直于iZ 和 1iZ+所在的平面）;

3）坐標(biāo)系{i}的原點位于公垂線 ia 與關(guān)節(jié)軸i 的交點處，坐標(biāo)系{i}的iY 軸可由其他兩個按右手定則得到。

圖4 所示為UP6 機(jī)器人各連桿坐標(biāo)系，連桿坐標(biāo)系{0}-連桿坐標(biāo)系{6}依次固接在機(jī)器人基座、轉(zhuǎn)臺、大臂、拐桿、小臂、腕部上，圖中X0方向與Z0方向構(gòu)成了坐標(biāo)系{0}，其中Y0方向按右手定則得到，后面連桿坐標(biāo)系同理。固連在基座上的連桿坐標(biāo)系為{0}，它是一個固定不動的坐標(biāo)系，為了簡便，通常設(shè)定當(dāng)1θ =0°時，坐標(biāo)系{0}與坐標(biāo)系{1}重合，同理，固連在機(jī)器人腕部的連桿坐標(biāo)系為{6}，取 =0°時，連桿坐標(biāo)系{5}的X5軸與連桿坐標(biāo)系{6}的X6軸重合。

圖4 UP6 機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

利用以上的四個D-H 參數(shù)，關(guān)節(jié)角度iθ 、連桿偏距連桿轉(zhuǎn)角 ai?1和連桿長度 構(gòu)建出連桿坐標(biāo)系{i}相對于連桿坐標(biāo)系{i-1}的變換矩陣[2]：

式（1）中 icθ 表示的是cosiθ ，isθ 表示的是siniθ下式同；

故由上面的機(jī)器人D-H 參數(shù)可以得到各個相鄰連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣，如下式（2）-式（7）所示。

所以，可以得到連桿坐標(biāo)系{6}相對于連桿坐標(biāo)系{0}的變換矩陣為：

06T 是

關(guān)于6 個關(guān)節(jié)軸角的函數(shù)，可以根據(jù)各關(guān)節(jié)角度θi計算出固接在腕部的連桿坐標(biāo)系{6}相對于固接在基座的連桿坐標(biāo)系{0}的位置和姿態(tài)。

3 焊縫坐標(biāo)系建立

本文中焊接工件為兩個垂直相交的的圓管，其半徑分別為100mm（r）和200mm（R），如圖5 所示。焊縫坐標(biāo)系（表示為坐標(biāo)系{Hi}，0 ≤i ≤n，n 為空間曲線離散點個數(shù)）是用來描述空間曲線焊縫的。坐標(biāo)系{Hi}的坐標(biāo)原點和基軸軸向分別表示的是焊槍末端沿著焊縫運(yùn)動在i 時刻的位置及姿態(tài)，X 軸表示焊縫曲線的切線方向，也即焊槍的前進(jìn)方向，Z 軸表示焊縫曲線的法線方向，也即焊槍的軸向。圖中坐標(biāo)系{G}表示的是工件中心坐標(biāo)系。

圖5 焊縫坐標(biāo)系

在工件中心坐標(biāo)系{G}中，建立空間曲線方程為：

利用Matlab 將該焊縫軌跡的數(shù)學(xué)模型提取出來，并將其軌跡曲線均勻離散化處理后，計算出每個離散點的位置及姿態(tài)，即構(gòu)成焊縫坐標(biāo)系。

焊縫坐標(biāo)系{Hi}相對于工件中心坐標(biāo)系{G}位姿矩陣可表示為[3]：

3.1 位置計算

各離散點的位置計算，也即焊縫坐標(biāo)系{Hi}原點位置計算。

在Matlab 中繪制該馬鞍型焊縫軌跡線，得到如圖6所示馬鞍型焊縫方向矢量中的黑色曲線。

3.2 姿態(tài)計算

各離散點的姿態(tài)計算，也即焊縫坐標(biāo)系{Hi}基軸軸向計算。

方向向量 ∶焊槍前進(jìn)方向，為空間焊縫曲線的切線方向，即圖6 中藍(lán)色箭頭線所示；

方向向量 ∶焊槍軸線方向，為焊縫曲線法平面與兩個圓管曲面所成曲線的切線夾角的平分線方向，如圖6 所示，黃顏色箭頭線為曲線法平面與圓管R 所成曲線的切線方向，粉紅色箭頭線為曲線法平面與圓管r 所成曲線的切線方向。

在Matlab 中執(zhí)行以上運(yùn)算過程的編程，得到其焊縫坐標(biāo)系{Hi}（0 ≤i ≤100）如圖7 馬鞍型焊縫坐標(biāo)系。

圖6 馬鞍型焊縫方向矢量

圖7 馬鞍 型 焊 縫 坐 標(biāo)系

4 機(jī)器人轉(zhuǎn)換方程建立及Matlab 逆解計算

4.1 機(jī)器人轉(zhuǎn)換方程建立

機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)是在已知工具坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的期望位置與姿態(tài)，計算一系列滿足期望要求的關(guān)節(jié)角度。只要通過運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)出腕部連桿坐標(biāo)系{6}相對于基座連桿坐標(biāo)系{0}的變換矩陣06T，即可利用Matlab中的Robotic toolbox 求解出機(jī)器人各關(guān)節(jié)角。

由于在當(dāng)工具末端處于目標(biāo)位姿時，工具末端坐標(biāo)系{7}與焊縫坐標(biāo)系{Hi}將重合，如圖8 所示為弧焊機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，圖中坐標(biāo)系{S}為工作臺坐標(biāo)系，其相對于基座坐標(biāo)系{0}固定不動。從而構(gòu)建機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程如式（10）所示，等式左邊為工具末端的連桿坐標(biāo)系{7}相對于基座坐標(biāo)系{0}的變換矩陣，等式右邊為焊縫坐標(biāo)系{Hi}相對于基座坐標(biāo)系{0}的變換矩陣。

圖8 弧焊機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

所以得到：

式中 T06表示機(jī)器人腕部坐標(biāo)系{6}相對于基座坐標(biāo)系{0}的轉(zhuǎn)換矩陣；

T67表示工具末端坐標(biāo)系{7}相對于機(jī)器人腕部坐標(biāo)系{6}的轉(zhuǎn)換矩陣；

TS0表示工作臺坐標(biāo)系{S}相對于基座坐標(biāo)系{0}的轉(zhuǎn)換矩陣；

TGS表示工件坐標(biāo)系{G}相對于工作臺坐標(biāo)系{S}的轉(zhuǎn)換矩陣；

THGi

表示焊縫坐標(biāo)系{Hi}相對于工件坐標(biāo)系{G}的轉(zhuǎn)換矩陣。

經(jīng)過轉(zhuǎn)換，得到：

由于工作臺坐標(biāo)系{S}相對于基座坐標(biāo)系{0}的位姿是固定不變的，所以0ST為已知矩陣，同理SGT 和67T也是已知的。本文在計算中有：

4.2 Matlab 逆解計算

利用Matlab 中的Robotics Toolbox 建立UP6 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型，并求其對應(yīng)位姿逆解[4]，在逆解之前可以通過驗證：

時，得到其軸坐標(biāo)分別為[0 –pi/2 0 0 pi/2 0]和[0.35 -1.22 0.52 0.70 -3.84 1.05]，并得到機(jī)器人各軸位姿圖形[5]如圖9、圖10 所示，可以看到其逆解可靠。

建立機(jī)器人模型及其求逆程序如下：

L1=link([0 0 0 0],'modified');

L2=link([-pi/2 150 -pi/2 0],'modified');

L3=link([pi 570 0 0],'modified');

L4=link([-pi/2 130 0 -640],'modified');

L5=link([pi/2 0 pi/2 0],'modified');

L6=link([pi/2 0 0 0],'modified');

r=robot({L1 L2 L3 L4 L5 L6});

r.name='Motoman-UP6';

T=0sT*sgT*ghT*(67T)^-1;

q=ikine(r,T,[0 pi/2 0 0 -pi/2 0]);

圖9 Matlab 機(jī)器人逆解1

圖10 Matlab 機(jī)器人逆解2

5 機(jī)器人焊接計算機(jī)仿真

利用Solidworks 中的Motion 插件進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動仿真實驗， 將Matlab 中所得各關(guān)節(jié)坐標(biāo)輸入到Solidworks 建立的機(jī)器人模型6 個關(guān)節(jié)中，關(guān)節(jié)坐標(biāo)通過樣條曲線插值擬合，使關(guān)節(jié)運(yùn)動平穩(wěn)。如圖11 所示為5s 內(nèi)機(jī)器人關(guān)節(jié)軸角隨時間變化散點圖，圖中每個星點、散點表示的是該時刻對應(yīng)的各關(guān)節(jié)軸角值。關(guān)節(jié)角1-5 的散點在整個仿真時間內(nèi)均呈現(xiàn)周期性的弦曲線分布，且周期均為5s，在結(jié)束時刻各軸回到初始角度，整體來看軸角散點在曲線的極點時刻都分布較密集，而在曲線極點的過渡時刻分布較稀疏。關(guān)節(jié)角6 的散點從0°-360°以2.5s 為周期呈現(xiàn)規(guī)律性波動上升，散點分布均勻。

圖11 機(jī)器人軸坐標(biāo)隨時間變化曲線

如圖12 所示為弧焊機(jī)器人焊接馬鞍型焊縫仿真過程幀圖，在整個仿真過程中焊槍末端點（焊絲端點）始終與焊縫軌跡點保持協(xié)調(diào)吻合，焊槍的軸線方向（焊槍坐標(biāo)系{7}的Z 軸方向）始終沿焊縫軌跡點的Z 軸方向，焊槍的前進(jìn)方向（焊槍坐標(biāo)系{7}的X 軸方向）也始終沿焊縫軌跡點的X 軸方向。

圖14 焊槍末端仿真過程線性速度變化曲線

圖15 焊槍末端仿真過程線性加速度變化曲線

圖12 弧焊機(jī)器人焊接馬鞍型焊縫仿真幀圖

如圖13-圖15 所示焊槍末端仿真過程中的位移、速度及加速度隨時間變化曲線，其變化也均呈周期性。

圖13 焊槍末端仿真過程線性位移變化曲線

6 結(jié)論

1）為了實現(xiàn)模型關(guān)節(jié)角度方向與實體關(guān)節(jié)角度方向相一致，連桿坐標(biāo)系Z 軸方向須按照右手定則確定，這對于運(yùn)動仿真的真實性非常重要。引用修改后的D-H 參數(shù)法，并提出了D-H 參數(shù)的方向性，這對于后面建立連桿坐標(biāo)系十分方便，在建立運(yùn)動學(xué)方程時可以直接引用John. J. Craig 提出的連桿變換矩陣 。

2）機(jī)器人Motion 運(yùn)動仿真軌跡跟數(shù)學(xué)模型一致，證明所建的運(yùn)動學(xué)方程與焊縫坐標(biāo)系正確，并通過數(shù)據(jù)點間的樣條曲線插值擬合，完成了數(shù)據(jù)點間的平穩(wěn)過渡，所得軌跡圓滑無棱角，聯(lián)合Matlab 的Robotic toolbox 逆解計算以及Solidworks 的三維仿真，完成了機(jī)器人從運(yùn)動控制到模型運(yùn)動的整個過程，這對后期實現(xiàn)離線編程與仿真有重要作用。

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