高智中，王穎

（安徽科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 鳳陽 233100）

混沌現(xiàn)象是指確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種類似隨機(jī)過程的行為。一個非線性動力學(xué)系統(tǒng)，在系統(tǒng)參數(shù)達(dá)到一定匹配時便會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。在物質(zhì)世界中，混沌現(xiàn)象無處不在?；煦缤绞菍煦缦到y(tǒng)施加控制使系統(tǒng)的軌道與另一混沌系統(tǒng)或另一演化規(guī)律相同但初值不同的混沌系統(tǒng)的軌道漸近地趨向一致［1］。自從Pecora和Carrol在1990年發(fā)現(xiàn)了一種方法來實(shí)現(xiàn)參數(shù)相同不同初始條件的恒等系統(tǒng)的同步以后［2］，混沌同步現(xiàn)今已成為國內(nèi)外混沌的研究熱點(diǎn)，提出了很多同步方法，主要有完全同步、投影同步、自適應(yīng)同步、耦合同步、線性與非線性反饋同步等，比如文獻(xiàn)［3］研究了Sprott-B和Sprott-C系統(tǒng)之間的耦合混沌同步，文獻(xiàn)［4］設(shè)計了一種滑模變結(jié)構(gòu)理論和自適應(yīng)控制理論結(jié)合的方法針對異結(jié)構(gòu)不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的廣義同步進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［5］給出了投影同步方法，并將其應(yīng)用于保密通信，文獻(xiàn)［6-7］提出了修正函數(shù)投影同步方法，文獻(xiàn)［8］基于線性反饋法實(shí)現(xiàn)了新的4維超混沌系統(tǒng)的同步。關(guān)于混沌同步的文章很多，而對單渦旋混沌系統(tǒng)的同步目前較少，本文構(gòu)造了一種單渦旋混沌系統(tǒng)，簡要地分析了該系統(tǒng)的一些基本動力學(xué)行為?；贚yapunov穩(wěn)定性定理和Routh-Hurwitz判據(jù)分別實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的自同步及其與Rossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，計算機(jī)數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1 數(shù)學(xué)模型及其基本動力學(xué)分析

本文構(gòu)造的三維二次單渦旋混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

其中x，y，z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)的參數(shù)，系統(tǒng)中存在唯一一個非線性項z2。當(dāng)參數(shù)a，b，c，d在一定范圍內(nèi)變化時，該系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌吸引子，并且有一些復(fù)雜的動力學(xué)性質(zhì)。如取a＝2，b＝0.1，c＝1，d＝2時，利用 Matlab計算得該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為（－0.237 3，－0.025 6，0.487 2），且平衡點(diǎn)處的Jacobin矩陣的特征值為λ1＝－2.323 9，λ2，3＝0.161 9±1.285 3i，故該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為鞍焦點(diǎn)，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。利用Wolf方法計算得到系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為1.017，說明該系統(tǒng)在這組參數(shù)下處于混沌態(tài)。圖1給出了系統(tǒng)的混沌吸引子，該混沌吸引子由伸展的螺旋運(yùn)動和折返的單向運(yùn)動組成，其隨機(jī)性主要在于折返運(yùn)動的不確定性。由圖1可知，該系統(tǒng)具有混沌性，表現(xiàn)出單渦旋特性，且它的吸引子結(jié)構(gòu)與蔡氏系統(tǒng)、Lorenz系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lv系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)等均不相同。圖2給出了固定參數(shù)a＝2，c＝1，d＝2，系統(tǒng)隨參數(shù)b在［－0.6，0.4］上變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖。圖3給出了系統(tǒng)在x－y平面的三種典型的周期軌道圖，如當(dāng)b＝－0.5時系統(tǒng)處于周期一狀態(tài)，當(dāng)b＝－0.3時系統(tǒng)處于周期二狀態(tài)，當(dāng)b＝－0.17時系統(tǒng)處于周期四狀態(tài)。

Fig.1 Chaotic attractors of the system圖1 系統(tǒng)的混沌吸引子

Fig.2 Bifurcation diagram and its corresponding Lyapunov exponents spectrum of the system with parameter b圖2 系統(tǒng)隨參數(shù)b變化的分岔圖和對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖

2 新自治系統(tǒng)的同步

2.1 自同步

以新單渦旋混沌系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng)，則響應(yīng)系統(tǒng)為

其中，u1，u2，u3為待設(shè)計的反饋控制器，并設(shè)誤差變量e1＝x1－x，e2＝y(tǒng)1－y，e3＝z1－z，則由響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)相減得到誤差系統(tǒng)為

通過分析得到了下面的定理1。

Fig.3 Typical periodic orbit diagram in x-y plane of system圖3 系統(tǒng)在x－y平面的典型周期軌圖

定理1 若控制器設(shè)計為u1＝0，u2＝－ke2，u3＝－e2，其中，k為第2個分量控制器的正反饋增益系數(shù)，則響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)將達(dá)到同步。

證明 將所設(shè)計的控制器代入誤差系統(tǒng)簡化為

顯然e3的解將隨著時間以指數(shù)速率趨向于零，即當(dāng)t→∞時，e3→0。由于混沌吸引子的狀態(tài)變量值是有界的，所以z和z1是有界量，因此當(dāng)e3趨向于零后，誤差系統(tǒng)的第一個和第二個方程將退化為

Fig.4 Self-synchronization error curve圖4 自同步誤差曲線

2.2 異結(jié)構(gòu)同步

以單渦旋混沌系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為Rossler系統(tǒng)

其中，u1，u2，u3為待設(shè)計的反饋控制器，并設(shè)誤差變量e1＝x1－x，e2＝y(tǒng)1－y，e3＝z1－z，則由響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)相減得到誤差系統(tǒng)為

通過分析得到了下面的定理2。

定理2 若控制器設(shè)計為u1＝0.9（z－y），u2＝－0.2y1＋z2－ke2，u3＝y(tǒng)＋3z－x1z1＋0.8，其中，k為第2個分量控制器的正反饋增益系數(shù)，則響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)將達(dá)到同步。

證明 將所設(shè)計的控制器代入誤差系統(tǒng)簡化為

對應(yīng)的特征方程為λ3＋（k＋5）λ2＋（5k＋1）λ＋5＝0，根據(jù)Routh-Hurwitz條件［9］，通過解不等式組可得到當(dāng)k＞0時誤差系統(tǒng)在零點(diǎn)漸近穩(wěn)定，圖5給出了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步誤差曲線，顯然數(shù)秒后誤差變量都趨于0，即實(shí)現(xiàn)了兩異結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的同步。

Fig.5 Synchronization in two different structure systems error curve圖5 異結(jié)構(gòu)同步誤差曲線

3 結(jié)論

通過上述理論分析和計算機(jī)仿真得到以下結(jié)論：

1）本文構(gòu)造了一種單渦旋混沌系統(tǒng)，通過分析發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)行為；

2）通過單驅(qū)動變量實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的自同步，利用非線性反饋法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)與Rossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，結(jié)果表明了這些方法易于操作，目標(biāo)明確，且同步效果良好。

［1］ 陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

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［3］ 劉揚(yáng)正，費(fèi)樹岷.Sprott-B和Sprott-C系統(tǒng)之間的耦合混沌同步［J］.物理學(xué)報，2006，55（3）：1035-1039.

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［5］ 李瑞紅，陳為勝，李爽.超混沌Lorenz系統(tǒng)的投影同步及其在保密通信中的應(yīng)用［J］.電路與系統(tǒng)學(xué)報，2011，16（2）：41-45.

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［8］ 劉揚(yáng)正，姜長生.線性反饋控制新的4維超混沌系統(tǒng)同步［J］.四川大學(xué)學(xué)報（工程科學(xué)版），2007，39（6）：138-142.

［9］ 劉秉正，彭建華.非線性動力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.