周　萌， 王振華， 沈　毅

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

?

自適應(yīng)重置觀測器設(shè)計方法

周萌， 王振華， 沈毅

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：為了提高控制系統(tǒng)狀態(tài)估計的快速性并保證其準(zhǔn)確性，將重置控制的思想引入觀測器設(shè)計，即當(dāng)觀測器滿足預(yù)先設(shè)定的重置條件時將其狀態(tài)進行重置，提出了一種新型自適應(yīng)重置觀測器設(shè)計方法。重置觀測器能夠克服線性反饋方式的內(nèi)在局限性，可實現(xiàn)同時降低估計誤差的超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間。首先對重置積分項引入自適應(yīng)參數(shù)，并基于過零重置條件設(shè)計自適應(yīng)重置觀測器。對于含有重置項的自適應(yīng)觀測器，通過基于Lyapunov函數(shù)的方法對其進行穩(wěn)定性分析，并整理成線性矩陣不等式的形式，使得設(shè)計過程更為簡便、易于實現(xiàn)。最后通過與比例積分觀測器進行比較，驗證了所提方法的有效性與優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：重置觀測器； 自適應(yīng)； 狀態(tài)估計； 快速性

0引言

隨著科學(xué)技術(shù)不斷進步，對控制過程的要求越來越高，而目前最常用的基于狀態(tài)控制的方法由于控制系統(tǒng)的狀態(tài)往往無法直接獲取，需要對其進行估計，因此，如何同時提高狀態(tài)估計過程的快速性與準(zhǔn)確性顯得尤為重要。目前常用的狀態(tài)估計方法有Luenberger觀測器[1]、比例-積分觀測器[2-3]、自適應(yīng)觀測器[4-6]等。這些方法本質(zhì)上采用的是線性反饋機制。受線性反饋的固有局限性影響，使得這些觀測器無法同時降低估計誤差的超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間[7]。重置控制由于重置積分項的引入，使得該控制器不再是簡單的線性控制，從而克服了線性反饋控制的固有局限性[8]，因此可以很好地解決這一難題。

重置控制即當(dāng)控制系統(tǒng)滿足某種既定的重置條件時將控制器的狀態(tài)進行重置。該思想最早由文獻[9]提出，通過對傳統(tǒng)積分器進行改進得到Clegg積分器，使得當(dāng)積分器的輸入為零時將其輸出重置為零。隨后于文獻[10]提出了更具一般結(jié)構(gòu)的一階重置單元(first order reset element, FORE)。此后，文獻[11-18]在此基礎(chǔ)上對重置控制進行了更為全面深入的研究，將其推廣到多輸入多輸出控制系統(tǒng)、非線性控制系統(tǒng)、離散控制系統(tǒng)、時滯控制系統(tǒng)等領(lǐng)域中，并取得了很多研究成果。研究表明，重置控制可以同時降低控制過程的超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間，克服Bode幅相約束，有效補償時滯影響等優(yōu)點，具有很重要的研究意義。但同時由于重置積分項的引入可能會破壞原控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此對重置系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析至關(guān)重要。經(jīng)過學(xué)者的大量研究，目前常用的判斷重置系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有：基于Hβ判據(jù)[12]、無源控制方法[14]和基于Lyapunov方程[18]的方法等。

重置觀測器最早是由文獻[19]提出的。由于引入重置積分項，使得重置觀測器克服了傳統(tǒng)觀測器的固有局限性，能同時降低狀態(tài)估計過程的超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間。隨后，文獻[20]將其進一步推廣到非線性重置自適應(yīng)觀測器；文獻[21]提出了一類最優(yōu)重置觀測器的設(shè)計方法，通過解決L2增益最小化問題來求解重置觀測器的調(diào)度參數(shù)；文獻[22]研究了多輸入多輸出重置觀測器，但該方法對輸入輸出個數(shù)較多的系統(tǒng)具有很大的局限性，目前重置觀測器在多輸入多輸出領(lǐng)域仍是一個開放性問題；文獻[23]將其推廣到線性時滯系統(tǒng)等。但是，需要指出的是，上述論文中均沒有給出求解增益參數(shù)矩陣的具體方法。

因此，本文在上述論文的基礎(chǔ)上針對單輸入單輸出線性時不變控制系統(tǒng)提出了一種新型的自適應(yīng)重置觀測器，對重置積分項增益矩陣引入自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)，通過該參數(shù)來調(diào)節(jié)狀態(tài)估計過程的快速性與準(zhǔn)確性。并將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式，使得求解過程簡便，易于實現(xiàn)，然后通過基于Lyapunov方程的方法對該方法進行穩(wěn)定性分析。最后，通過數(shù)值仿真驗證該方法的可行性和有效性。

1問題描述

考慮單入單出線性時不變控制系統(tǒng)

(1)

式中，x∈Rn為狀態(tài)向量；u∈R為控制輸入向量；y∈R為測量輸出向量；A,B,C為具有相應(yīng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。不失一般性，本文假設(shè)矩陣對(A,C)是可觀的。

重置觀測器是一類包含重置積分項和重置律的觀測器，即當(dāng)觀測器滿足預(yù)先規(guī)定的重置條件時將該觀測器的狀態(tài)進行重置，結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1　重置觀測器結(jié)構(gòu)框圖

圖2　過零重置條件

圖3　扇形重置條件

根據(jù)過零重置條件，設(shè)計自適應(yīng)重置觀測器

(2)

(3)

其中

(4)

注 1通常Aξ,Bξ為已知的常數(shù)矩陣，其中Aξ為衰減效應(yīng)系數(shù)，為負(fù)值，Bξ為積分效應(yīng)系數(shù)，反映輸出估計誤差的權(quán)重，通常設(shè)Bξ=1。

(5)

注 3令τ≤δ觀測器不發(fā)生重置，τ>δ發(fā)生重置可以避免Zeno行為的發(fā)生。

2自適應(yīng)重置觀測器設(shè)計

本節(jié)對第1節(jié)中提出的自適應(yīng)重置觀測器進行設(shè)計，主要是利用Lyapunov穩(wěn)定性理論來分析重置觀測器的穩(wěn)定性，并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)線性矩陣不等式形式的穩(wěn)定性條件，從而得到簡便、有效的自適應(yīng)重置觀測器設(shè)計方法。

為了設(shè)計自適應(yīng)重置觀測器，需要分析其誤差動態(tài)。定義

(6)

為狀態(tài)估計誤差向量，根據(jù)系統(tǒng)方程式(1)和觀測器方程式(2)可以得到觀測器的估計誤差動態(tài)方程為

(7)

采用基于Lyapunov穩(wěn)定性理論來分析重置觀測器的漸進穩(wěn)定性。

定理 1對于給定的系統(tǒng)式(7)，當(dāng)ρ為已知正數(shù)的情況下，如果存在矩陣P=PT> 0，Q=QT> 0及矩陣W，使得式(8)和式(9)成立，則系統(tǒng)式(7)為漸進穩(wěn)定的。

(8)

(9)

式中，KP=P-1W；KI=P-1S。

證明選取Lyapunov函數(shù)為

(10)

由于重置積分項的引入，使得該觀測器不再連續(xù)，因此，若使其漸進穩(wěn)定則必須同時滿足

(11)

(12)

首先證明式(11)：

(13)

(14)

令W=PKP，S=PKI,進一步整理得式(8)。

接下來證明式(12)：

(15)

因此當(dāng)時滿足式(9)時，可得式(12)。

證畢

結(jié)合重置觀測器重置矩陣Ar及重置積分項的調(diào)節(jié)參數(shù)Aξ,Bξ的設(shè)計特征，為了使得計算過程更為簡便且又不失一般性，我們可以得出推論1。

推論 1對于給定系統(tǒng)式，當(dāng)Ar≤0，Aξ<0，Bξ=1，ρ>0時，如果存在矩陣P=PT>0及矩陣W，滿足

PA-WC+ATP-CTWT<0

(16)

則估計誤差動態(tài)方程式(7)漸進穩(wěn)定。式中，KP=P-1W；KI=P-1C。

證明同樣選取Lyapunov函數(shù)為式(10)。

由于Q=QT> 0，Bξ=1，所以我們不妨令Q=1，可得

(17)

由于Aξ<0，且ρ>0，則

(18)

因此，當(dāng)

(19)

即

(20)

同樣令W=PKP，則式(20)可整理為式(16)。

通過求解線性矩陣不等式(16)，得到W，即可求得KP，其中

(21)

對于式(9)，由于Ar≤0，Q=1時，則顯然成立。

證畢

3仿真驗證

為了驗證本文所設(shè)計的自適應(yīng)重置觀測器的可行性與有效性，本節(jié)主要利用Matlab的Simulink進行仿真，并與具有相同結(jié)構(gòu)的比例積分觀測器進行比較。

考慮線性系統(tǒng)的參數(shù)矩陣為

不失一般性，取Aξ=-0.1，Bξ=1，Ar=-0.1，δ=10-2s。

對式(16)進行求解，可得

為了驗證重置觀測器的有效性，與文獻[24]中的比例積分觀測器進行比較，形式為

(22)

式中，該觀測器比例積分增益矩陣KP、KI與重置觀測器中的參數(shù)相同。

接下來通過調(diào)節(jié)ρ的大小，來調(diào)節(jié)重置觀測器對狀態(tài)估計的精確性與快速性。本文分別選取了ρ=1，ρ=20，ρ=50的情況，仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。圖4～圖6分別為x1，x2，x3在比例積分觀測器和不同自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)的重置觀測器的狀態(tài)估計誤差仿真曲線圖。其中,藍(lán)色的虛線為比例積分觀測器的仿真曲線，實線為自適應(yīng)重置觀測器的仿真曲線。

圖4　狀態(tài)x1的估計誤差結(jié)果

圖5　狀態(tài)x2的估計誤差結(jié)果

圖6　狀態(tài)x3的估計誤差結(jié)果

由圖4～圖6可以看出：當(dāng)ρ=1，即不加入自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)時，重置觀測器的估計效果與比例積分觀測器相比，減少了一部分超調(diào)量，但效果并不明顯，這是因為求得的積分增益矩陣較小，導(dǎo)致重置積分項的重置作用較弱。因此，可以通過增大ρ來進行改善。隨著ρ的增大，重置項的作用越來越明顯，當(dāng)ρ=50時，狀態(tài)估計誤差在最短時間內(nèi)收斂為零并且?guī)缀鯖]有超調(diào)，即實現(xiàn)了同時降低估計過程的調(diào)節(jié)時間與超調(diào)量。

4結(jié)論

本文主要針對如何同時提高狀態(tài)估計過程的快速性與準(zhǔn)確性，提出了一種新型的自適應(yīng)重置觀測器，通過引入重置積分項，克服了線性反饋控制的固有局限性，實現(xiàn)了同時降低觀測器的超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間。引入自適應(yīng)參數(shù)并轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式使得參數(shù)求解過程變得更加方便，易于實現(xiàn)。

本文提出的自適應(yīng)重置觀測器主要針對單輸入單輸出的線性系統(tǒng)，而在實際控制系統(tǒng)，多數(shù)為多輸入多輸出具有非線性特性，因此研究多輸入多輸出非線性控制系統(tǒng)的重置觀測器是今后的一個重要研究內(nèi)容。

參考文獻：

[1]DuanGR，LiJH,ZhouLS.DesignofroustLuenbergerobserver[J].Acta Automatica Sinica, 1992,18(6):742-747.(段廣仁，李建華，周連山.魯棒Luenberger觀測器設(shè)計[J].自動化學(xué)報,1992,18(6):742-747.)

[2]LiZY,ShenY,HuHZ.Novelapproachtodesignofdistur-bancedecoupledobserver[J].Control and Decision,2000,15(4):476-478.(李振營，沈毅，胡恒章.干擾解耦觀測器設(shè)計的新方法[J].控制與決策,2000,15(4):476-478.)

[3]WuAG,DuanGR,DongJ,etal.Designofproportional-integralobserversfordiscrete-timedescriptorlinearsystems[J]. IET Control Theory & Applications,2009,3(1):79-87.

[4]WangWQ,TongMA.Adaptiveobserverdesignforaclassofcomplexsystems[J].Systems Engineering and Electronics,2003,25(9):1129-1134.(王文慶，佟明安.一類復(fù)雜系統(tǒng)自適應(yīng)觀測器設(shè)計[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003，25(9):1129-1134.)

[5]MengLY,JiangB.Faultdiagnosisbasedonthenonlinearadaptiveobserver[J]. Systems Engineering and Electronics,2008,30(7):1317-1319.(孟令雅，姜斌.基于非線性自適應(yīng)觀測器的故障診斷[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2008，30(7):1317-1319.)

[6]EkramianM,SheikholeslamF,HosseinniaS,etal.AdaptivestateobserverforLipschitznonlinearsystems[J].Systems & Control Letters,2013,62(4):319-323.

[7]GoodwinGC,SalgadoME,YuzJI.Performancelimitationsforlinearfeedbacksystemsinthepresenceofplantuncertainty[J].IEEE Trans.on Automatic Control,2003,48(8):1312-1319.

[8]BanosA,BarreiroA. Reset control systems[M].Springer:AdvancesinIndustrialControl, 2012.

[9]CleggJC.Anonlinearintegratorforservomechanism[J].IEEE Trans.on American Institute of Electrical Engineers,1958,77(2):41-42.

[10] Horowitz I M, Rosenbaum P. Nonlinear design for cost of feedback reduction in systems with large parameter uncertainty[J].InternationalJournalofControl, 1975, 24(6): 977-1001.

[11] Beker O, Hollot C, Chait Y， et al. Fundamental properties of reset control systems[J].Automatica,2004,40(6):905-915.

[12] Barreiro A, Banos A, Dormido S, et al. Reset control systems with reset band: well posedness, limit cycles and stability ana-lysis[J].Systems&ControlLetters, 2014, 63(1): 1-11.

[13] Banos A, Barreiro A. Delay dependent stability of reset systems[J].Automatica. 2009, 46(1): 216-221.

[14] Carrasco J, Banos A, Schaft A V D. A passivity-based approach to reset control systems stability[J].System&ControlLetters, 2010, 59(1): 18-24.

[15] Li L Y, Wu F, Wang X M. A reset controller dedign method for MIMO linear systems[C]∥Proc.ofthe32ndChineseControlConference, 2013：2132-2136.

[16] Li H, Du C L, Wang Y Y, et al. Discrete-time optimal reset control for hard disk drive servo systems[J].IEEETrans.onMagnetica, 2009, 45 (11): 5104-5107.

[17] Guo Y Q, Gui W H, Yang C H, et al. Stability analysis and design of reset control systems with discrete-time triggering conditions[J].Automatica, 2012, 48(3):528-535.

[18] Jin S T, Hou Z S, Chi R H. A novel higher order model free adaptive control for a class a class of discrete time SISO nonli-near systems[J].JournalofDynamicSystems,MeasurementandControl-TransactionsoftheASME,2013,135(4)：044503 (1-5).

[19] Paesa D, Franco C, Llorente S, et al. Reset adaptive observers and stability properties[C]∥Procofthe18thIEEEMediterraneanControlConference, 2010: 1435-1440.

[20] Paesa D, Franco C, Llorente S, et al. Reset adaptive observer for a class of nonlinear systems[J].IEEETrans.onAutomaticControl, 2012, 57(2): 506-511.

[21] Paesa D, Banos A, Sagues C. Optimal reset adaptive observer design[J].Systems&ControlLetters,2011,60(10):877-883.

[22] Paesa D, Franco C, Llorente S, et al. Reset observers applied to MIMO systems[J].JournalofProcessControl,2011,21(4):613-619.

[23] Paesa D, Banos A, Sagues C. Reset observers for linear time-delay systems in: a delay-independent approach[C]∥Proc.ofthe50thConferenceonDecisionandControlandEuropeanControlConference, 2011: 4152-4157.

[24] Jung J, Hwang J, Huh K. Optimal proportional integral adaptive observer design for a class of uncertain nonlinear systems[C]∥Proc.oftheAmericanControlConference,2007：1931-1936.

周萌(1988-)，女，博士研究生，主要研究方向為故障診斷與容錯控制。

E-mail：zhoumeng6932@126.com

E-mail：zhenhua.wang@hit.edu.cn

沈毅(1965-)，男，教授，博士，主要研究方向為控制系統(tǒng)的故障診斷、飛行器制導(dǎo)與控制技術(shù)、超聲成像技術(shù)。

E-mail：shen@hit.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141028.1612.005.html

Adaptive reset observer design method

ZHOU Meng， WANG Zhen-hua， SHEN Yi

(SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China)

Abstract:In order to improve the rapidity of state estimation and guarantee the accuracy at the same time, a reset element is introduced to observer which resets the outputs of the integral term depending on a predefined condition and then a novel adaptive reset observer is proposed. The linear fundamental limitations are overcame and the overshoot and settling time of the estimation process can be decreased. Firstly an adaptive parameter to the integral term is introduced, then the adaptive reset observer based on the zero crossing reset condition is designed.The state stability of the adaptive reset observer is analysed with the method which is based on the lyapunov function and it is written as an equivalent linear matrix inequality problem. Finally the simulation example is given. Compared with the proportion integral observer, the effectiveness of the proposed method is illustrated.

Keywords:reset observer; adaptive; state estimation; rapidity

通訊作者王振華(1987-)，，男，講師，博士，主要研究方向為航天器故障診斷與容錯控制、描述系統(tǒng)故障診斷。

作者簡介：

中圖分類號：TP 273

文獻標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.26

基金項目：國家自然科學(xué)基金(61273162，61403104)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(HIT.NSRIF.2015034)資助課題

收稿日期：2014-04-03；修回日期：2014-09-24；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-10-28。