鄒昕光，周荻，杜潤(rùn)樂，劉佳琪

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001;3.試驗(yàn)物理與計(jì)算數(shù)學(xué)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100076)

0 引言

先進(jìn)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的研究和開發(fā)給彈道導(dǎo)彈突防帶來了嚴(yán)峻的考驗(yàn)。彈道導(dǎo)彈飛行中段處在大氣層外，此時(shí)推力發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，彈頭和彈體分離，導(dǎo)彈所具有的機(jī)動(dòng)能力很小或者可以忽略不計(jì)，導(dǎo)致此階段彈道導(dǎo)彈的飛行軌跡比較固定，易被導(dǎo)彈防御系統(tǒng)攔截。因此研究有效的防御手段以提高彈道導(dǎo)彈突防成功率具有較大的工程實(shí)際意義和理論價(jià)值。

目前已經(jīng)提出了一些提高彈道導(dǎo)彈突防成功概率的方法，例如電子干擾，偽裝技術(shù)，誘餌技術(shù)，使用中制導(dǎo)和末制導(dǎo)，多彈頭技術(shù)，機(jī)動(dòng)變軌技術(shù)等［1］。這些方法本質(zhì)上都可以歸結(jié)為被動(dòng)防御，其出發(fā)點(diǎn)都是尋找有效的躲避手段。與此相對(duì)，彈道導(dǎo)彈也可以采取主動(dòng)的防御手段:在受到威脅時(shí)釋放一個(gè)或多個(gè)防御導(dǎo)彈來保護(hù)自身。防御導(dǎo)彈具有和彈道導(dǎo)彈相同的速度，在距離彈道導(dǎo)彈一定距離的范圍內(nèi)伴飛，采用有效的制導(dǎo)律攔截來襲的攔截導(dǎo)彈［1］。為了敘述簡(jiǎn)潔清晰，本文后面將突防的彈道導(dǎo)彈稱為目標(biāo)，將導(dǎo)彈防御系統(tǒng)發(fā)射的攔截導(dǎo)彈稱為攔截導(dǎo)彈，將與彈道導(dǎo)彈伴飛的反攔截導(dǎo)彈稱為防御導(dǎo)彈。本文考慮只存在一枚防御導(dǎo)彈的場(chǎng)景。

由于主動(dòng)防御方式的特點(diǎn)和有效性，該方法在飛機(jī)防御中得到了廣泛的研究。文獻(xiàn)［2］在假設(shè)攔截導(dǎo)彈制導(dǎo)律是已知線性制導(dǎo)律的前提下推導(dǎo)了防御導(dǎo)彈和目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律。但假設(shè)攔截導(dǎo)彈的制導(dǎo)律已知并不符合實(shí)際。針對(duì)該問題文獻(xiàn)［3］提出了一種多模自適應(yīng)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律通過一組濾波器來確定攔截導(dǎo)彈的制導(dǎo)律和估計(jì)制導(dǎo)律參數(shù)。但是該方法要求攔截導(dǎo)彈的制導(dǎo)律和制導(dǎo)參數(shù)的組合在一個(gè)有限的已知集合中選取，而集合的大小受限于濾波器的個(gè)數(shù)。這限制了該制導(dǎo)律在工程實(shí)際中的運(yùn)用。文獻(xiàn)［4］根據(jù)防御導(dǎo)彈和目標(biāo)的不同協(xié)同方式(單向協(xié)同或者雙向協(xié)同)設(shè)計(jì)出了3 種不同的最優(yōu)主動(dòng)防御制導(dǎo)律。使用狀態(tài)方程降階方法，將高階運(yùn)動(dòng)方程降階為以零控脫靶量為狀態(tài)的一階動(dòng)態(tài)方程，簡(jiǎn)化了制導(dǎo)律的推導(dǎo)。以上工作都基于最優(yōu)控制理論，最優(yōu)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)需要估計(jì)剩余時(shí)間參數(shù)。而剩余時(shí)間參數(shù)的估計(jì)精度將直接影響制導(dǎo)的精度。攔截導(dǎo)彈一方面需要攔截目標(biāo)，另一方面需要逃避防御導(dǎo)彈的攔截，這是一個(gè)微分對(duì)策問題，因此一些文獻(xiàn)使用了微分對(duì)策理論來研究主動(dòng)防御問題［5-6］。和最優(yōu)制導(dǎo)類似，微分對(duì)策制導(dǎo)律需要估計(jì)終端時(shí)刻，而終端時(shí)刻的估計(jì)精度會(huì)直接影響到制導(dǎo)精度。

如果將目標(biāo)，攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈抽象為空間中的點(diǎn)，那么它們之間的連線構(gòu)成一個(gè)三角形。一種可行的制導(dǎo)策略是防御導(dǎo)彈控制自身處于目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈的視線上且在目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈之間，此時(shí)三角形退化為直線，隨著攔截導(dǎo)彈不斷接近目標(biāo)最終將撞上防御導(dǎo)彈［7-9］。這種制導(dǎo)策略稱為視線三角制導(dǎo)策略，在幾何上比較直觀。文獻(xiàn)［7］提出的制導(dǎo)律采用了視線三角制導(dǎo)策略，制導(dǎo)律的表達(dá)式中包含了攔截導(dǎo)彈的加速度項(xiàng)，但在實(shí)際中對(duì)于防御導(dǎo)彈而言，攔截導(dǎo)彈的加速度是難以獲得的量。在文獻(xiàn)［8 -9］提出的基于視線三角制導(dǎo)策略的制導(dǎo)律中，防御導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令和兩個(gè)參數(shù)成比例。第1 個(gè)參數(shù)是防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線角和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)視線角的差。第2 個(gè)參數(shù)是防御導(dǎo)彈和攔截導(dǎo)彈的相對(duì)速度。

滑?？刂朴捎趯?duì)建模誤差和外部未知干擾的良好魯棒性被廣泛應(yīng)用在導(dǎo)彈制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中［10-22］。文獻(xiàn)［13］提出了基于滑模的主動(dòng)防御協(xié)作制導(dǎo)律，研究了大氣層內(nèi)飛機(jī)防御導(dǎo)彈攻擊的問題。有限時(shí)間穩(wěn)定性理論在1986年被首次提出［14］，由于具備有保障的收斂性時(shí)間特性，該理論在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題中被廣泛使用［15-26］。近年來有限時(shí)間收斂滑模控制理論主要用來解決含有角度約束的制導(dǎo)問題，但是一些制導(dǎo)律在被控角度誤差很小時(shí)會(huì)出現(xiàn)奇異問題，導(dǎo)致大的抖振和控制飽和［17-18］。非奇異終端滑模控制方法可以控制滑模變量在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并且避免由于奇異問題而造成的控制飽和［19-22］。文獻(xiàn)［23］和文獻(xiàn)［24］針對(duì)該問題分別設(shè)計(jì)了不同的非奇異終端滑模制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律在避免奇異問題的同時(shí)保持有限時(shí)間收斂的特性。

本文試圖設(shè)計(jì)一種大氣層外防御導(dǎo)彈高性能的魯棒制導(dǎo)律。考慮到在制導(dǎo)的大部分時(shí)間內(nèi)目標(biāo)和防御導(dǎo)彈之間的距離和他們與攔截導(dǎo)彈之間的距離相比是一個(gè)小量，將制導(dǎo)分為兩個(gè)階段。在第1 階段對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)近似建模，使用基于視線三角制導(dǎo)策略的制導(dǎo)律;第2 階段考慮到近似建模誤差隨著時(shí)間快速增加，因此使用基于零化視線轉(zhuǎn)率策略的制導(dǎo)律。第2 階段的制導(dǎo)律使用更加精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)使用非奇異終端滑?？刂评碚?。本文在理論上證明基于視線三角制導(dǎo)策略可以顯著地降低防御導(dǎo)彈的需用過載，而基于零化視線轉(zhuǎn)率的制導(dǎo)律使用更加精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，因此分階段的制導(dǎo)方法兼顧了二者的優(yōu)點(diǎn)。仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律的有效性。

1 問題描述

目標(biāo)、攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示，其中目標(biāo)、攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈分別用T、M 和D 來表示。目標(biāo)、攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈的速度分別用vT、vM和vD表示。攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)的視線角為qεMT和qβMT;防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈的視線角為qεDM和qβDM. OXYZ 為慣性參考系，其中目標(biāo)和防御導(dǎo)彈的慣性參考系TXTYTZT和DXDYDZD方向和OXYZ 相同，攔截導(dǎo)彈的慣性參考系MXMYMZM方向?yàn)樽鴺?biāo)系OXYZ 繞OY 軸旋轉(zhuǎn)180°.

圖1 目標(biāo)、攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系Fig.1 Interception geometry in three dimensions

攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)和防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈解耦的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

式中:aTqε和aTqβ代表目標(biāo)加速度在防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線系下的縱向平面和側(cè)向平面分量;aDqε和aDqβ代表防御導(dǎo)彈加速度在防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線系下的縱向平面和側(cè)向平面分量;aM1qε和aM1qβ代表攔截導(dǎo)彈加速度在攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)視線系下的縱向平面和側(cè)向平面分量;aM2qε和aM2qβ代表攔截導(dǎo)彈加速度在防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線系下的縱向平面和側(cè)向平面分量。

2 非奇異終端滑?？刂评碚?/h2>

在推導(dǎo)制導(dǎo)律表達(dá)式之前先給出制導(dǎo)律采用的有限時(shí)間收斂控制理論。

引理1 對(duì)于非線性系統(tǒng)

假設(shè)存在一個(gè)定義在原點(diǎn)鄰域U??n上的C1光滑函數(shù)V(x，t)，并且存在實(shí)數(shù)γ ＞0 和0 ＜λ ＜1，使得V(x，t)在U 上正定且(x，t)+γVλ(x，t)在U上半負(fù)定，則系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的［25-26］。

證明見文獻(xiàn)［25 -26］，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，取V(x，t)=，σ 是滑模變量，取根據(jù)引理1，系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件有

(6)式為有限時(shí)間滑模到達(dá)條件。到達(dá)時(shí)間為

引理2 對(duì)于如下2 階非線性系統(tǒng)

式中:x=［x1，x2］T∈?2. 將其滑模變量設(shè)置為σ=x1+，β ＞0，1 ＜α =p/q ＜2，p、q 都是正奇數(shù)。引理1 的有限時(shí)間收斂條件，可以保證狀態(tài)x1、在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0［19-23］.

狀態(tài)在時(shí)間ts之內(nèi)收斂到0，ts表達(dá)式為

根據(jù)引理1，tr是有限正值。由于p、q 都是奇數(shù)且p ＞q ＞0，β ＞0，有所以ts≥tr.

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在防御導(dǎo)彈制導(dǎo)的大多數(shù)時(shí)間內(nèi)防御導(dǎo)彈和目標(biāo)之間距離相對(duì)于它們與攔截導(dǎo)彈的距離小得多，而且防御導(dǎo)彈和目標(biāo)速度矢量十分接近，因此在大部分時(shí)間里滿足如下關(guān)系:

將整個(gè)制導(dǎo)分為兩個(gè)階段:階段1 和階段2. 為了簡(jiǎn)化制導(dǎo)律的表達(dá)式，在階段1 中認(rèn)為(9)式和(10)式成立，防御導(dǎo)彈采用視線三角制導(dǎo)策略，保持自身在目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈的視線上，這種制導(dǎo)策略可以有效降低防御導(dǎo)彈的需用過載。在階段2 中認(rèn)為(9)式和(10)式不再成立，防御導(dǎo)彈采用零化對(duì)攔截導(dǎo)彈視線轉(zhuǎn)率的制導(dǎo)策略。假設(shè)防御導(dǎo)彈可以測(cè)量相對(duì)于攔截導(dǎo)彈的距離RDM和速度，目標(biāo)可以測(cè)量相對(duì)于攔截導(dǎo)彈的相對(duì)距離RMT和速度并通過通信設(shè)備將RMT和發(fā)送給防御導(dǎo)彈。防御導(dǎo)彈使用一個(gè)門限值μ*來區(qū)分這兩個(gè)階段。并設(shè)

當(dāng)μ ＞μ*時(shí)，防御導(dǎo)彈使用階段1 制導(dǎo)律，當(dāng)μ≤μ*防御導(dǎo)彈使用階段2 制導(dǎo)律。由于防御導(dǎo)彈總是在目標(biāo)的前下方伴飛，所以0 ＜RDM＜RMT. 當(dāng)μ*=0 時(shí)防御導(dǎo)彈全程使用階段1 制導(dǎo)律;當(dāng)μ*=1 時(shí)防御導(dǎo)彈全程使用階段2 制導(dǎo)律。

3.1 階段1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了保證防御導(dǎo)彈能擊中攔截導(dǎo)彈，防御導(dǎo)彈的制導(dǎo)策略是將自己的位置保持在目標(biāo)和導(dǎo)彈連線上，同時(shí)零化視線轉(zhuǎn)率。即

在該階段中，近似地認(rèn)為(9)式和(10)式成立。目標(biāo)在大氣層外具有很小的機(jī)動(dòng)能力，本文忽略目標(biāo)的機(jī)動(dòng)。因此在該階段中攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(1)式和(2)式可以近似為

利用非奇異終端滑模設(shè)計(jì)縱向平面制導(dǎo)律，選取滑動(dòng)模態(tài)面為

式中:β1為常量，β1＞0;1 ＜α1=p1/q1＜2，p1、q1都是正奇數(shù)。設(shè)計(jì)目標(biāo)是控制aDqε，保證狀態(tài)xε1和xε2有限時(shí)間內(nèi)趨向0. 對(duì)(16)式取時(shí)間導(dǎo)數(shù)得

假設(shè)防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)的視線角速率可以分別被防御導(dǎo)彈和目標(biāo)測(cè)量，目標(biāo)通過通信設(shè)備將測(cè)量值發(fā)送給防御導(dǎo)彈，則xε2可以計(jì)算得到。攔截導(dǎo)彈的加速度不能獲得但是可以假定攔截導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力是有限的。(17)式中攔截導(dǎo)彈加速度aMqε=aM2qε-aM1qε是攔截導(dǎo)彈加速度在防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線系和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)視線系下Y 軸分量的差。按照本制導(dǎo)律設(shè)計(jì)思路，這兩個(gè)視線系的Y 軸接近平行且方向相同，因此aM2qε≈aM1qε，因此攔截導(dǎo)彈在(17)式中引入的加速度很小，這是該制導(dǎo)策略的一個(gè)優(yōu)勢(shì)。假設(shè)|aMqε|≤M1，將攔截導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)看成是系統(tǒng)擾動(dòng)?？v向平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

式中:ρ1=M1+1.

類似的，利用非奇異終端滑模設(shè)計(jì)側(cè)向平面制導(dǎo)律，選取滑動(dòng)模態(tài)面為

式中:β2為常量都是正奇數(shù)。設(shè)計(jì)目標(biāo)是控制aDqβ，保證狀態(tài)xβ1和xβ2有限時(shí)間內(nèi)趨向0. 對(duì)(16)式取時(shí)間導(dǎo)數(shù)得

類似地假設(shè)防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)的視線角速率都可以測(cè)量，則xβ2可以計(jì)算得到;假設(shè)防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈的相對(duì)距離和相對(duì)速度可以測(cè)量。攔截導(dǎo)彈的加速度不能獲得但是可以假定攔截導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力是有限的。(20)式中攔截導(dǎo)彈加速度aMqβ=aM1qβ+aM2qβ是攔截導(dǎo)彈加速度在防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線系和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)視線系下Z 軸分量的和。按照本制導(dǎo)律設(shè)計(jì)思路，這兩個(gè)視線系的Z 軸接近平行且方向相反，因此aM2qβ≈-aM1qβ，因此攔截導(dǎo)彈在(20)式中引入的加速度很小。假設(shè)|aMqβ|≤M2，將攔截導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)看成是系統(tǒng)擾動(dòng)。側(cè)向平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

式中:ρ2=M2+1.

定理1 制導(dǎo)系統(tǒng)(14)式和(15)式的制導(dǎo)律分別取(18)式和(21)式時(shí)，可以保證狀態(tài)xε1、、xβ1和在有限時(shí)間內(nèi)趨向0，即防御導(dǎo)彈能夠在有限時(shí)間內(nèi)將自身位置調(diào)整到目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈的視線上并且保證防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈的視線轉(zhuǎn)率漸進(jìn)趨向0.

證明 根據(jù)(17)式與(18)式有

根據(jù)(20)式和(21)式有

由于σ1和σ2采用了非奇異終端滑模形式，根據(jù)引理2 知道xε1、xβ1和在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0. 收斂時(shí)間分別為

考慮到一般情況下攔截導(dǎo)彈都使用零化視線轉(zhuǎn)率策略的制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)制導(dǎo)，且因?yàn)楹驮谟邢迺r(shí)間內(nèi)收斂到0，所以防御導(dǎo)彈對(duì)攔截導(dǎo)彈的視線轉(zhuǎn)率會(huì)隨著收斂到0.

證畢。

3.2 階段2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在階段2 中，防御導(dǎo)彈采用零化視線轉(zhuǎn)率的制導(dǎo)策略。此時(shí)防御導(dǎo)彈的制導(dǎo)律不再需要考慮目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息。

利用非奇異終端滑模設(shè)計(jì)縱向平面制導(dǎo)律，選取滑動(dòng)模態(tài)面為

設(shè)計(jì)目標(biāo)是控制aDqε，保證 狀 態(tài)有限 時(shí) 間內(nèi)趨向0. 對(duì)(26)式取時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得

攔截導(dǎo)彈加速度難以測(cè)量但是可以假定其是一個(gè)有限值，且門限已知，即

和階段1 的制導(dǎo)策略相比，(27)式中的攔截導(dǎo)彈加速度項(xiàng)不再具有相互抵消的特點(diǎn)，因而這種制導(dǎo)策略下引入的攔截導(dǎo)彈的加速度會(huì)比較大。制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

式中:ρ3=M3+1.

類似的，利用非奇異終端滑模設(shè)計(jì)側(cè)向平面制導(dǎo)律，選取滑動(dòng)模態(tài)面為

設(shè)計(jì)目標(biāo)是控制aDqβ，保證狀態(tài)q·βDM有限時(shí)間內(nèi)趨向0. 對(duì)(30)式取時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得

攔截導(dǎo)彈加速度難以測(cè)量但是可以假定其是一個(gè)有限值，且門限已知，即

制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

式中:ρ4=M4+1.

定理2 制導(dǎo)系統(tǒng)(3)式和(4)式的制導(dǎo)律分別取(29)式和(33)式時(shí)，可以保證防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈的視線轉(zhuǎn)率在有限時(shí)間收斂到0.

證明 根據(jù)(27)式和(29)式有

設(shè)γ3則

根據(jù)(31)式和(33)式有

設(shè)γ4則

根據(jù)引理1 可知滑模變量σ3和σ4在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面。收斂時(shí)間分別為

定理得證。

4 仿真結(jié)果及分析

在大氣層外防御導(dǎo)彈通過軌控發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生加速度。而軌控發(fā)動(dòng)機(jī)一般是開關(guān)式發(fā)動(dòng)機(jī)輸出的推力只能是固定值或者0，這不適合制導(dǎo)指令是變化的制導(dǎo)律。針對(duì)該問題，使用了基于脈沖寬度調(diào)制(PWM)的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法，基于沖量等效原理，輸出可變的等效力，來適應(yīng)本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律。

下面將本文提出的分階段主動(dòng)防御非奇異終端滑模制導(dǎo)律簡(jiǎn)稱為AD_NTSM 制導(dǎo)律。為了考察AD_NTSM 制導(dǎo)律的性能，先給出一個(gè)仿真算例;接著考察在不同μ*門限值下的制導(dǎo)律性能，以期對(duì)于不同的防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力找到對(duì)應(yīng)最佳的μ*值，兼顧兩個(gè)階段制導(dǎo)律的優(yōu)勢(shì)，發(fā)揮最佳性能;最后對(duì)比了AD_NTSM 制導(dǎo)律和比例導(dǎo)引(PN)制導(dǎo)律的性能。

在仿真中目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系下初始位置為(500.0 km，400.0 km，0 km)，攔截導(dǎo)彈在慣性系下初始位置為(559.371 km，319.188 km，0.746 km)，防御導(dǎo)彈在慣性系下的初始位置為(502.903 km，396.206 km，-1.980 km). 目標(biāo)的初始速度大小為7 071 m/s，初始彈道角為傾角θT0= -35.3°和偏角ψvT0=0°. 攔截導(dǎo)彈初始速度大小為3 000 m/s，初始彈道角為傾角θM0=44°和偏角ψvM0=0°. 防御導(dǎo)彈初始速度大小為7 071 m/s，初始彈道角為傾角θD0=-35°和偏角ψvD0= -2.1°. 目標(biāo)本身不機(jī)動(dòng)，只受重力作用。攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈的最大加速度均為3 g. 制導(dǎo)律參數(shù)選擇如下β1=β2=40，M1=M2=20，M3=M4=30，α1=α2=

目標(biāo)需要通過通信設(shè)備將一些制導(dǎo)信息發(fā)送給防御導(dǎo)彈。目標(biāo)和防御導(dǎo)彈雖然速度很快(7 071 m/s)，但是基本上是朝同一方向飛行，大小也大致相同，因此相對(duì)速度很小。而且防御導(dǎo)彈會(huì)在目標(biāo)的前下方5 ～7 km 的位置上伴飛，距離也很短。目標(biāo)和防御導(dǎo)彈之間沒有障礙物和大氣阻隔，通信條件良好。綜上所述制導(dǎo)律對(duì)通信設(shè)備的要求不高，通信設(shè)備比較容易實(shí)現(xiàn)小型化。另外由于通信只存在從目標(biāo)到防御導(dǎo)彈的單向通信，因此彈道導(dǎo)彈上只需要安裝發(fā)射機(jī)，防御導(dǎo)彈上只需要安裝接收機(jī)。

4.1 仿真算例

在該仿真算例中防御導(dǎo)彈的脫靶量為0.28 m.攔截過程的彈道軌跡如圖2所示。從圖上看目標(biāo)和防御導(dǎo)彈的軌跡十分接近，實(shí)際上在整個(gè)制導(dǎo)階段中目標(biāo)和防御導(dǎo)彈的最小距離不小于5.17 km. 這個(gè)距離對(duì)于目標(biāo)和防御導(dǎo)彈來說是安全的。

圖2 目標(biāo)、攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 Motion trajectories of target，interceptor and defending missiles

防御導(dǎo)彈加速度在彈體系上的分量如圖3所示。前0.5 s 軌控發(fā)動(dòng)機(jī)一直處于關(guān)閉狀態(tài)，這是因?yàn)榍?.5 s 防御導(dǎo)彈和攔截導(dǎo)彈的相對(duì)距離超過了防御導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的最大探測(cè)距離(本仿真假設(shè)導(dǎo)引頭最大探測(cè)距離為90 km)。在這段時(shí)間內(nèi)制導(dǎo)律不工作，因此不產(chǎn)生制導(dǎo)指令。

圖3 防御導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)推力產(chǎn)生的加速度在彈體系下的分量Fig.3 Lateral accelerations of defending missile in body-axis frame

圖4是防御導(dǎo)彈對(duì)攔截導(dǎo)彈的視線角速率。在大部分時(shí)間內(nèi)該視線角速率都在［- 0.05°/s，0.05°/s］范圍內(nèi)，隨著防御導(dǎo)彈接近攔截導(dǎo)彈，視線角速率逐漸發(fā)散。

圖4 防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線角速率Fig.4 Defender-interceptor LOS angular velocities

圖5描繪了目標(biāo)、攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈三點(diǎn)共線的情況。整個(gè)制導(dǎo)階段防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)視線角之差的范圍分別為:視線高低角之差在［0°， - 0.2°］范圍內(nèi)，視線方位角在［-2.2°，-1.5°］范圍內(nèi)，共線情況良好。

圖5 目標(biāo)，攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈三點(diǎn)共線情況Fig.5 Three point collinear of the three bodies

4.2 μ* 對(duì)制導(dǎo)律性能的影響

我們考察不同的μ*和不同的防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力下整體制導(dǎo)律的性能。μ*從0 變化到1(代表階段1 制導(dǎo)律占據(jù)的時(shí)間越來越短)，步長(zhǎng)為0.1. 防御導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)能力從2 g 變化到5 g，步長(zhǎng)為0.5 g.圖6給出了μ*在防御導(dǎo)彈不同機(jī)動(dòng)能力下對(duì)制導(dǎo)性能的影響。

圖6 μ* 對(duì)制導(dǎo)律性能的影響Fig.6 Choice of μ* for interception phase dividing

從圖6可以看出，制導(dǎo)全程使用階段1 制導(dǎo)律(μ*=0)的效果要比全程使用階段2 制導(dǎo)律(μ*=1)的效果好。其中原因在階段1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中討論過，即由于在兩個(gè)視線坐標(biāo)系下的攔截導(dǎo)彈的加速度相互抵消而導(dǎo)致引入的加速度很小，利于防御導(dǎo)彈的攔截。這說明了視線三角制導(dǎo)策略的優(yōu)勢(shì)。在μ*較小時(shí)，制導(dǎo)性能隨著μ*增加而提高;而當(dāng)μ*較大時(shí)，制導(dǎo)性能隨著μ*增加而下降。這是因?yàn)樵讦?較小時(shí)，在制導(dǎo)后期仍舊使用階段1 制導(dǎo)律，此時(shí)近似相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模誤差快速變大，階段1 制導(dǎo)律性能下降。如果及時(shí)采用精確建模的階段2 制導(dǎo)律，總體制導(dǎo)性能會(huì)提高。隨著μ*繼續(xù)增大，階段2 制導(dǎo)律越來越早使用。當(dāng)μ*增加到一定程度(例如對(duì)于防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力為2.0 g 或2.5 g 時(shí)，μ*=0.4;防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力為3.0 g 或3.5 g 時(shí)，μ*=0.3)，制導(dǎo)性能進(jìn)入拐點(diǎn)，繼續(xù)增加μ*會(huì)造成階段1 制導(dǎo)律使用的時(shí)間過短，其制導(dǎo)優(yōu)勢(shì)難以充分體現(xiàn)，從而導(dǎo)致總體制導(dǎo)性能開始下降。

4.3 AD_NTSM 制導(dǎo)律和PN 制導(dǎo)律比較

為了橫向比較AD_NTSM 制導(dǎo)律的性能，考察了在相同的防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力下，AD_NTSM 制導(dǎo)律和PN 制導(dǎo)律的性能。碰撞殺傷場(chǎng)景需要的脫靶量很小，一般要求在0.3 ～0.5 m 之間，因此比較了AD_NTSM 制導(dǎo)律和PN 制導(dǎo)律脫靶量小于0.3 m和小于0.5 的概率以及平均脫靶量這3 個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。仿真考察了防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力從2.0 g 變化到5.0 g，步長(zhǎng)為0.5 g 的7 種不同情況下，每種情況針對(duì)AD_NTSM 制導(dǎo)律和PN 制導(dǎo)律分別進(jìn)行了200 次Monte Carlo 仿真。

AD_NTSM 制導(dǎo)律門限值取μ*=0.4. 其余仿真參數(shù)和仿真算例的設(shè)置一樣。在Monte Carlo 仿真中攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈的初始位置都分別加上了一個(gè)均勻分布的隨機(jī)向量。這兩個(gè)隨機(jī)向量的2 范數(shù)的平均值分別為3.5 km 和5.0 km.

仿真結(jié)果如表1所示。從表1中可以看出，在相同機(jī)動(dòng)能力下，AD_NTSM 制導(dǎo)律性能優(yōu)于PN 制導(dǎo)律。這是因?yàn)锳D_NTSM 制導(dǎo)律含有可以抵消攔截導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)影響的變結(jié)構(gòu)項(xiàng)。特別的，當(dāng)防御導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力較小時(shí)，AD_NTSM 性能顯著優(yōu)于PN 制導(dǎo)律。除了上面的原因之外，還因?yàn)椴捎靡暰€三角制導(dǎo)策略的AD_NTSM 制導(dǎo)律在階段1 制導(dǎo)中當(dāng)防御導(dǎo)彈-攔截導(dǎo)彈視線系和攔截導(dǎo)彈-目標(biāo)視線系接近平行時(shí)(即目標(biāo)，攔截導(dǎo)彈和防御導(dǎo)彈三者接近共線時(shí))，攔截導(dǎo)彈在兩個(gè)視線系下的加速度會(huì)互相抵消，導(dǎo)致引入到(17)式和(20)式中的攔截導(dǎo)彈加速度很小。由于制導(dǎo)律將攔截導(dǎo)彈的加速度當(dāng)做外部干擾處理，小的外部干擾有利于降低防御導(dǎo)彈需用過載。

表1 AD_NTSM 制導(dǎo)律和PN 制導(dǎo)律性能比較Tab.1 Comparison of performances of AD_NTSM and PN guidance laws

5 結(jié)論

本文研究了大氣層外彈道導(dǎo)彈突防的主動(dòng)防御制導(dǎo)問題。將制導(dǎo)過程分為兩個(gè)階段。階段1 設(shè)計(jì)了基于視線三角制導(dǎo)策略的制導(dǎo)律，防御導(dǎo)彈控制自身位置處于目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈的視線上。本文首次在理論上證明了該階段制導(dǎo)律能有效地降低防御導(dǎo)彈的需用過載。由于采用近似相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，簡(jiǎn)化了制導(dǎo)律的表達(dá)形式。但是在階段2 中近似建模誤差隨時(shí)間快速增大，因此設(shè)計(jì)了基于零化視線轉(zhuǎn)率的制導(dǎo)律，使用更為精確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。兩階段制導(dǎo)律均使用非奇異終端滑模控制方法設(shè)計(jì)，保證防御導(dǎo)彈在有限時(shí)間內(nèi)可以將自身調(diào)整到目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈的視線上并零化對(duì)攔截導(dǎo)彈的視線轉(zhuǎn)率。最后進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明在整個(gè)制導(dǎo)階段防御導(dǎo)彈在較高的精度上達(dá)到了上述2 個(gè)目標(biāo):1)保持在目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈的視線上;2)對(duì)攔截導(dǎo)彈的視線角速率控制趨于0. 和PN 律進(jìn)行對(duì)比可以看到，所提制導(dǎo)律在達(dá)到同樣的脫靶量精度情況下，需用過載更小。

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