劉珠妹 李盛樂(lè)

1 中國(guó)地震局地震研究所（地震大地測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室），武漢市洪山側(cè)路40號(hào)，430071

2015－04－25發(fā)生的尼泊爾Mw7.8（M8.1）地震是尼泊爾81a來(lái)遭遇的最強(qiáng)烈地震。此次地震強(qiáng)余震不斷，共發(fā)生Mw5 以上余震17 次，且地震破裂由西向東遷移，對(duì)我國(guó)西藏等地區(qū)造成一定的影響。

大地震發(fā)生后，對(duì)后續(xù)強(qiáng)余震發(fā)生時(shí)間的研究是震后趨勢(shì)判定的工作重點(diǎn)之一。谷繼成等［1］對(duì)我國(guó)1931～1977年28個(gè)地震序列進(jìn)行研究，提出地震序列中相鄰余震之間“等待時(shí)間”規(guī)律，并以此判斷地震類型，以及進(jìn)行大震后強(qiáng)余震發(fā)生時(shí)間的短臨預(yù)測(cè)。但在實(shí)際工作中，該方法更多地被用于地震序列類型的判定［2－4］，而較少應(yīng)用于強(qiáng)余震發(fā)生時(shí)間的預(yù)測(cè)［5－8］。本文首先從理論上對(duì)“等待時(shí)間”強(qiáng)余震預(yù)測(cè)法的殘差結(jié)構(gòu)改變問(wèn)題進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上給出了基于加權(quán)最小二乘擬合的模型改進(jìn)方法，并將其應(yīng)用于尼泊爾地震的強(qiáng)余震預(yù)測(cè)。

1 問(wèn)題提出與模型改進(jìn)

1.1 “等待時(shí)間”強(qiáng)余震預(yù)測(cè)模型

“等待時(shí)間”即一個(gè)地震序列中相鄰兩組強(qiáng)余震之間的時(shí)間間隔。谷繼成［1］發(fā)現(xiàn)，主余型地震序列中第i與第i－1個(gè)強(qiáng)余震的等待時(shí)間Δti與第i個(gè)強(qiáng)余震的發(fā)震時(shí)刻ti滿足以下關(guān)系：

根據(jù)已知的地震余震序列，采用最小二乘法即可求得式（1）的線性擬合參數(shù)β0、β1，進(jìn)而通過(guò)最近一次強(qiáng)余震的發(fā)震時(shí)間ti預(yù)測(cè)后續(xù)余震的發(fā)震時(shí)間。

1.2 基于加權(quán)最小二乘的強(qiáng)余震預(yù)測(cè)模型

“等待時(shí)間法”對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)采用了對(duì)數(shù)變換，使其滿足線性模型假設(shè)。但同時(shí)，對(duì)數(shù)變換也改變了模型殘差的方差性質(zhì)。在最小二乘求解線性方程時(shí)，改變了最小二乘法的準(zhǔn)則函數(shù)［9］。

設(shè)Δt為相鄰強(qiáng)余震的等待時(shí)間，t為強(qiáng)余震的發(fā)震時(shí)間，則“等待時(shí)間－發(fā)震時(shí)間”模型的普通最小二乘準(zhǔn)則函數(shù)為：

而對(duì)數(shù)變換后的最小二乘準(zhǔn)則為：

從而

忽略常數(shù)項(xiàng)，對(duì)數(shù)變化后的最小二乘準(zhǔn)則函數(shù)變?yōu)椋?/p>

將原始“等待時(shí)間－發(fā)震時(shí)間”數(shù)據(jù)作對(duì)數(shù)變換相當(dāng)于對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，且權(quán)值為。加權(quán)的結(jié)果導(dǎo)致等待時(shí)間Δt值較小時(shí)，權(quán)值較大；隨著能量的衰減，相鄰兩次強(qiáng)余震等待時(shí)間增大時(shí)，權(quán)值較小。因此利用普通最小二乘法求解擬合參數(shù)時(shí)，最近的余震樣本距主震發(fā)震時(shí)間較遠(yuǎn)，權(quán)值較低，對(duì)下一次強(qiáng)震時(shí)間預(yù)測(cè)控制力不足，從而影響預(yù)測(cè)的精度。

為抵消上述加權(quán)結(jié)果，在對(duì)數(shù)變換后線性擬合時(shí)，同樣可對(duì)數(shù)據(jù)加權(quán)：

令權(quán)值wi＝Δti，即可在一定程度上彌補(bǔ)雙對(duì)數(shù)變化對(duì)余震預(yù)測(cè)誤差的影響，從而提高預(yù)測(cè)的精度。利用加權(quán)改進(jìn)的“等待時(shí)間法”進(jìn)行強(qiáng)余震預(yù)測(cè)的流程見(jiàn)圖1。

2 尼泊爾地震強(qiáng)余震預(yù)測(cè)

2.1 余震目錄準(zhǔn)備

谷繼承［11］建議，對(duì)于7 級(jí)以上強(qiáng)震，一般篩選低于主震2.5～3級(jí)的余震作為已知樣本進(jìn)行后續(xù)預(yù)測(cè)，確定合適的序列震級(jí)下限。本文分別針對(duì)尼泊爾地震Mb4.5、Mb5以上余震目錄進(jìn)行“等待時(shí)間”分析。數(shù)據(jù)采用美國(guó)ANSS 地震目錄，時(shí) 間 截 至05－12 07：05（UTC 時(shí)）發(fā) 生 的Mw7.3強(qiáng)余震。

圖1 “等待時(shí)間法”強(qiáng)余震模型預(yù)測(cè)流程Fig.1 Flow of waiting time prediction for strong aftershocks

圖2（a）中余震下限為Mb4.5時(shí)，序列在“發(fā)震時(shí)間－等待時(shí)間”雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸中的線性擬合決定系數(shù)R2為0.68，樣本均方誤差MSE為0.26，余震序列分布較分散，不適宜進(jìn)行后續(xù)余震時(shí)間預(yù)測(cè)；而圖2（b）中，5級(jí)以上余震序列線性擬合決定系數(shù)R2為0.95，MSE為0.06，線性關(guān)系更為顯著，序列分布更集中。因此，選擇Mb5以上尼泊爾余震目錄進(jìn)行“等待時(shí)間”強(qiáng)余震預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)。

表1 給出了尼泊爾Mw7.8 地震序列中Mw5.0以上地震目錄，并計(jì)算每個(gè)余震樣本距離主震的發(fā)震時(shí)間ti、等待時(shí)間Δti和各自的對(duì)數(shù)值。其中序號(hào)13的余震與后續(xù)余震的間隔時(shí)間（0.28h）小于前一個(gè)強(qiáng)余震等待時(shí)間（7.88h）的1／20，文中將其視為同一次能量釋放，取較大震級(jí)的余震參與分析［11］。

修正目錄前后，樣本的線性關(guān)系發(fā)生明顯變化。圖3（a）中，未篩選目錄擬合系數(shù)R2為0.532，修正后R2提高到0.873，達(dá)到0.01的顯著水平（圖3（b））。

圖2 不同余震下限樣本的線性關(guān)系Fig.2 The linear relationship of samples with different minimum magnitudes

2.2 實(shí)驗(yàn)分析

選取整個(gè)序列中通過(guò)線性回歸R檢驗(yàn)及F檢驗(yàn)，表現(xiàn)為顯著線性關(guān)系的N個(gè)樣本進(jìn)行多組強(qiáng)余震預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)。首先對(duì)樣本分別進(jìn)行普通最小二乘擬合和以Δti為權(quán)值的加權(quán)最小二乘擬合。將線性擬合參數(shù)β0、β1代入式（1），得到擬合線性方程。再窮舉Δt＝i（i＝1，2，3，…，n），tN＋1＝tN＋ΔtN－1／20＋i，作出窮舉線（圖4）。窮舉線與擬合線的交點(diǎn)即為預(yù)測(cè)的第N＋1個(gè)強(qiáng)余震，交點(diǎn)x坐標(biāo)值經(jīng)乘冪變換后即為強(qiáng)余震的發(fā)震時(shí)間。

表1 尼泊爾Mw7.8地震5級(jí)以上余震序列統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Mw7.8Nepal earthquake sequences with Mw≥5.0

圖3 篩選目錄前后樣本的線性關(guān)系Fig.3 The linear relationship of samples before and after sequence sieving

圖4 窮舉法求解余震發(fā)震時(shí)間（樣本數(shù)N＝10）Fig.4 Solving equation by exhaustion methods（sample number＝10）

表2中“最大樣本時(shí)間”指參與建模的最后余震距主震的發(fā)震時(shí)間。除N＝11／13的兩組實(shí)驗(yàn)外，其他5組經(jīng)過(guò)加權(quán)改正的余震預(yù)測(cè)精度均有不同程度的提高。總體平均絕對(duì)殘差由原模型的0.173降為0.16，模型預(yù)測(cè)精度得到改善。預(yù)測(cè)的置信區(qū)間跨度也由原模型的0.590 縮小為0.125，說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性降低，預(yù)測(cè)實(shí)用性有了一定的提高。

3 分析與討論

為進(jìn)一步驗(yàn)證加權(quán)改正模型的適用性，本文另選取幾組典型的7級(jí)以上主余型地震的強(qiáng)余震樣本進(jìn)行模型改正前后的強(qiáng)余震預(yù)測(cè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。表3給出不同震例分別采用普通最小二乘和加權(quán)最小二乘得到的后續(xù)余震預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)殘差以及真實(shí)發(fā)震時(shí)間與實(shí)際誤差。

由表3 及圖5 可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)改進(jìn)的“等待時(shí)間法”應(yīng)用于多個(gè)震例后，模型預(yù)測(cè)精度均有不同程度的提高。精度提高最大的烏恰震例，原模型預(yù)測(cè)誤差為0.323，模型改正后預(yù)測(cè)誤差減小為0.014。蘆山余震預(yù)測(cè)誤差，也由0.112 減小為0.071。6 個(gè)震例的平均絕對(duì)殘差由原模型的0.24降為0.045，平均降幅高達(dá)71%。

雖然經(jīng)過(guò)模型改正后，余震預(yù)測(cè)的誤差有了不同程度的降低，但由對(duì)數(shù)模型轉(zhuǎn)化為真實(shí)時(shí)間后，實(shí)際預(yù)測(cè)誤差卻長(zhǎng)達(dá)數(shù)10h，甚至上百h。由表3可見(jiàn)，于田、通海等震例改正模型的預(yù)測(cè)誤差均小于0.1，而轉(zhuǎn)化為實(shí)際時(shí)間后，后續(xù)余震的預(yù)測(cè)發(fā)震時(shí)刻和實(shí)際發(fā)震時(shí)刻相差長(zhǎng)達(dá)4～5d。

表2 原模型和加權(quán)改正的“等待時(shí)間”余震預(yù)測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistical results of aftershock predictionwith two methods

表3 典型震例的“等待時(shí)間”法強(qiáng)余震預(yù)測(cè)分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistical results of aftershock prediction among typical earthquake instances

圖5 多震例的模型改正前后預(yù)測(cè)誤差比較Fig.5 Error comparation of predicting model before and after correction

圖6將樣本距主震時(shí)間分組為“1d以內(nèi)”、“3 d以內(nèi)”、“7d以內(nèi)”、“15d 以內(nèi)”以及“15d 以上”，分析模型誤差、實(shí)際誤差與樣本天數(shù)的關(guān)系。由圖中可知，改進(jìn)后的預(yù)測(cè)方法雖然模型誤差控制在了較小的范圍內(nèi)（＜0.1），但隨著發(fā)震時(shí)間的推移，3d以后實(shí)際時(shí)間誤差可達(dá)數(shù)天，已不滿足應(yīng)急所需。由于“等待時(shí)間法”樣本數(shù)要達(dá)到5個(gè)以上才具有穩(wěn)定的擬合結(jié)果，對(duì)于短時(shí)間內(nèi)發(fā)生較多強(qiáng)余震的主余型震例，利用本文方法進(jìn)行強(qiáng)余震預(yù)測(cè)有效性較高；反之，對(duì)強(qiáng)余震發(fā)震較稀疏、時(shí)間跨度較大的震例而言，利用“等待時(shí)間法”進(jìn)行余震預(yù)測(cè)的效率則不甚明顯。

圖6 模型誤差和實(shí)際誤差與樣本時(shí)間的關(guān)系Fig.6 Relationship among model error、true error and sample time

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