☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

認(rèn)知在何處？生成在何方？
——與錢德春老師商榷

☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

拜讀了錢德春老師發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）（2014年3月）上《基于認(rèn)知與生成的數(shù)學(xué)思維教學(xué)——以“三角形內(nèi)角和定理”一節(jié)課為例》（以下簡稱文1）一文后，深受啟發(fā)，特別對如何從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)、從操作經(jīng)驗(yàn)入手、從思維受阻處突破、從“死結(jié)”打開處尋求生長點(diǎn)等教學(xué)智慧、技巧與方法，有了深刻認(rèn)識.但也有一些不同的想法，愿與錢老師商榷.

一、商榷之點(diǎn)

1.學(xué)生的錯誤是否有必要逐一辨析

文1指出：“執(zhí)教老師只是從圖1、圖2兩種拼圖入手，引導(dǎo)學(xué)生得出添輔助線的正確方法，證明了三角形內(nèi)角和定理.但沒有展示圖3、圖4的拼圖，漠視了學(xué)生由這兩種拼圖得不到正確輔助線添法的困惑，失去了培養(yǎng)學(xué)生思維調(diào)控力的大好機(jī)遇.”

圖1

圖2

圖3

圖4

誠然，當(dāng)學(xué)生在課堂上出現(xiàn)錯誤時，教師置之不理是教學(xué)失誤.但這是指這類錯誤已呈現(xiàn)在眾生面前，是一個“顯性錯誤”.根據(jù)文1可知，圖3、圖4的拼圖并沒有顯性化，是個別學(xué)生的“個性化”困惑.那么，針對這些隱性失誤，教師有沒有必要把它們一一呈現(xiàn)在課堂上，然后引導(dǎo)學(xué)生逐一辨析呢？

首先，不必說由于教學(xué)進(jìn)度和時間安排引發(fā)的可行性之爭，單就必要性而言，展示、辨析圖3、圖4的拼圖也有畫蛇添足之嫌.

筆者以為，教師有必要當(dāng)堂講解在巡視中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生“失誤”，必須具備如下特征：第一，代表性，非少數(shù)學(xué)生的個性化行為；第二，不可解性，通過教師對問題正確處理后，其失誤學(xué)生仍然無法自悟解決；第三，可研究性，即通過進(jìn)一步研究，可挖掘其“閃光點(diǎn)”，得到問題的不同解決方法.

顯然，圖3、圖4的“失誤”不屬此列.

圖5

2.拼圖是本節(jié)課的重點(diǎn)嗎

為了能讓學(xué)生自己展示圖3、圖4，文1的建議是：給學(xué)生足夠的時間，讓學(xué)生拼圖，并充分展示他們的作品，從而歸納出圖1～圖5共五種拼圖，再逐一剖析.

其實(shí)，按照文1的拼圖要求，學(xué)生是拼不出這五種圖形的（特別地，圖5本身就不是拼出來的），因?yàn)閿[在學(xué)生面前的就是從△ABC上撕下的三個角按六種方式拼成的平角圖（原△ABC已被“肢解”），對添輔助線無任何啟發(fā)，更不用說困惑了？

倒是筆者作為評委曾見過一位申報(bào)中學(xué)高級的小學(xué)老師的做法值得借鑒.執(zhí)教老師在黑板上先畫出△ABC，再把與之全等的三角形紙板一分為三，涂上不同的顏色，引導(dǎo)學(xué)生在黑板上的△ABC處拼出了六種圖形；又引導(dǎo)學(xué)生用手中的三角形紙片，折疊出類似圖5的三種圖形.

理所當(dāng)然，本節(jié)課獲得評委的一致好評，因?yàn)閷τ谔幱趯?shí)驗(yàn)幾何學(xué)習(xí)階段的小學(xué)生來說，把重點(diǎn)放在拼圖驗(yàn)證上是亮點(diǎn)（特別是教師的拼圖設(shè)計(jì)為學(xué)生進(jìn)入初中階段的后續(xù)學(xué)習(xí)，悄然埋下了添輔助線的伏筆，值得稱贊）.但到了突出推理的演繹幾何之初中，不惜重墨重復(fù)小學(xué)老師的做法，把拼圖仍作為教學(xué)重點(diǎn)是否欠妥？

當(dāng)然，文1認(rèn)為拼圖是教學(xué)重點(diǎn)還因?yàn)樗菍W(xué)生的認(rèn)知點(diǎn)和添輔助線的生成點(diǎn)，事實(shí)果真如此嗎？

3.認(rèn)知點(diǎn)在何處

一方面，演繹推理強(qiáng)調(diào)從已知條件出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)過的定義、公理和定理進(jìn)行論證；另一方面，轉(zhuǎn)化思想則強(qiáng)調(diào)運(yùn)用所學(xué)過的知識來解決新問題.因此，學(xué)生之前所學(xué)過的與180°有關(guān)的知識源于“平角的意義”和“兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)”才是“證明三角形內(nèi)角和定理”的認(rèn)知點(diǎn). 4.輔助線生成在何方

若從“兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的認(rèn)知點(diǎn)出發(fā)，作出圖6中的平行線AD是必然的.

若從“平角的意義”的認(rèn)知點(diǎn)出發(fā)，如何利用等量轉(zhuǎn)化把∠A、∠B和∠C轉(zhuǎn)化到同一平角內(nèi)是證明的突破口，而常見的等量轉(zhuǎn)化有“平移、翻折和旋轉(zhuǎn)”.因此，如何通過平移、翻折和旋轉(zhuǎn)進(jìn)行角的等量轉(zhuǎn)化，才是輔助線的生成方向！據(jù)此可得圖7（旋轉(zhuǎn)——將∠B繞線段AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至∠EAB處，或?qū)ⅰ螩旋轉(zhuǎn)至∠DAC處）、圖8（平移——把∠B平移至∠EAD處）、圖9（翻折）的輔助線添法.

圖6

圖7

圖8

圖9

應(yīng)當(dāng)指出的是平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是指效果而已，具體作輔助線時可靈活操作，否則會弄巧成拙.

如圖9的輔助線作法及其證明如下：

過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過AM的中點(diǎn)N作AM的垂線，分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、E，連接MD、ME.把△ADE沿直線DE翻折，由對稱性可知，點(diǎn)A與M重合，則∠ADE=∠MDE、∠BAC=∠DME.易知∠DNM+∠BMN=90°+90°= 180°，所以DE∥BC.得∠B=∠ADE、∠DMB=∠MDE.故∠B=∠DMB.同理可得∠C=∠EMC.又∠DMB+∠DME+∠EMC=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°.

二、設(shè)計(jì)之筆

據(jù)以上，筆者認(rèn)為“三角形內(nèi)角和定理”的課堂教學(xué)可通過下列問題驅(qū)動：

問題1：三角形內(nèi)角和是多少度？

問題2：你是怎么知道的？（度量和拼圖）

問題3：如何證明呢？（若學(xué)生難以回答，教師可作如下引導(dǎo)）

問題4：一般的，數(shù)學(xué)問題都是運(yùn)用所學(xué)過的知識來解決的.那么，我們學(xué)過的與180°有關(guān)的知識點(diǎn)有哪些呢？（“平角的意義”和“兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)”）

至此，過頂點(diǎn)作其對邊的平行線，運(yùn)用“兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來證明“三角形內(nèi)角和定理”已是手到擒來之舉；而如何運(yùn)用“平角的意義”來證明還需教師進(jìn)一步啟發(fā).

問題5：如何運(yùn)用“平角的意義”來證明三角形內(nèi)角和定理呢？拼圖給你什么樣的啟發(fā)？（把三角形三個內(nèi)角等量轉(zhuǎn)化到同一平角內(nèi)）

問題6：如何進(jìn)行角的等量轉(zhuǎn)化？（教師可從角的位置變化引出圖形變換，從而得出“平移、翻折和旋轉(zhuǎn)”）

運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來驅(qū)動問題解決的最大益處是讓學(xué)生學(xué)會如何思考，不僅知道怎樣做，更知道為什么這樣做！從而有效地突出了學(xué)法指導(dǎo)，強(qiáng)化了解決問題能力的培養(yǎng).

三、題外之語

鑒于錢老師是一市之教研員，統(tǒng)領(lǐng)著一市課堂研究之方向，關(guān)于“教學(xué)失誤”，雖然形成的原因眾多，但作為一線教師，筆者想談兩點(diǎn)拙見，不當(dāng)之處，歡迎錢老師和廣大同仁批評指正.

眾所周知，新課程實(shí)施中需突出三個力——教師課程執(zhí)行力、校長課程領(lǐng)導(dǎo)力和教研員課程指導(dǎo)力.這三者之間的關(guān)系一目了然，既然教師執(zhí)行力出現(xiàn)偏差，那么我們不禁要問：

1.校長的課程領(lǐng)導(dǎo)力去哪兒了

毋庸諱言，不少學(xué)校課程管理者在接待上級部門的課程調(diào)研排課時，關(guān)注點(diǎn)更多地落在執(zhí)教人員的選擇上，常常安排一些骨干教師上展示課.殊不知，如此“精心”安排卻錯失了提升其他教師課堂教學(xué)能力的大好時機(jī)！

課程管理者若能明晰“好課是磨出來”的道理，把工作重心放在課的精心準(zhǔn)備上，聘請學(xué)科專家引領(lǐng)全校同學(xué)科教師積極參與磨課，營造“暢所欲言、大膽質(zhì)疑”的研討氛圍，落實(shí)“反復(fù)修改、不斷完善”的研討流程，追求“精益求精、力求完美”的研討境界，從“學(xué)情分析、教材處理、教法設(shè)計(jì)、學(xué)法指導(dǎo)、課堂組織和習(xí)題精選”等細(xì)節(jié)入手，把磨課真正落到實(shí)處，把好課磨到每一位教師的心里，又何必?fù)?dān)心由誰來執(zhí)教呢？

2.教研員的課程指導(dǎo)力去哪兒了

據(jù)筆者所知，教研員對負(fù)責(zé)區(qū)域內(nèi)教師課堂教學(xué)能力的培訓(xùn)存在兩個“單一”傾向.

第一，到學(xué)校調(diào)研時，不僅獨(dú)自聽課，而且反饋也往往只與授課教師個別交流.若能拋開傳統(tǒng)觀念，組織區(qū)域內(nèi)各校教研組長一起聽課，并進(jìn)行反思性的集體研討，不僅能讓授課教師獲益匪淺，而且還能通過教研組長把研討效果輻射到轄區(qū)內(nèi)的每一所學(xué)校，從而把課程指導(dǎo)力最大化.

第二，開展區(qū)域內(nèi)公開課活動時，喜歡獨(dú)自過早地參與到課前指導(dǎo)中.其弊端有二：首先，束縛了授課教師及其團(tuán)隊(duì)的創(chuàng)新力，由于教研員的特殊身份，其指導(dǎo)之處必然是授課教師的盲從之點(diǎn)；其次，阻礙了課后研討的深入交流，不難想像，教研員指導(dǎo)過的課，區(qū)域內(nèi)的老師還敢有什么不同想法！即便有，又怎能說出口！研討活動常常會在一片叫好聲中草草收場.

筆者的想法是，既然是區(qū)域內(nèi)公開課，教研員當(dāng)然要參與磨課.但磨課初期，教研員應(yīng)積極發(fā)揮授課教師及其團(tuán)隊(duì)的作用，放任他們大膽磨課，自己只是聆聽者和思索者.等到團(tuán)隊(duì)達(dá)成共識后，再組織區(qū)域內(nèi)有經(jīng)驗(yàn)的教師或?qū)＜疫M(jìn)行新一輪的磨課，最后展示.展示后，教研員應(yīng)把整個磨課過程，結(jié)合調(diào)研時發(fā)現(xiàn)的問題，輔以多媒體開展一次專題講座，著重介紹磨課過程中一些教學(xué)設(shè)計(jì)取舍的背景和緣由，初稿、修改稿和定稿的優(yōu)劣，本節(jié)課還可怎么處理等熱點(diǎn)話題.目的在于：讓教師不僅從優(yōu)質(zhì)課的展示中學(xué)會怎么做，還要從好課形成過程中懂得哪些不能做，以及為什么不能做.倘若如此開展公開課活動，錢老師在原文中所提到的種種“教學(xué)失誤”是否會大大減少呢？

眾所周知，突出過程教學(xué)的課程改革已如火如荼地開展了十幾年，那么，身為教研員是否也該反思：公開課活動不僅要展示結(jié)果，更要展示過程呢？

總之，當(dāng)課堂教學(xué)出現(xiàn)“失誤”時，需反思的不應(yīng)只是授課老師，還有學(xué)校的團(tuán)隊(duì)、課程管理者和課程指導(dǎo)者.只有我們靜下心來，從學(xué)法、教法、管理和指導(dǎo)全方位地進(jìn)行反思，積極研究對策，打造優(yōu)質(zhì)師資隊(duì)伍、創(chuàng)建高效課堂才能成為現(xiàn)實(shí).如此，受益的不僅僅是老師，更有那些依在“題?！敝锌嗫鄴暝妮份穼W(xué)子！

1.錢德春.基于認(rèn)知與生成的數(shù)學(xué)思維教學(xué)——以“三角形內(nèi)角和定理”一節(jié)課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.W