， ， (中國北方車輛研究所， 北京　100072)

引言

在電液位置控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，多采用傳遞函數(shù)的形式進(jìn)行頻域分析。將系統(tǒng)中的非線性因素在某一工作點(diǎn)線性化，然后在此工作點(diǎn)推導(dǎo)其傳遞函數(shù)模型，進(jìn)而運(yùn)用經(jīng)典控制理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度[1]。從保守設(shè)計(jì)角度出發(fā)，需要線性化的工作點(diǎn)多選在系統(tǒng)最壞的工作狀態(tài)。比如，常以閥芯在中位時(shí)作為最壞的工作點(diǎn)，因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)的增益最大，阻尼最小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性最差[2]。然而，有時(shí)候系統(tǒng)最壞的工作點(diǎn)隱含于模型當(dāng)中，較難確定。比如，當(dāng)采用對稱閥控非對稱缸時(shí)，由于液壓缸左右作用面積不等，造成閥芯左右移動(dòng)時(shí)所建立的模型不一致[3]，因而采用哪一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向所建立的模型才符合保守設(shè)計(jì)就難以確定。再有，在建立系統(tǒng)模型時(shí)，多把負(fù)載等效成具有質(zhì)量、彈性、阻尼的二自由度線性振動(dòng)模型。實(shí)際中，這些等效參數(shù)很難準(zhǔn)確把握，而且更多時(shí)候，這些參數(shù)都是隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化而變化的，怎樣選取這些參數(shù)才更符合保定設(shè)計(jì)有待商榷。針對上面的兩個(gè)問題，本研究以汽車后橋電控液壓轉(zhuǎn)向系統(tǒng)為例[4，5]，建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，重點(diǎn)確定系統(tǒng)最壞工作狀態(tài)。

1　電液位置控制系統(tǒng)建模

典型的電控液壓位置控制系統(tǒng)，根據(jù)是否有剛度負(fù)載，是否為對稱閥控對稱缸，在建模過程中略有不同[2]。實(shí)際上， 不帶剛度負(fù)載的模型是帶有剛度負(fù)載的模型的一種簡化形式， 而對稱閥控對稱缸 (雙出桿缸)是對稱閥控非對稱缸(單出桿缸)的一種特殊情況。因此，為了使模型更具有一般性，在這里采用對稱閥控非對稱缸、帶有彈性負(fù)載的電液位置控制系統(tǒng)為研究對象，而這種型式也正是電液轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的常規(guī)形式。針對對稱閥控制非對稱缸的傳遞函數(shù)模型，可以通過引入負(fù)載壓力和負(fù)載流量，將流量方程進(jìn)行適當(dāng)簡化并在某工作點(diǎn)作線性化處理得到。結(jié)合系統(tǒng)中其它比例環(huán)節(jié)可得出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，如圖1所示。

圖1　電液比例位置控制系統(tǒng)模型

由于采用的是對稱比例閥控非對稱缸，在定義負(fù)載壓力pL和負(fù)載流量QL上多種形式[3]。從能量守恒角度出發(fā)，本研究采用式(1)和式(2)定義負(fù)載壓力和負(fù)載流量，其中，比例閥閥芯正向運(yùn)動(dòng)時(shí)(x>0)表示活塞桿伸出，比例閥閥芯負(fù)向運(yùn)動(dòng)時(shí)(x<0)表示活塞桿縮回。

pL=p1-np2,QL=Q1(x>0)

(1)

(2)

根據(jù)上面的定義負(fù)載壓力和負(fù)載流量可推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下[3]:

(3)

式中,

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，開環(huán)系統(tǒng)總增益Kv=KpKaKxKyKf；Kp為PID控制器比例增益；Ka為功率放大器增益；Kx為比例電磁增益；Ky為比例閥驅(qū)動(dòng)液壓缸的比例增益；Kf為傳感器增益；ωr為一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；ω0為二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合固有頻率；ξ0為二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合阻尼比；ωc為開環(huán)系統(tǒng)的穿越頻率。A為液壓缸作用面積；Kq為比例閥控非對稱缸流量增益系數(shù)；Kc為比例閥控非對稱缸流量-壓力系數(shù)；Kh為液壓彈簧剛度；K為等效負(fù)載剛度；m為等效負(fù)載質(zhì)量；C為等效負(fù)載阻尼；Vt為液壓缸當(dāng)量容積。

上述是比例閥控非對稱液壓缸的模型，雖然在形式上閥芯左右運(yùn)動(dòng)可寫成統(tǒng)一形式，但在取值上是有區(qū)別的。當(dāng)閥芯位移x>0時(shí)，A=A1，Kq=Kq1，Kc=Kc1，Vt=Vt1；當(dāng)閥芯位移x<0時(shí)，A=A2，Kq=Kq2，Kc=Kc2，Vt=Vt2。具有的表達(dá)形式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

上式中，A1、A2分別為無桿腔、有桿腔的有效面積，且n=A2/A1；Kq0為比例閥控對稱缸所對應(yīng)的零位流量系數(shù)；Kc0為比例閥控對稱缸所對應(yīng)的零位壓力系數(shù)；ps為油源壓力；βe有效體積彈性模量；w為比例閥開口的面積梯度；μ為油液的動(dòng)力黏度；Cd為流量系數(shù)；rc為閥芯與閥套的徑向間隙；y為活塞桿位移。

由于左右兩腔作用面積不等，造成了活塞桿伸出與縮回運(yùn)動(dòng)的不對稱性，文獻(xiàn)[6]對其本質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)描述。針對圖1的閉環(huán)控制系統(tǒng)可進(jìn)行頻率分析，雖然這樣分析精度不高，但有利凸顯系統(tǒng)的主要特性，從總體上對后續(xù)的分析和設(shè)計(jì)起到指導(dǎo)作用[5]。

比例系數(shù)Ky直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和精度，提高比例系數(shù)可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和精度，但會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由式(4)中可以看出比例系數(shù)與流量增益系數(shù)Kq、流量壓力系數(shù)Kc、活塞缸作用面積A和等效負(fù)載剛度K有關(guān)。比例閥的流量增益系數(shù)Kq和流量壓力系數(shù)Kc隨著閥芯位移的變化而變化，當(dāng)閥芯處于零位時(shí)，閥的流量增益Kq最大，而流量壓力系數(shù)Kc最小，此時(shí)比例系數(shù)Ky最大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性最差。另外，適當(dāng)?shù)脑龃笠簤焊鬃饔妹娣eA也有助于增大比例系數(shù)Ky，將閥芯向正向運(yùn)動(dòng)和負(fù)向運(yùn)動(dòng)的比例系數(shù)Ky作比可知活塞桿伸出時(shí)的比例系數(shù)較大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差。

一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率ωr是液壓彈簧與負(fù)載彈簧串連時(shí)的剛度與阻尼系數(shù)之比。ωr跟載剛度K有關(guān)。如果負(fù)載剛度很小，則ωr很低，慣性環(huán)節(jié)可以近似看成積分環(huán)節(jié)。

當(dāng)液壓的彈簧剛度Kh遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于等效負(fù)載剛度K時(shí)，二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合固有頻率ω0就為液壓固有頻率ωh，它體現(xiàn)液壓動(dòng)力元件的響應(yīng)速度。在液壓控制系統(tǒng)中，液壓固有頻率一般是整個(gè)系統(tǒng)中最低的頻率，限制了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。為了提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，要提高液壓固有頻率。由式(6)及以上相關(guān)各式中可以看出，提高液壓固有頻率的方法有：(1)減小轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的等效負(fù)載質(zhì)量m；(2)減小液壓缸兩腔的總積V10和V20，實(shí)際上V10和V20不僅包括液壓缸無桿腔和有桿腔的容積，還包括比例閥與液壓缸管路連接的容積，應(yīng)減小此段管路容積，比例閥盡量靠近液壓缸;(3)提高油液的有效體積彈性模量βe，即應(yīng)盡量減少油液中混入空氣，而且在比例閥與液壓缸的連接管路上盡量不要使用軟管，這樣會(huì)降低βe；(4)增大液壓缸作用面積A，面積的增大，總?cè)莘e也會(huì)增大，但是一般面積增大提高的更多，液壓固有頻率還是有所提高，但會(huì)使?jié)M足同樣負(fù)載速度所需要的流量增大，整個(gè)系統(tǒng)元件流量等級會(huì)隨之增大，會(huì)帶來較多不利結(jié)果。將閥芯向正向運(yùn)動(dòng)和負(fù)向運(yùn)動(dòng)不同的參數(shù)代入式(6)中，兩者作比較可知活塞桿伸出時(shí)的固有頻率要低一些。

當(dāng)液壓的彈簧剛度Kh遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于等效負(fù)載剛度K時(shí)，二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合阻尼比ξ0就為液壓阻尼比ξh，它體現(xiàn)液壓動(dòng)力元件的收斂速度。阻尼比越大，收斂速度越快。由式(7)及以上相關(guān)各式可以看出影響阻尼比的因素很多，但主要因素還是流量壓力系數(shù)Kc和液壓缸兩腔的容積V10、V20，等效負(fù)載阻尼C和等效負(fù)載質(zhì)量m影響很小。

開環(huán)系統(tǒng)的穿越頻率ωc近似表明閉環(huán)系統(tǒng)的頻寬，提高系統(tǒng)的頻寬可以擴(kuò)展動(dòng)力元件的工作速度范圍。由式(8)以上相關(guān)各式可以看出增大比例閥的壓力流量系數(shù)Kq、減小液壓缸作用面積A可以提高系統(tǒng)的頻寬。由于Kq1/A1>Kq2/A2，可知活塞桿伸出時(shí)的頻寬要高一些。

2　頻率響應(yīng)仿真分析

在上面分析的基礎(chǔ)之上進(jìn)行仿真分析，主要對系統(tǒng)的一階轉(zhuǎn)折頻率、綜合固有頻率、穿越頻率、綜合阻尼比等參數(shù)進(jìn)行考查，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的特性，仿真參數(shù)如表1所示，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

表1　閥控缸系統(tǒng)仿真參數(shù)

圖2　活塞桿伸出時(shí)的頻率響應(yīng)

圖3　活塞桿縮回時(shí)的頻率響應(yīng)

從圖2中可以看出，當(dāng)活塞桿伸出時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的固有頻率ω0為167 rad/s，穿越頻率ωc為22.7 rad/s，幅值余度為11.2 dB，相位余度為86.3°；從圖3中可以看出，當(dāng)活塞桿縮回時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的固有頻率ω0為211 rad/s，穿越頻率ωc為20 rad/s，幅值余度為16.9 dB，相位余度為86.6°；兩者數(shù)值對比來看，活塞桿伸出時(shí)的開環(huán)總增益Kv大，穩(wěn)定余度小，穿越頻率ωc高，而綜合固有頻率ω0小，其原因可以從上節(jié)中液壓缸工作面積對系統(tǒng)特性的影響中得到解釋。從保守設(shè)計(jì)角度考慮，應(yīng)以活塞桿伸出時(shí)系統(tǒng)所具有的穩(wěn)定余度來設(shè)計(jì)Kp增益系數(shù)。

當(dāng)采用對稱閥控制對稱缸(雙出桿缸)時(shí)，即令n=1， 依然運(yùn)用參數(shù)表1進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出，系統(tǒng)的固有頻率ω0為172 rad/s，穿越頻率ωc為24.8 rad/s，幅值余度為13.4 dB，相位余度為84.6°。對比圖2～圖4可見，對稱閥控對稱缸的穿越頻率要高些，而固有頻率和幅值余度介于閥控非對閥之間。從具體數(shù)值的相對誤差來看，采用閥控非對稱缸模型與采用閥控對稱缸模型在頻率上的差別很小。實(shí)際上，糾結(jié)于采用對稱閥控制非對稱缸建模還是采用對稱閥控制對稱閥建模遠(yuǎn)沒有選擇不同的負(fù)載參數(shù)對整個(gè)頻率特性的影響大。下面的仿真分析將體現(xiàn)等效負(fù)載參數(shù)的變化對系統(tǒng)的頻率特性的影響。

圖4　對稱閥控對稱缸的頻率響應(yīng)

3　等效負(fù)載的影響

電控液壓轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是將負(fù)載等效到液壓缸活塞桿上的質(zhì)量、剛度、阻尼等進(jìn)行分析，但準(zhǔn)確得到這些參數(shù)是很困難的。相對來看，等效質(zhì)量較容易把握，它可以從能量守恒的角度近似求取，而且隨車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變變化較?。坏刃偠瓤筛鶕?jù)轉(zhuǎn)向阻力矩及轉(zhuǎn)向傳遞幾何關(guān)系間接求取，但它隨車輛行駛狀態(tài)的不同會(huì)有較大的變化；等效阻尼是一個(gè)最難準(zhǔn)確求取的量，很多時(shí)候直接給出系統(tǒng)的綜合阻尼比反倒比求取等效阻尼來的更直接更合理。合理地選擇3個(gè)等效參數(shù)對控制器設(shè)計(jì)有較大影響，所以清晰地把握它們對系統(tǒng)的影響就顯得非常重要。

3.1　等效剛度的影響

首先考查等效剛度的影響，從式(4)～式(8)中可以看出它對系統(tǒng)的5個(gè)參數(shù)都有關(guān)系，但當(dāng)?shù)刃偠冗h(yuǎn)遠(yuǎn)小于液壓彈簧剛度時(shí)，可知等效剛度僅影響開環(huán)系統(tǒng)總增益Kv，根據(jù)式(4)可作圖如圖5所示。

從圖5中可以看出，當(dāng)?shù)刃偠容^小時(shí)，系統(tǒng)的總增非常大，而當(dāng)?shù)刃偠冗_(dá)到一定數(shù)值后，系統(tǒng)的總增益基本保持不變?？傇鲆嬖酱?，穩(wěn)定性越差，從這一觀點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)盡量準(zhǔn)確把握最小的等效剛度，進(jìn)而得到最大的總增益，以此設(shè)計(jì)控制器的比例增益使得系統(tǒng)在最大的總增益下也是穩(wěn)定的。

圖5　等效剛度對閥控閥模型增益Kv的影響

3.2　等效質(zhì)量的影響

接著考查等效質(zhì)量的影響。從式(4)～式(8)中可以看出它僅對綜合固有頻率和綜合阻尼比有關(guān)。由式(6)和式(7)作圖如圖6、圖7所示。

圖6　等效質(zhì)量對綜合固有頻率的影響

圖7　等效質(zhì)量對綜合阻尼比的影響

從圖6和圖7中可以看出，等效質(zhì)量嚴(yán)重影響著系統(tǒng)的固有頻率和綜合阻尼比。綜合固有頻率隨著等效質(zhì)量的增加而降低，綜合阻尼比隨質(zhì)量的變化先減小后增大。阻尼比越小系統(tǒng)越容易失穩(wěn)，所以，當(dāng)?shù)刃з|(zhì)量變化范圍涵蓋最小綜合阻尼比區(qū)段時(shí)，從保守設(shè)計(jì)角度出發(fā)，應(yīng)選擇具有最小綜合阻尼比時(shí)的等效負(fù)載質(zhì)量進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

3.3　等效阻尼的影響

最后考查等效阻尼的影響。從式(4)～式(8)中可以看出它僅對綜合阻尼比有關(guān)。而且是與質(zhì)量之比共同起作用的。因此在此以C/m作為參變量考查它對綜合阻尼比的影響，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8　等效質(zhì)量對閥控閥模型增益Ky的影響

從圖8中可以看出，C/m對綜合阻尼比的影響呈線性增長。當(dāng)C=0時(shí)，系統(tǒng)有最小阻尼比。從保守設(shè)計(jì)角度出發(fā)，在等效質(zhì)量確定的情況下，應(yīng)取最小的等效阻尼進(jìn)行設(shè)計(jì)。實(shí)際上，等效阻尼不可能為零，它是一個(gè)即難準(zhǔn)確計(jì)算又難測定的量，所以很多時(shí)候是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接給定綜合阻尼比。反過來思考，當(dāng)綜合阻尼比選定后，可根據(jù)圖8反求出等效阻尼，為系統(tǒng)的時(shí)域仿真分析提供較為準(zhǔn)確的參數(shù)輸入。

4　結(jié)論

針對對稱閥控非對稱缸組成的電液位置控制系統(tǒng)，進(jìn)行了傳遞函數(shù)形式的建模與頻率響應(yīng)分析。從結(jié)果對比來看，應(yīng)選擇活塞桿伸出時(shí)的模型進(jìn)行比例增益設(shè)計(jì)以符合保守設(shè)計(jì)。相比而言，液壓缸左右面積不等引起的活塞桿伸出與縮回時(shí)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的不同遠(yuǎn)沒有等效負(fù)載參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響大。通過分析等效質(zhì)量、等效剛度、等效阻尼3個(gè)參數(shù)對系統(tǒng)總增益、綜合固有頻率、綜合阻尼比的影響，得出3個(gè)等效參數(shù)在其變化范圍內(nèi)的合理確定以保證系統(tǒng)在最壞的情況下也能工作。

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