☉江蘇省南京市紫東實驗學(xué)校 朱卉斌

三角形新定義型中考題賞析及教學(xué)啟示

☉江蘇省南京市紫東實驗學(xué)校 朱卉斌

一、引言

在初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中，三角形作為一種最基本的幾何圖形，因它的變數(shù)不定而獨具魅力.除了平時我們所熟悉的等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形外.通過命題者的別具匠心，它在近幾年的中考題中還多次“變身”成為其他特殊形態(tài)呈現(xiàn)在大家面前.由此，出現(xiàn)了一種有關(guān)三角形新題型——三角形新定義型問題，給人耳目一新的感覺，充分體現(xiàn)了新型思維能力考查的要求.所謂“新定義”型即為給出一個考生從未接觸過的新規(guī)定，要求考生“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，該類試題主要考查考生的學(xué)習(xí)、接受、理解、運用新知識，以及探索、歸納、判斷能力，從而培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究的品質(zhì).解此類題通常要利用題目中給出的新定義，采用“特殊到一般、轉(zhuǎn)化、類比、分類”等思想或策略來解決問題.通過問題的解決與反思，我們從中能得出一些教學(xué)啟示.

二、三角形新定義型中考題賞析

1.坐標(biāo)系中的三角形大變身

例1（2010年紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形.例如，圖1中的一次函數(shù)的圖像與x，y軸分別交于點A，B，則△OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形.（1）求函數(shù)y=-x+3的坐標(biāo)三角形的三條邊長；

圖1

評注：此題新定義了“坐標(biāo)三角形”，關(guān)鍵在于正確理解題意畫出草圖，根據(jù)圖形利用一次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想來解答，特別要注意坐標(biāo)與線段的長度的內(nèi)在關(guān)系.本題既考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及分類思想，又考查了學(xué)生即學(xué)即用的能力，對學(xué)生思維能力的要求有所提升.

例2（2013年陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.

（1）“拋物線三角形”一定是等腰三角形；

（2）若拋物線y=-x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如圖2，△OAB是拋物線y=-x2+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由.

簡析：（1）因為拋物線的頂點必在它與x軸兩個交點連線段的中垂線上，所以“拋物線三角形”一定是等腰三角形.

圖2

（2）由條件得拋物線的頂點在第一象限，用b的代數(shù)式表示出頂點坐標(biāo)，當(dāng)“拋物線三角形”是等腰直角三角形時，頂點的橫縱坐標(biāo)相等，列出方程即可求出b的值.

（3）由題意若存在，則根據(jù)OA=OB可得出△OAB為等邊三角形，同（2）的辦法求出b′.求出A、B兩點坐標(biāo)后得到C、D兩點坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求解.

評注：本題是一道二次函數(shù)和三角形、四邊形的綜合題.采用“新定義——拋物線三角形”的形式，綜合考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其解析式的確定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定等知識，對計算的要求較高.

以上例1與例2均屬于坐標(biāo)系中的三角形新定義型問題，“坐標(biāo)三角形”和“拋物線三角形”兩種全新的概念在中考題中的介入同時帶來了數(shù)形結(jié)合、類比、分類等數(shù)學(xué)思想的考查，對學(xué)生思維能力的要求得到了進(jìn)一步的提升.

2.幾何綜合題中的三角形大變身

例3（2011年寧波）閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在Rt△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a∶b∶c.

（3）如圖3，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上（一點（不與點A、B重合），D是半圓ADB的中點，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點E，使得AE= AD，CB=CE.

①求證：△ACE是奇異三角形；②當(dāng)△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù).

簡析：（1）根據(jù)新定義判斷即可得出是真命題.

圖3

評注：本題是以“對話”的形式給定一個新定義——“奇異三角形”的閱讀理解型試題，通過對定義的核心理解——“a2+b2=2c2”的層層深入.第（1）小題考查學(xué)生對新概念的認(rèn)識，在簡單運用中加深了對概念特征的理解.第（2）、（3）兩小題在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同情境的運用，讓考生在新情境中對信息進(jìn)行加工，培養(yǎng)了學(xué)生對信息理解、加工和利用信息的能力.同時，第（2）小題的研究又為第（3）小題的探究做了很好的鋪墊，第（3）小題又考查了分類的思想，讓對學(xué)生思維能力的考查又上了一個臺階.此題通過新定義——“奇異三角形”為背景，巧妙地將初中數(shù)學(xué)幾何的核心內(nèi)容等邊三角形、直角三角形、圓的主要考點有效地結(jié)合起來，比較全面地考查了學(xué)生的綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

例4（2013年臺州）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”.

（1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”.

（2）如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求證：△ABC是“好玩三角形”.

圖4

圖5

（3）如圖5，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動，記點P經(jīng)過的路程為s.

②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”，請直接寫出tanβ的取值范圍.

（4）（本小題為選做題，做對另加2分，但全卷滿分不超過150分）依據(jù)（3）的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）.

簡析：（1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點O，過點O作一條線段OC使OC=AB，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形，如圖6.x，根據(jù)條件可以求出AC=2x，由三角函數(shù)可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結(jié)論.

圖7

圖6

圖8

圖9

評注：本題是一道相似形綜合運用的試題，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形性質(zhì)的運用，等腰三角形性質(zhì)的運用，銳角三角形函數(shù)性質(zhì)的運用，解答時靈活運用三角函數(shù)建立方程求解是解答的關(guān)鍵.本題對考生的思維要求頗高，多次運用重要的數(shù)學(xué)思想方法：“好玩三角形”的不確定性需要分類，涉及的線段比需要轉(zhuǎn)化，β從45°到任意角體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，數(shù)與形的結(jié)合貫穿始終.

三、透過賞析得教學(xué)啟示

通過對“坐標(biāo)三角形—拋物線三角形—奇異三角形—好玩三角形”這四個典型三角形新定義型中考題的賞析，透過命題者的視角，展望今后的教學(xué)，得到了一些教學(xué)啟示.

1.注重基本活動經(jīng)驗的積累

2011年版數(shù)學(xué)新課標(biāo)提到：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).”一個學(xué)生的學(xué)習(xí)成功與否關(guān)鍵不在于他掌握多少知識，而在與他所積累的成功經(jīng)驗，并在所積累的成功經(jīng)驗的基礎(chǔ)上所形成的思維方式.以上四個典型考題都是命題者通過新定義一類新三角形后，“從特殊到一般”地設(shè)計了一系列有梯度的問題，這就需要學(xué)生通過自己平時所積累的基本活動經(jīng)驗才能得以解決.然而，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗不是一朝一夕就能形成的，需要在“做”和“思考”的過程中沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中逐步積累的.這就需要教師在平時的教學(xué)活動中有意識地進(jìn)行引導(dǎo).

2.注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化成能力的橋梁.三角形新定義型中考題都用到了：從特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類等重要的數(shù)學(xué)思想.由此可見，教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透.當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想方法要在概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)過程中適時滲透，讓學(xué)生在掌握表層知識的同時，又能領(lǐng)悟到深層的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.在平時的教學(xué)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生主動參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)過程，而并非是讓學(xué)生去機械地記憶問題的結(jié)論，讓學(xué)生在探索過程中親身體驗創(chuàng)造性思維活動中所經(jīng)歷和應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法具有隱性的特點，它隱于知識內(nèi)部，它的形成是一個逐步滲透的長期過程，必須以數(shù)學(xué)問題為載體，經(jīng)過循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟.

3.注重幾何直觀能力的培養(yǎng)

有人把直覺思維譽為偉大發(fā)現(xiàn)的源泉，足見直覺思維的重要性.直覺思維水平的高低取決于幾何直觀能力所處的層次.因此，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).所謂“幾何直觀”，就是借助見到的或想到的圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.幾何直觀既是一種捕捉圖式信息的直觀能力，更是一種不講道理的思維方式，是“從天而降”“突如其來”的頓悟或理解.如：以上四種新定義型三角形在具體圖形中的構(gòu)造與發(fā)現(xiàn)，以及進(jìn)而得出的一些特殊的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，都需要學(xué)生具有良好的幾何直觀意識，即善于從圖形中直觀地去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系，才能完成方法的拓展、延伸與深化.幾何直觀能力的培養(yǎng)需要在平時的教學(xué)中有意識地進(jìn)行，可以讓學(xué)生在拿到題目后，先觀察圖形，直覺認(rèn)定一下可能對解題有幫助的特殊圖形或基本圖形，并尋找一下全等或相似等模型，再進(jìn)一步加以驗證或排除，最終解決問題.

四、結(jié)束語

三角形作為一種既簡單又特殊的幾何圖形，通過命題者的智慧和創(chuàng)造，“變身”成為了一種又一種的新定義型三角形.我們在賞析這些別出心裁的新三角形的同時感慨著幾何魅力之強大，原本普通而平凡的三角形通過“大變身”之后，所考查的思維能力要求也得到了較大的提升.只要我們在平時的教學(xué)中做到注重基本活動經(jīng)驗的積累，數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以及幾何直觀能力的培養(yǎng)，相信定能給學(xué)生帶來解題思維的提升.

1.姜曉翔.透過試題抓本質(zhì)追本溯源得啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（6）.

2.李福軍.2013年紹興卷第23題的解答及啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（11）.

3.朱桂鳳，孫朝仁.圖式語言：培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的良方［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（9）.

4.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.W