陶 勝，劉慧琴

(閩南理工學(xué)院信息管理系，福建石獅362700)

Newsvendor型產(chǎn)品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題是當(dāng)今學(xué)界研究的熱點問題，以往研究者在建模過程中均沒有考慮廣告費用，或者考慮了廣告費用只是一方投入而另一方不愿投入的方式，這不滿足市場競爭的需求，現(xiàn)實社會中廣告費用都是由雙方共同承擔(dān)的，因此應(yīng)對合作廣告費用問題進(jìn)行研究.謝金星等人(2006)［1］不僅考慮了制造商與銷售商之間的Stackelberg合作廣告博弈而且還考慮了制造商與銷售商之間的垂直Nash博弈.Jin Feng Yue等人(2006)［2］將上述學(xué)者的工作推廣到允許制造商提供價格折扣以刺激需求的情形，其假設(shè)了需求函數(shù)不僅與制造商和銷售商各自的廣告投入有關(guān)，而且還與制造商給予顧客的直接價格折扣有關(guān).孫衍林(2007)［3］考慮在隨機需求條件下，供應(yīng)鏈上下游無合作時，需求方承擔(dān)全部庫存風(fēng)險，其個體理性決策無法實現(xiàn)供應(yīng)鏈的整體優(yōu)化.Berk(2007)［4］根據(jù)缺貨需求概率密度函數(shù)服從貝葉斯分布研究Newsvendor型產(chǎn)品，Lau A H和Lau H S(2007)［5］討論的是價格折扣方面問題;Weng Z K(2004)［6］就制造商與銷售商之間訂貨量的協(xié)調(diào)問題作了相關(guān)研究;王圣東(2008)［8］首次將直營店的模式引入到Newsvendor型產(chǎn)品合作廣告問題中，給出了一種協(xié)調(diào)策略，使得制造商和銷售商都愿意達(dá)成廣告合作.

1 模型的建立與求解

本文考慮了由單一生產(chǎn)商與單一銷售商組成的兩層供應(yīng)鏈，生產(chǎn)商生產(chǎn)某種Newsvendor型產(chǎn)品給銷售商.在主從博弈假定下，生產(chǎn)商一方面要分?jǐn)備N售商的一部分地方廣告費用，另一方面要直接提供價格折扣給顧客，分析得出生產(chǎn)商最優(yōu)地方廣告費用的分?jǐn)偙壤约白顑?yōu)價格折扣率的范圍，并通過算法算出最優(yōu)價格折扣率以及雙方的最優(yōu)利潤.

關(guān)于Newsvendor型產(chǎn)品需求率，可從以下兩方面來考慮:第一，需求率的不確定性;第二，廣告宣傳的影響，即與生產(chǎn)商的品牌廣告投入和銷售商的地方促銷廣告支出大小有關(guān).此外，根據(jù)市場調(diào)查可知，若這兩家的廣告費用投入的越多，則消費者對該產(chǎn)品品牌的了解就越多，從而促使?jié)撛谙M者來購買該產(chǎn)品.但潛在消費者也是有限的，所以靠廣告投入來影響需求不可能是無限增加的，最終會逼近于某個上界值.因此，假設(shè)Newsvendor型物品的期望需求是關(guān)于m和r增加的凹函數(shù)，其他研究者均采用了如下需求函數(shù).

D(m，r)= α－βr－um－v.(1)

這里D(m，r)是關(guān)于r和m的不減函數(shù)，當(dāng)?shù)胤酱黉N廣告費或品牌廣告費用逼近零時或者兩者同時逼近零時，則需求量D逼近常數(shù)α.

上述這種需求形式能全面地反映廣告效應(yīng)對需求的影響.但生產(chǎn)商為了提高利潤，就會將品牌廣告費用、地方促銷費用、價格折扣三者聯(lián)系起來加以考慮.本模型考慮生產(chǎn)商是直接提供價格折扣給消費者以刺激需求，設(shè)需求函數(shù)為

即需求的概率密度函數(shù)可表示為

則銷售商的期望利潤為

生產(chǎn)商的期望利潤為

整個供應(yīng)鏈的期望利潤為

在獨立決策下，生產(chǎn)商與銷售商將遵從以生產(chǎn)商為主的Stackelberg博弈.因此生產(chǎn)商要先告知銷售商，他所承擔(dān)的品牌廣告費用m以及地方促銷廣告費比例t;而銷售商則要根據(jù)生產(chǎn)商的決策來確定使利潤最大化的最優(yōu)地方廣告投入r以及最優(yōu)訂貨量Q*.

當(dāng)Q∈(0，+∞)時，有

即E(ΠR(r，Q))是關(guān)于變量Q是上凸函數(shù)，則存在唯一的最優(yōu)訂貨量Q*，滿足方程E(ΠR(r，Q))Q=0.

則有

于是

Q*=D(m，r，ε)Φ，其中

將(10)代入(4)，可得

又因為

令

即E(ΠR(r))是關(guān)于地方促銷廣告費用r的凹函數(shù).

而

接下來將給出生產(chǎn)商的最優(yōu)策略.先將(2)和(10)代入(5)，有

可得

又由

將(14)代入(15)，則有

令

將(17)、(18)代入(10)、(12)，則有

Q*=S(m*(ε)，r*(ε)，ε)Φ.則有

若 m*(ε)，r*(ε)都是關(guān)于 ε 的增函數(shù)，則令h(ε)=(1－ε)－e［(w－εP0－ c)Φ－Au］，有即 e［(w －c)Φ －Au］－P0Φ －P0Φε(1 －e)＞ 0.

則若e＜1時，有

若e＞1時，有

當(dāng)0≤t*＜1時，有

生產(chǎn)商分?jǐn)偟胤酱黉N廣告費用［1－t*(ε)］r*(ε)是關(guān)于ε的單調(diào)遞增函數(shù).因此，當(dāng)生產(chǎn)商向消費者提供價格折扣時，銷售商就會增加地方促銷廣告費用.

生產(chǎn)商愿意向消費者提供價格折扣主要基于以下因素:擴大市場占有份額;迫于同行業(yè)的競爭壓力等.接下來，我們將研究生產(chǎn)商取得最大利潤的價格折扣率ε*，為接近現(xiàn)實情況，下面只考慮在0≤t*＜1的情形.

證明 因為

而函數(shù)E*(ΠM(ε))在ε=0的導(dǎo)數(shù)為

又因為0＜ε＜1，則有

因此，存在唯一的價格折扣率ε*使得制造商的利潤達(dá)到最大.

在滿足定理1的條件下，生產(chǎn)商需要決定當(dāng)價格折扣率ε是多少時自己能獲得最大利潤，可由方程求出ε*.但由于計算比較復(fù)雜，這里我們僅能得到ε*的一個取值范圍.

定理2 在定理1的條件下，ε*可被限制在ε1≤ε*≤ε2，其中

證明 因為

下面給出求解ε*的算法:

步驟1 在定理1的條件下，如果價格折扣能夠使得制造商的利潤增加，進(jìn)入下一步，否則，ε*=0;

步驟2 定義θ為任意小的正常數(shù)，令ε=ε1;

步驟3 通過(21)計算E*(ΠM(ε));

步驟4 如果ε+θ＞ε2，令ε*=ε停止.否則，通過(21)計算E*(ΠM(ε+θ));

步驟5 如果E*(ΠM(ε+θ))≤E*(ΠM(ε))，令ε*=ε停止.否則，令ε =ε+θ，進(jìn)入步驟4.

上述算法將會得到一個價格折扣率，它通過θ的值得到最優(yōu)的價格折扣率ε*.然后將ε*代替ε代入(17)、(18)、(19)，得到生產(chǎn)商的最優(yōu)品牌廣告投入、地方促銷廣告費用、生產(chǎn)商的地方促銷費用的投入比例.類似地，將ε*代替ε代入(4)和(21)，我們能分別得到生產(chǎn)商和銷售商的最優(yōu)利潤，以及整個供應(yīng)鏈的利潤.

2 應(yīng)用舉例

為說明本模型的現(xiàn)實性，現(xiàn)設(shè)模型中的參數(shù)值如下:c=40，w=60，P0=105，s=10，α =5000，β =4*107，u=0.4，v=0.55，e=2，且 X 是期望為 1.

利用本模型提供的算法可得，在制造商與銷售商的獨立決策下的最優(yōu)策略及有關(guān)的期望利潤值是:ε*=0.15760，t*=0.17912，r*=18837.65，m*=25901.78，Q*=1578.71，E*(ΠM)=2371.52，E*(ΠR)=3789.73，E*(Πs)=6161.25.

3 結(jié)語

本文提出生產(chǎn)商分擔(dān)銷售商的地方促銷廣告費用，且生產(chǎn)商直接讓利于消費者，并證明了生產(chǎn)商的利潤存在唯一最大值，由數(shù)值計算能夠得出最優(yōu)價格折扣率和該模型問題中的其他最優(yōu)值，對解決實際問題有一定的參考價值.

［1］Xie J，Ai S.A note on“Cooperative advertising，game theory and manufacturer－ retailer supply chains”［J］.Omega，2006，34(5):501－504.

［2］Yue J，Austin J，Wang M C，et al.Coordination of cooperative advertising in a two－level supply chain when manufacturer offers discount［J］.European Journal of Operational Research，2006，168(1):65 －85.

［3］孫衍林，徐學(xué)軍.單周期隨機需求下供應(yīng)鏈庫存協(xié)調(diào)機制設(shè)計［J］.工業(yè)工程，2007，10(3):15－19.

［4］Berk，et al.Bayesian demand updating in the lost sales newsvendor problem:A two moment approximation［J］.European of Operational Research，2007，182(1):256 －277.

［5］Lau A H，Lau H S，Wang J C.Designing a quantity discount scheme for a newsvendor type product with numerous heterogeneous retailers［J］.European of Operational Research，2007，180(2):585 －600.

［6］Weng Z K.Coordinating order quantities between the manufacturer and the buyer:A generalized newsvendor model［J］.European of Operational Research，2004，156(1):148 －161.

［7］王圣東，周永務(wù).帶有兩種營銷模式的供應(yīng)鏈合作廣告協(xié)調(diào)模型［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2008，23(6):674－682.