王穎

摘 要：變分法作為解決數(shù)學(xué)物理關(guān)鍵問題的重要方法，在現(xiàn)有大學(xué)物理分析力學(xué)中對線性與無耦合相互作用問題進(jìn)行了介紹，該文著眼于變分法在求解非線性偏微分方程中的的典型應(yīng)用，針對近年新興摻雜冷原子體系研究中含多組份耦合相互作用系統(tǒng)的解析求解問題，拓展了現(xiàn)有變分求解方法，通過改進(jìn)變分?jǐn)M設(shè)，對非線性耦合相互作用的理論模型，求得其符合物理實(shí)際的解析解，給出了變分法基于經(jīng)典教材中基本原理思想的針對復(fù)雜物理問題的應(yīng)用求解途徑。

關(guān)鍵詞：變分法 摻雜冷原子體系 非線性薛定諤方程

中圖分類號：O441 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（a）-0202-01

隨著近代物理學(xué)尤其是量子力學(xué)的發(fā)展，出現(xiàn)很多復(fù)雜系統(tǒng)運(yùn)動方程或動力學(xué)方程的求解問題，如多電子原子基態(tài)波函數(shù)的求解問題，量子光學(xué)中的非線性薛定諤方程，超冷原子體系平均場近似下的Gross-Pitaevskii方程，多分量原子體系的耦合類薛定諤方程的求解。一般來說，求解非線性偏微分方程著眼于尋求其特解，而且如今已針對不同類的方程模型發(fā)展出若干求解方法、如：變分法、展開法、Hirota方法等。其中變分法是數(shù)學(xué)物理方程求解問題中關(guān)注較多的一種方法，它通過預(yù)先擬設(shè)待定解的有實(shí)際物理意義的解析形式，而得到可與實(shí)驗(yàn)觀測比對的有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義的解析結(jié)果。在大學(xué)物理學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，變分法最早是在分析力學(xué)的學(xué)習(xí)中接觸到的。變分法是歷史上由牛頓、萊布尼茲等幾代數(shù)學(xué)家的努力而形成的比較成熟的解決數(shù)學(xué)物理問題的方法。除了在分析力學(xué)中Euler-Lagrange方程推導(dǎo)中有重要應(yīng)用，變分法在求解冷原子物理中以摻雜系統(tǒng)為代表的耦合多組分體系問題中也發(fā)揮關(guān)鍵作用。

1 國內(nèi)現(xiàn)有力學(xué)教材中的變分法

分析力學(xué)教材中變分法是在Euler-Lagrange方程推導(dǎo)中使用[1，2]，主要思路是先將拉格朗日量用廣義坐標(biāo)表示出來：

（1）

其中為時間坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)。定義有泛函積分表示的作用量：

（2）

其中在積分區(qū)間，端點(diǎn)處取定值。對以上取極值，便可得到體系的運(yùn)動方程（Euler-Lagrange方程）：

（3）

基于分析力學(xué)中的變分方法框架，我們將相應(yīng)的問題處理思路應(yīng)用于基于非線性哈密頓量的多組分耦合量子多體系統(tǒng)的解析求解。

2 變分法在耦合量子體系中的拓展應(yīng)用

近年來變分法在耦合多組分超冷原子體系的應(yīng)用倍受關(guān)注[3]。這里我們通過引入改進(jìn)的變分?jǐn)M設(shè)來分析求解摻雜二組分冷原子體系，所考察的物理場景為原子質(zhì)量為的主體組分在強(qiáng)度為的外諧振子勢中，原子質(zhì)量為的摻雜組分感受強(qiáng)度為的外諧振子勢，標(biāo)準(zhǔn)線性諧振子哈密頓量與拉氏量記為和，描述摻雜組分的（含耦合非線性效應(yīng)項(xiàng)）非線性薛定諤方程為：

（4）

不難驗(yàn)證（4）式可從關(guān)于的作用泛函的變分得到，其中：

（5）

接下來用變分法求解方程（4），我們采用改進(jìn)的變分?jǐn)M設(shè)如下：

（6）

其中是d-維情形下歸一化常數(shù)。相對于前期相關(guān)工作，這里的改進(jìn)是引入新的待定函數(shù)，以便能更為精確的描述摻雜原子密度分布。將（6）代入（4），虛部方程可將用表示出來，將（5）式分別相對于與變分，得到與分別滿足的方程，其中滿足的方程為：

（7）

其中為環(huán)境系統(tǒng)決定的常數(shù)；

滿足的方程與先前工作[3]中形式相同。忽略耦合作用（），就是前期文獻(xiàn)中采用的高斯波包形式，計(jì)入耦合作用（），（7）式給出的形式更為精確，基于（7）式計(jì)入一級近似的解析形式為：

其中。改進(jìn)的變分法得到的方程（7）與密度分布寬度方程相結(jié)合給出更為精準(zhǔn)的體系動力學(xué)演化描述。

3 結(jié)語

變分法是處理物理量子力學(xué)問題比較有效的方法，與物理學(xué)中其他方法如微擾法不同的是微擾法的運(yùn)用有弱作用強(qiáng)度的限制。該文著重展示的變分法適用范圍要廣的多，是近年諸多前沿物理問題解析分析所采用的工具。該文通過變分法從單組分體系拓展到以摻雜超冷原子體系為代表的多組分耦合量子體系的應(yīng)用，結(jié)合關(guān)鍵解析分析思路，對變分法在解決實(shí)際物理問題中的應(yīng)用引起更加深入的認(rèn)識。

參考文獻(xiàn)

[1] 艾利斯哥爾茲，著.變分法[M].李世晉，譯.商務(wù)印書館，1956.

[2] 葉敏.分析力學(xué)[M].天津大學(xué)出版社，2002.

[3] T.H.Johnson，M.Bruderer，Y. Cai，S.R.Clark，W.Bao，D. Jaksch，EPL98，26001（2012）.