直井受壓管柱臨界失穩(wěn)長度有限元計算

張 強(qiáng)，安 超，丁宇奇，高 磊，蔣 豹

(東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318)

在鉆井、完井、測井、壓裂、采油等工程作業(yè)過程中，大量使用各種尺寸的管柱(包括鉆柱、套管柱、測試管柱、抽油桿管柱、連續(xù)油管等)，分析管柱的屈曲行為，對于合理選擇管柱尺寸和確定扶正器的安放位置等具有工程應(yīng)用意義。

1744年，L.Eu1er對細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，提出穩(wěn)定性概念并得到了著名的歐拉公式;19世紀(jì)末20世紀(jì)初，S.P.Timoshenko提出了彈性穩(wěn)定理論［1］;1962 年，Lubinski等［2］利用能量法對受壓管柱在垂直井中的螺旋屈曲行為進(jìn)行了研究，并首次提出了虛構(gòu)力的概念;1977年，白家祉［3］提出了用縱橫彎曲連續(xù)梁理論，求解井底鉆具組合的受力和變形;1994年，高國華等［4］針對管柱在后屈曲進(jìn)程中載荷與變形的關(guān)系，進(jìn)行了更深入的研究，得到了管柱一、二次螺旋屈曲的臨界載荷。隨著計算機(jī)技術(shù)和仿真技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們開始利用計算機(jī)進(jìn)行仿真計算，其中最具代表性的要數(shù)ANSYS有限元計算軟件，該軟件提供了特征值分析方法來研究屈曲問題。

本文針對直井管柱臨界失穩(wěn)長度的計算進(jìn)行研究，在現(xiàn)有能量法的基礎(chǔ)上，采用特征值屈曲有限元法，利用ANSYS軟件計算直井管柱的臨界失穩(wěn)長度，為工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 能量法

假設(shè)管柱兩端固支，其底部受軸向壓力的屈曲形態(tài)如圖1所示。在管柱由直線變成彎曲的過程中，管柱的彈性應(yīng)變能增加了△U，同時由于底部軸向壓力F的作用，引起管柱軸向位移的變化，而管柱所做的總功為△W，因此管柱總勢能的增量為△Π =△U+△W。當(dāng)作用在底部的軸向壓力F較小時，管柱總勢能增量為正值，此時管柱的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)作用在底部的軸向壓力F超過某一數(shù)值時，管柱總勢能增量變成負(fù)值，此時管柱的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

圖1 底部受軸向壓力的管柱屈曲形態(tài)

當(dāng)?shù)撞康妮S向壓力F達(dá)到臨界載荷時，在微小擾動條件下，管柱總勢能不變，即:

為了求得管柱的臨界載荷，管柱偏離平衡位置后，假設(shè)滿足兩端邊界位移約束的撓曲線函數(shù)為:

式中:x為管柱橫向位移，m;y為管柱距上部固支處的軸向距離，m;A1為待定系數(shù);L為管柱長度，m。

對式(2)進(jìn)行一階和二階求導(dǎo)，得:

由于底部受軸向壓力F的作用，引起管柱軸向位移的變化，底部軸向壓力所做的總功為:

式中:F為管柱底部的軸向壓力，N;δ為軸向位移，m;α1為系數(shù)。

在距離上部固支處的軸向距離y處，由于管柱自重的分布力，引起微小橫向位移為δx，所做的功為:

式中:q為管柱自重引起的分布力，N/m。

管柱受壓產(chǎn)生彎曲變形，增加的能量為:

式中:E為管柱的彈性模量，GPa;I為管柱的橫截面慣性矩，m4;M為彎矩，N·m;β1為系數(shù)。

將式(5)～(7)代入式(1)，便可求得使底部受壓管柱保持穩(wěn)定的臨界失穩(wěn)長度方程［5］:

式中:η為約束系數(shù)，其中兩端為固支時取74.63，兩端為鉸支時取18.57。

2 特征值有限元法

管柱特征值屈曲分析是一種用于確定管柱結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲構(gòu)型的技術(shù)，其基于下列兩個基本假設(shè):1)管柱材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的，符合虎克定律;2)采用小位移。

分析管柱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時，管柱屈曲的臨界載荷可表示為

式中:PQ為作用載荷，它包括管柱長度引起的自重載荷和底部施加的軸向壓力;λ為管柱屈曲特征值因子。λ的計算公式為

式中:K為管柱的彈性剛度矩陣，即小位移的線性剛度矩陣;S為管柱的幾何剛度矩陣，即初始應(yīng)力剛度矩陣;ψ為特征位移向量。

特征值計算時要對所有的載荷作相應(yīng)的縮放，但某些載荷是常數(shù)，如底部施加的軸向壓力，而某些載荷是可變的，如管柱長度變化時自重也跟著變化。為了確保從常數(shù)載荷得到的剛度在特征值求解時不被縮放，需在特征解上迭代，調(diào)整可變載荷，也就是反復(fù)調(diào)整管柱的長度，直到特征值等于或接近于1.0，此時計算出來的管柱長度即為臨界失穩(wěn)長度。

3 臨界失穩(wěn)長度有限元計算

3.1 工程實例

某井采用尾管固井，尾管彈性模量為206GPa，長度為520.0m，外徑為127.0mm，壁厚為9.19mm，浮重為182.2N/m，尾管在鉆井液中的全部質(zhì)量由井底支撐，假設(shè)扶正器為固支。

圖2給出了兩端固支管柱臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力的變化曲線，并與文獻(xiàn)［5］中的結(jié)果進(jìn)行比較。

圖2 臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力變化曲線

由圖2可見，底部軸向壓力與臨界失穩(wěn)長度呈非線性遞減關(guān)系。管柱靠近井底時，與文獻(xiàn)［5］中的結(jié)果完全吻合，管柱離井底越遠(yuǎn)，與文獻(xiàn)［5］中的結(jié)果偏差越大，且小于文獻(xiàn)［5］中的結(jié)果。這是由于管柱遠(yuǎn)離井底時，相鄰扶正器的底部軸向壓力減小，導(dǎo)致對管柱屈曲的影響減小，扶正器的間距增加，導(dǎo)致管柱自重影響增大，使得相鄰扶正器間的管柱撓曲線發(fā)生了變化，因而采用本文的有限元方法計算管柱臨界失穩(wěn)長度更合理。而文獻(xiàn)［5］使用同一個撓曲線函數(shù)計算不同軸向壓力情況下的管柱臨界失穩(wěn)長度，與實際情況存在一定的偏差。

3.2 無量綱臨界失穩(wěn)長度

令管柱長度系數(shù)m=(EI/q)1/3，則管柱長度L、每一個失穩(wěn)段底部的軸向壓力Fd和臨界失穩(wěn)長度Lcr可表示為

式中:ζ是管柱無量綱長度;γ是管柱無量綱臨界失穩(wěn)長度。文獻(xiàn)［6］和［7］將無量綱臨界載荷分別寫成 Q= γ3，k= γ3。

兩端固支是指在扶正器支承處有彎矩?zé)o轉(zhuǎn)角，兩端鉸支是指在扶正器支承處有轉(zhuǎn)角無彎矩。顯然，井眼內(nèi)的管柱變形在扶正器支承處轉(zhuǎn)角非常有限，而彎矩隨管柱變形的增大而增大，因而管柱在扶正器支承處，既不是固支，也不是鉸支，而是介于固支和鉸支之間且以固支為主的一種約束狀態(tài)［5］。

圖3 臨界失穩(wěn)長度隨底部軸向壓力的無量綱變化曲線

在兩端固支和鉸支條件下，圖3給出了無量綱臨界失穩(wěn)長度隨底部無量綱壓力載荷的變化曲線，由圖可見，兩種約束條件對管柱臨界失穩(wěn)長度影響較大，無量綱臨界失穩(wěn)長度隨著底部軸向壓力的增加而逐漸減小。工程應(yīng)用中，管柱無量綱臨界失穩(wěn)長度應(yīng)介于固支臨界失穩(wěn)長度和鉸支臨界失穩(wěn)長度之間，且應(yīng)更接近于兩端固支臨界失穩(wěn)長度。得出無量綱臨界失穩(wěn)長度后，利用式(12)，便可求出管柱的臨界失穩(wěn)長度值。

4 結(jié)束語

本文采用特征值屈曲的有限元法，計算得出的管柱臨界失穩(wěn)長度更合理，可用于石油行業(yè)中井下各種直井受壓管柱的臨界失穩(wěn)長度分析，對扶正器合理安放間距具有一定的指導(dǎo)意義。

本文研究的管柱線性屈曲問題，處于管柱屈曲的初始階段，今后可考慮在管柱受井壁約束的條件下，采用特定的有限元法，進(jìn)行直井有重管柱非線性后屈曲研究，分析計算管柱正弦屈曲和螺旋屈曲的臨界失穩(wěn)長度及其臨界載荷。

［1］ Timoshenko S P.彈性穩(wěn)定理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1965.

［2］ Lubinski A，Althouse W S，Logan JL.Helical buckling of tubing sealed in packers［J］.Journal of Petroleum Technology，1962，14(6):655－670.

［3］ 白家祉.應(yīng)用縱橫彎曲連續(xù)梁理論求解鉆具組合的受力與變形［C］//國際石油工程會議論文集.北京:石油出版社，1982:67－69.

［4］ 高國華，李琪，張建仁.管柱在垂直井眼中的屈曲分析［J］.西安石油學(xué)院學(xué)報，1996，11(1):33－35.

［5］ 覃成錦，徐秉業(yè)，高德利.垂直井中管桿柱的扶正器安放問題研究［J］.石油鉆采工藝，2000，22(3):8－12.

［6］ 劉洋，楊永波，梁樞平.軸向均布載荷下壓桿穩(wěn)定問題的DQ解［J］.力學(xué)與實踐，2005，27(2):44－47.

［7］ 李清祿，李世榮.受均布載荷壓桿后屈曲形態(tài)的數(shù)值計算［J］.力學(xué)與實踐，2010，32(3):41－43.