壓縮感知理論及其電能質(zhì)量應(yīng)用與展望

朱云芳，戴朝華，陳維榮，何正友

（1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都610031；2.國(guó)家軌道交通電氣化與自動(dòng)化工程技術(shù)研究中心，成都610031）

電力系統(tǒng)電能質(zhì)量對(duì)生產(chǎn)、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)影響很大，一直備受工程學(xué)術(shù)界、電力用戶和電力公司的關(guān)注。隨著電網(wǎng)中大量電力電子設(shè)備和非線性負(fù)荷的應(yīng)用，使得電能質(zhì)量問(wèn)題日益突出，對(duì)電能質(zhì)量進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)和分析愈顯重要[1-3]。

現(xiàn)有的電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)系統(tǒng)都基于Nyquist 采樣定理，一方面，要求采樣速度快，特別是對(duì)于高次諧波和各種瞬態(tài)擾動(dòng)，要求采樣間隔達(dá)毫秒甚至微秒級(jí)，硬件要求較高；另一方面，大量的數(shù)據(jù)，給信號(hào)分析與處理帶來(lái)了極大挑戰(zhàn)，同時(shí)為了存儲(chǔ)和傳輸，還需要大量壓縮編碼計(jì)算[4，5]，數(shù)據(jù)利用率及效率低[6]。

對(duì)于電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)分析，現(xiàn)有方法主要有傅里葉變換、小波變換、S 變換、Hilbert-Huang 變換HHT（Hilbert-Huang transform）等[7]。傅里葉變換主要用于分析穩(wěn)態(tài)信號(hào)，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)不具有時(shí)間局部性，不能滿足時(shí)頻分析的要求，而且存在頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)等問(wèn)題；小波變換的性能與采樣率、小波基、分析頻帶的選擇相關(guān)，缺乏自適應(yīng)性[8]，而且會(huì)產(chǎn)生能量泄漏和頻譜混疊現(xiàn)象，不能單獨(dú)提取任意頻次的信號(hào)，使其無(wú)法定量檢測(cè)含噪、含諧波的擾動(dòng)信號(hào)的幅值特征[9]；S 變換結(jié)果只包含若干個(gè)特定頻率分量（由時(shí)間窗決定）在不同時(shí)刻的幅值信息，無(wú)法精確測(cè)量基波頻率波動(dòng)以及間諧波的特征參數(shù)[10]；HHT 能夠得到解析的信號(hào)分解形式，且具有一定的自適應(yīng)性，但這種算法同樣不能表達(dá)不連續(xù)的信號(hào)，即要求所有信號(hào)成分都是從同一時(shí)刻開(kāi)始并具有相同的時(shí)間支集[8]，同時(shí)HHT 通常利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD（empirical mode decomposition）能有效剝離各振蕩模式，并對(duì)非線性模式有較好跟蹤能力，但EMD 分解的物理意義尚不明確，缺乏判斷固有模態(tài)分量為實(shí)際振蕩模式還是虛假分量的理論依據(jù)，且沒(méi)有給出算法觀測(cè)時(shí)窗長(zhǎng)度和模式分辨能力的定量分析[11]。

針對(duì)以上傳統(tǒng)信號(hào)采樣和信號(hào)分析方法的不足，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了大量研究。其中，時(shí)頻原子稀疏分解和壓縮感知CS（compressive sensing）理論成為最近的研究熱點(diǎn)[12]，本文對(duì)兩者及其在電力系統(tǒng)電能質(zhì)量中的應(yīng)用進(jìn)行了綜述與展望。

1 稀疏分解與壓縮感知

連續(xù)信號(hào)f（t）∈H，H 為Hilbert 空間，將f（t）采樣離散化轉(zhuǎn)化為f（n）的形式。定義原子庫(kù)D=（gr）r∈Γ，則信號(hào)f（n）可表示為

式中，grk和Rkf（n）分別為第k 次分解的時(shí)頻原子和殘差。如果分解m 次后達(dá)到所需的精度要求，則f（n）可由選擇出來(lái)的原子近似線性表示，相應(yīng)的分解過(guò)程稱(chēng)之為原子稀疏分解。

在稀疏分解基礎(chǔ)上，近年來(lái)出現(xiàn)了一種新穎的理論—壓縮感知[12，13]，又稱(chēng)壓縮傳感、壓縮采樣，其對(duì)于稀疏或可壓縮的信號(hào)，突破了傳統(tǒng)的Nyquist 采樣定理。該理論認(rèn)為，如果一維信號(hào)X∈яN在ψ 域是K-稀疏的（K〈〈N），采用一個(gè)與ψ 非相關(guān)的觀測(cè)矩陣Φ：M × N（Φ 的每一行可以看作是一個(gè)傳感器），對(duì)信號(hào)執(zhí)行壓縮觀測(cè)，得到觀測(cè)值Y∈яM（M〈〈N），即

式中：S∈яN，S = [s1，s2，…，sN]，且si=〈X，φi〉；φi為稀疏矩陣ψ 的第i 列，i∈{1，2，…，N}。則可以求解?0-范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，即

2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

壓縮感知理論將采樣與壓縮合并進(jìn)行，有望少量采樣就能恢復(fù)信號(hào)，不僅降低對(duì)硬件要求，而且提高壓縮效率，大大減輕數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、傳輸和分析處理的壓力。因此，一經(jīng)提出，就引起了相關(guān)領(lǐng)域研究人員的高度關(guān)注和極大興趣[12-17]，被美國(guó)科技評(píng)論評(píng)為“2007 年度十大科技進(jìn)展”，理論提出者獲得了“2008 年IEEE 1T 學(xué)會(huì)最佳論文獎(jiǎng)”。

目前，CS 已用于壓縮信息獲取和壓縮信號(hào)處理，短短5 年即廣泛應(yīng)用于光學(xué)/雷達(dá)成像、無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)、圖像采集設(shè)備的開(kāi)發(fā)、醫(yī)療成像、模式識(shí)別、地質(zhì)勘探、生物傳感、超譜圖像處理及遙感圖像處理等眾多領(lǐng)域。壓縮信息獲取考慮其物理實(shí)現(xiàn)，即采樣方式，常用的包括模擬信息轉(zhuǎn)換器采樣、隨機(jī)采樣、隨機(jī)濾波器、在AD 采樣之后進(jìn)行的壓縮觀測(cè)等[16]；壓縮信號(hào)處理則用于信號(hào)壓縮、檢測(cè)、分類(lèi)、估計(jì)和濾波等[18]。

不論是壓縮信息獲取，還是壓縮信號(hào)處理，CS應(yīng)用都存在3 個(gè)關(guān)鍵的基礎(chǔ)問(wèn)題：信號(hào)稀疏性、非相關(guān)觀測(cè)和非線性?xún)?yōu)化重構(gòu)[13-17]。其中，信號(hào)稀疏性是CS 的必備條件，由信號(hào)本身決定，算法上在于構(gòu)建稀疏矩陣；非相關(guān)觀測(cè)是CS 的關(guān)鍵，由感知系統(tǒng)和信號(hào)共同決定，歸結(jié)為算法上的觀測(cè)矩陣構(gòu)建和硬件上的物理實(shí)現(xiàn)；非線性?xún)?yōu)化是CS 重建信號(hào)的手段，決定了壓縮采樣信號(hào)恢復(fù)的有效性和精度。

2.1 稀疏表示

稀疏表示是CS 理論應(yīng)用的前提和基礎(chǔ)，決定了壓縮采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)、信號(hào)稀疏分解與重構(gòu)的精度和計(jì)算復(fù)雜度。目前信號(hào)稀疏表示的研究主要集中在如何構(gòu)造一個(gè)適合某一類(lèi)信號(hào)的冗余字典和如何設(shè)計(jì)快速有效的稀疏分解算法。

1）稀疏字典

按照原子是否正交，可以分為正交基字典和超完備冗余字典。正交基字典一般由一個(gè)正交變換得到，如Fourier 變換、DCT 變換、沃爾什變換、小波變換等，其特點(diǎn)是構(gòu)造簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)快速、表示過(guò)程的復(fù)雜度較低；但是，對(duì)于實(shí)際信號(hào)來(lái)說(shuō)，這些固定的正交基往往不足以靈活表示復(fù)雜未知的信號(hào)特征，從而難以使信號(hào)在變換域足夠稀疏。

超完備冗余字典中的原子遠(yuǎn)多于完備基中的元素，并且通過(guò)設(shè)計(jì)合適的算法，原子還可以根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)而改變，從而可以盡可能地逼近信號(hào)的結(jié)構(gòu)，信號(hào)分解所得解向量也更稀疏，便于信號(hào)壓縮、特征提取等。目前，超完備冗余字典中的原子主要有Gabor、Chirplet、Curvelet、FMmlet、Contourlet、Bandlet、Ricker 子波、正（余）弦、衰減正弦、各向異性精細(xì)原子等[14-17]。

2）稀疏分解算法

從稀疏逼近的角度出發(fā)，希望在滿足一定條件的前提下，從稀疏字典中挑選出分解系數(shù)最為稀疏的一組原子，這是一個(gè)NP 難問(wèn)題。目前，主要方法是利用線性規(guī)劃求解稀疏恢復(fù)問(wèn)題的基追蹤算法，具有全局最優(yōu)優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算復(fù)雜度高，且主要適合凸優(yōu)化問(wèn)題。另一個(gè)主要方法是采用貪婪算法，如匹配追蹤算法、框架方法算法、最佳正交基算法、正交匹配追蹤算法、分段正交匹配追蹤、迭代閥值法、分組匹配追蹤算法等[19，20]。由于貪婪算法每一步都要完成信號(hào)或殘余信號(hào)在冗余字典中的每個(gè)原子上的投影計(jì)算，因此計(jì)算量很大[19]。

為了實(shí)現(xiàn)貪婪算法的快速計(jì)算，相繼提出基于原子庫(kù)結(jié)構(gòu)特性的匹配追蹤，由Hilbert 變換確定初始值，以及智能優(yōu)化算法等[21]。文獻(xiàn)[22，23]的研究結(jié)果表明，智能優(yōu)化算法用于稀疏分解，在具有較好精度的同時(shí)，還可以降低計(jì)算復(fù)雜度，節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

2.2 觀測(cè)矩陣

CS 實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵是觀測(cè)矩陣的構(gòu)造。作為感知的前端，觀測(cè)系統(tǒng)要求物理上容易實(shí)現(xiàn)，并且與表示系統(tǒng)所形成的CS 信息算子稀疏矩陣ψ 具有較小的約束等距常數(shù)（RIC）。觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)中的兩個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容就是觀測(cè)波形和采樣方式，設(shè)計(jì)的主要原則是：（1）觀測(cè)波形在理論上的最優(yōu)性能；（2）觀測(cè)波形的普適性，即要滿足和一般的字典或表示系統(tǒng)都具有不相關(guān)性；（3）實(shí)用性，包括快速計(jì)算、低存儲(chǔ)量、硬件易實(shí)現(xiàn)等。目前常采用的觀測(cè)矩陣有隨機(jī)觀測(cè)、確定性觀測(cè)和自適應(yīng)性觀測(cè)矩陣[24]。

隨機(jī)矩陣有高斯分布的白噪聲矩陣、伯努利分布的±1 矩陣、傅里葉隨機(jī)矩陣等，它們對(duì)大部分信號(hào)稀疏矩陣具有非相關(guān)性；但是在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中復(fù)雜度較高，難以在大規(guī)模問(wèn)題中應(yīng)用。確定性觀測(cè)矩陣并不滿足普適性，需要基于RIP 理論構(gòu)造，目前有Chirp 矩陣、Alltop 序列矩陣、半Fourier 矩陣、結(jié)構(gòu)Fourier 矩陣等。文獻(xiàn)[24]提出自適應(yīng)性的觀測(cè)矩陣，首先產(chǎn)生隨機(jī)觀測(cè)矩陣，再利用信號(hào)稀疏基的信息，得到優(yōu)化的觀測(cè)矩陣；相比隨機(jī)觀測(cè)矩陣，優(yōu)化之后得到的觀測(cè)矩陣與字典矩陣之間具有更低的相干性。

2.3 信號(hào)重構(gòu)

按優(yōu)化問(wèn)題的性質(zhì)，信號(hào)重構(gòu)可分為：?1-范數(shù)下的凸優(yōu)化、?p-范數(shù)下的松弛凸優(yōu)化和?0-范數(shù)下的非凸優(yōu)化。其中，?0-范數(shù)是信號(hào)重構(gòu)的本質(zhì)問(wèn)題，另兩種是為了避免求解非凸優(yōu)化而提出來(lái)的。但是，壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的?1-范數(shù)存在如下問(wèn)題：（1）它與?0-范數(shù)優(yōu)化解等價(jià)性的條件不易判斷，并且對(duì)一般的實(shí)際信號(hào)，等價(jià)性甚至并不存在；（2）一般情況下，它與真實(shí)稀疏解的差距過(guò)大，且無(wú)法區(qū)分稀疏系數(shù)的位置；（3）該框架下，對(duì)于較長(zhǎng)信號(hào)，重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度高。?p-范數(shù)則需要有限等距常數(shù)指標(biāo)，但這是不可計(jì)算的，因此在工程應(yīng)用中欠缺實(shí)際意義。?0-范數(shù)下的重構(gòu)，便于引入信號(hào)先驗(yàn)，解最稀疏；同時(shí)，觀測(cè)矩陣不再局限于滿足特定分布的隨機(jī)矩陣，具有一致可恢復(fù)能力，更適用被噪聲污染的實(shí)際信號(hào)[16]。

目前重構(gòu)算法主要包括：凸優(yōu)化方法、貪婪算法和組合算法等[16，17]。凸優(yōu)化方法包括內(nèi)點(diǎn)方法、預(yù)計(jì)梯度法、以及迭代閾值、迭代硬閾值、基于布雷格曼（Bregman）距離的Bregman 迭代等；該方法通過(guò)解決一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，用其極小化逼近目標(biāo)函數(shù)，但對(duì)于?0-范數(shù)下的非凸優(yōu)化有難度。貪婪算法主要包括匹配追蹤及其改進(jìn)算法，如正交匹配追蹤（OMP）、正則化的正交匹配追蹤（ROMP）、逐步正交匹配追蹤（StOMP）、壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP）、子空間追蹤（SP）等；此類(lèi)算法主要是計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，在有限時(shí)間內(nèi)，解的精度難以保證。組合算法要求對(duì)信號(hào)高度結(jié)構(gòu)化地采樣，經(jīng)由群測(cè)試快速恢復(fù)支撐。這類(lèi)算法包括傅里葉采樣、鏈追蹤、HHS 追蹤等。此外，已有研究者利用粒子群優(yōu)化等智能優(yōu)化算法解決信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題[25]。

3 在電能質(zhì)量中的應(yīng)用

在電力系統(tǒng)信號(hào)處理領(lǐng)域[7，11，26]，一般將信號(hào)分解在一組完備正交基上。這類(lèi)表示方法試圖使用一組固定的基函數(shù)來(lái)表達(dá)任意信號(hào)，從而對(duì)于一般信號(hào)不能總得到信號(hào)的簡(jiǎn)潔表示。為此，Mallat 和Zhang 提出時(shí)頻原子分解TFAD[27]，將信號(hào)在一組過(guò)完備的非正交基上分解，從而能根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)，自適應(yīng)地選擇合適的基來(lái)表示信號(hào)，分解結(jié)果是高度稀疏的，并且能夠得到信號(hào)的解析表示，成為信號(hào)處理領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)[8]。該方法采用超完備冗余時(shí)頻原子代替?zhèn)鹘y(tǒng)的正交基函數(shù)，利用原子庫(kù)的冗余特性捕捉信號(hào)的自然特征，可以最佳匹配信號(hào)的整體和局部結(jié)構(gòu)，極大地提高了信號(hào)表達(dá)的簡(jiǎn)潔性和靈活性[28]，既保持了小波變換的“自適應(yīng)聚焦”能力，又克服了其在頻率域的缺陷，具有良好的抗混疊帶通濾波器特性[29]，在信號(hào)建模、壓縮、特征提取等方面得到廣泛應(yīng)用[8]。

目前，時(shí)頻原子分解在電能質(zhì)量中得到了一定應(yīng)用，包括稀疏分解[8，26，28，30-33]、數(shù)據(jù)壓縮[31，34]和消噪濾波[35]，以及特征選取與分類(lèi)識(shí)別[10，29，36]等。這些應(yīng)用研究中，采用的原子主要是衰減正弦量原子；此外，文獻(xiàn)[36]將電壓暫降、電壓暫升和電壓中斷等歸為類(lèi)基波擾動(dòng)，將電壓切痕和電壓尖峰擾動(dòng)歸為脈沖擾動(dòng)，將電壓諧波、間諧波、衰減振蕩和發(fā)散振蕩等歸為振蕩擾動(dòng)，并根據(jù)基波分量和上述3 類(lèi)擾動(dòng)的波形結(jié)構(gòu)，分別構(gòu)建了相應(yīng)的基波原子庫(kù)、類(lèi)基波原子庫(kù)、脈沖原子庫(kù)和振蕩原子庫(kù)，為電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)提供了一種很好的嘗試，但對(duì)于原子匹配優(yōu)化仍有待進(jìn)一步研究。關(guān)于分解算法，采用最多的還是匹配追蹤（MP）算法[8，26，28，30-32，34，35]；此外，還有基于粒子群優(yōu)化算法的進(jìn)化匹配方法[33]。

壓縮感知理論在電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)中還只是初步應(yīng)用，涉及壓縮采樣[6，37]和擾動(dòng)識(shí)別[38]。在壓縮采樣方面，稀疏基主要采用傅里葉基、小波基和離散余弦變換基；觀測(cè)矩陣采用變密度采樣模板和高斯隨機(jī)矩陣；信號(hào)重構(gòu)算法為基于TV 最小化共軛梯度法、匹配追蹤（MP）、正交匹配追蹤（OMP）、逐步正交匹配追蹤（StOMP）、GPSR 算法和快速貝葉斯匹配追蹤算法等；針對(duì)暫態(tài)振蕩、暫態(tài)脈沖、電壓凹陷、電壓凸起、電壓中斷、電壓波動(dòng)、電壓切痕、電壓驟升、電壓驟降、短時(shí)諧波、間諧波、穩(wěn)態(tài)擾動(dòng)有諧波，以及多重?cái)_動(dòng)信號(hào)，進(jìn)行仿真分析，實(shí)現(xiàn)了低于Nyquist 采樣頻率的壓縮采樣。此外，文獻(xiàn)[38]將壓縮感知理論引入電能質(zhì)量擾動(dòng)模式識(shí)別領(lǐng)域，采用高斯分布白噪聲生成隨機(jī)矩陣，提出一種隨機(jī)降維映射特征提取與稀疏表示分類(lèi)相結(jié)合的電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)識(shí)別方法。顯然，上述應(yīng)用仍沒(méi)有涉及深入的理論分析，包括電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的稀疏性、稀疏基的適用性、觀測(cè)矩陣的普適性、非相關(guān)性和物理可實(shí)現(xiàn)性；同時(shí)，重構(gòu)算法也是基于?1-范數(shù)的凸優(yōu)化算法，并未涉及基于?0-范數(shù)的非線性、非凸優(yōu)化問(wèn)題。

4 結(jié)論

壓縮感知理論無(wú)疑給電能質(zhì)量領(lǐng)域帶來(lái)了新的工具，并且已得到了初步應(yīng)用。但是，壓縮感知應(yīng)用的前提是信號(hào)的稀疏性，同時(shí)，只有觀測(cè)矩陣與稀疏基具有非相關(guān)性，才能高概率實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)。然而，目前對(duì)于電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的稀疏性、非相關(guān)觀測(cè)矩陣構(gòu)造和非線性重構(gòu)算法，仍有待進(jìn)一步深入系統(tǒng)研究。

（1）作為壓縮感知理論的前提，即：電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)是不是稀疏信號(hào)？稀疏度多少？還沒(méi)有給出明確答案。因此，鑒于電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的復(fù)雜性，稀疏字典的構(gòu)建、稀疏分解的算法，仍需深入研究。

（2）對(duì)于非相關(guān)觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)，目前主要采用隨機(jī)觀測(cè)矩陣，沒(méi)有結(jié)合電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和適用性分析。

（3）現(xiàn)有電能質(zhì)量壓縮感知應(yīng)用、信號(hào)重構(gòu)都是基于?1-范數(shù)下的凸優(yōu)化，因此，下一步需要開(kāi)展?0-范數(shù)下的信號(hào)重構(gòu)非凸優(yōu)化算法研究。

（4）對(duì)于壓縮感知理論，其壓縮信息獲取的物理實(shí)現(xiàn)研究本身仍很不成熟，而且至今未見(jiàn)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)壓縮采樣硬件實(shí)現(xiàn)的報(bào)道，因此，下一步研究重點(diǎn)之一還有基于壓縮感知理論的電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)壓縮采樣，特別是硬件實(shí)現(xiàn)，從而成為Nyquist 采樣定理的有力補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)壓縮與采樣的同步完成。

（5）基于壓縮感知理論的壓縮信號(hào)處理可以應(yīng)用于電力系統(tǒng)相關(guān)信號(hào)的數(shù)據(jù)壓縮與濾波、擾動(dòng)或故障檢測(cè)等，仍有待進(jìn)一步開(kāi)展研究。

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