“化”于練，“歸”于思

江亞文

【摘要】數(shù)學(xué)思想越來越多的在新授過程中被重視，而在練習(xí)時(shí)卻很少見到。然而，化歸思想在練習(xí)中卻是舉足輕重的作用，那么如何在練習(xí)中體現(xiàn)化歸思想，使數(shù)學(xué)思想得到不斷的延續(xù)呢？本文將以《圓》中的練習(xí)案例，通過思維的不斷來回訓(xùn)練，用“集成”的眼光關(guān)注整體等策略，把化歸思想深入學(xué)生的學(xué)習(xí)中，為學(xué)生學(xué)習(xí)所用。

【關(guān)鍵詞】化歸思想;思維;數(shù)學(xué)模型;整體思想

新課程標(biāo)準(zhǔn)由原來的“雙基”變成了現(xiàn)在的“四基”，增加了“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。顯然，“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”越來越被重視，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得數(shù)學(xué)的基本思想方法才具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要。眾多的數(shù)學(xué)思想方法中，化歸思想是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，老師們?cè)絹碓蕉嗟母惺艿搅嘶瘹w思想的重要性，而且在新授過程中也能有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，但在新授結(jié)束后，化歸思想的滲透也就戛然而止，總給人一種意猶未盡的感覺。那么如何在練習(xí)設(shè)計(jì)中也能較好地體現(xiàn)化歸思想呢？筆者認(rèn)為，我們不妨從以下幾點(diǎn)入手：

一、關(guān)注思維來回，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)化。

1.操作抽象，架構(gòu)實(shí)際問題到數(shù)學(xué)模型的橋梁

教材的設(shè)計(jì)，非常合理地安排了相關(guān)習(xí)題，如在學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)后，就出現(xiàn)了這樣的題目：（作業(yè)本P15）

本題最關(guān)鍵的就是尋找它的目標(biāo)模型——求頂點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)時(shí)所經(jīng)過的路程。其實(shí)是簡(jiǎn)單的一條線段繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，另一端點(diǎn)所經(jīng)過的路程。而這個(gè)活動(dòng)過程，其實(shí)就是圓的形成性定義——當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓的真實(shí)詮釋。所以可以進(jìn)行如下環(huán)節(jié)：

第一層次：動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)聯(lián)系

師：請(qǐng)你用學(xué)具演示三角形繞定點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程。邊旋轉(zhuǎn)邊思考：

①旋轉(zhuǎn)時(shí)，關(guān)鍵是什么？三角形哪些地方是沒有用的？去除這些部分結(jié)果還一樣嗎？

②這個(gè)過程和我們以前學(xué)過的什么是相似的？頂點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)時(shí)所經(jīng)過的路程是什么圖形？

通過這樣的操作，學(xué)生可以去除非本質(zhì)信息。發(fā)現(xiàn)這和繩子畫圓情況一樣，也就是一條線繞著一個(gè)端點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)。為實(shí)際問題和目標(biāo)模型的轉(zhuǎn)化奠定基礎(chǔ)。

第二層次：轉(zhuǎn)化和解答，利用數(shù)學(xué)模型求解

有了上面的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生就自然把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為圓的知識(shí)，即經(jīng)過的路程其實(shí)就是線段AC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A所經(jīng)過的路程其實(shí)就是圓弧，而旋轉(zhuǎn)的角度和等邊三角形的60°角有關(guān)，正好是120°，而120°是整個(gè)圓的三分之二。所以所走的路程是半徑為1dm的圓周長(zhǎng)的三分之二。把三角形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后另一個(gè)頂點(diǎn)所走的路程，通過化歸思想，轉(zhuǎn)化為線段繞一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后另一個(gè)端點(diǎn)所走的路程，也就是歸結(jié)于圓的形成性定義，這樣問題就迎刃而解了。

這樣的情況還有很多，我們要引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行這樣的轉(zhuǎn)化。比如灑水車規(guī)定時(shí)間內(nèi)灑過的路面的面積，它的數(shù)學(xué)模型就是長(zhǎng)方形的面積，灑水的寬度就是長(zhǎng)方形的寬，經(jīng)過的距離就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng);村莊飲水鋪水管，怎樣使成本最少（水管最短），它的數(shù)學(xué)模型是過直線外一點(diǎn)所有線段中，垂直線段最短。

2.有去有回，拓寬數(shù)學(xué)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用

一種數(shù)學(xué)模型，往往不是只正對(duì)一題的，它其實(shí)在很多地方都適用，如果就以從實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型這樣為止的話，我想這樣的訓(xùn)練無疑是單向的，也是封閉。那么當(dāng)學(xué)生遇到其他題目，就不會(huì)有這種轉(zhuǎn)化的意識(shí)，所以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，這樣的數(shù)學(xué)模型可以解決哪些數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生思維有去有回，才是真正的體現(xiàn)了這種數(shù)學(xué)思想的價(jià)值。

比如學(xué)生在進(jìn)行圓的周長(zhǎng)的鞏固練習(xí)時(shí)，會(huì)碰到這樣的題目：一個(gè)羊圈的半徑是15米，要用多長(zhǎng)的粗鐵絲才能把羊圈圍上3圈？解答此題時(shí)，肯定會(huì)讓學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，也就是求3個(gè)半徑為15米的圓的周長(zhǎng)。學(xué)生利用模型規(guī)律輕松解決本題后，我們不妨反過來，讓學(xué)生說說：像這樣除了利用圓的周長(zhǎng)解決此題之外，我們還能解決生活中哪些問題呢？你能舉例說明嗎？此時(shí)，學(xué)生在思考的是數(shù)學(xué)模型的具體直觀現(xiàn)象。比如，一頭羊用5米長(zhǎng)的繩子栓在一棵樹上，繞著走一圈，走的路徑是多少;李爺爺用3米長(zhǎng)的鐵絲，圍成一個(gè)圓形的菜園，它的半徑是多少;當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型還有很多，比如圓環(huán)的面積計(jì)算，我們可以解決小路的面積，可以解決圓環(huán)飾品的大小等等。

二、關(guān)注整體思想，實(shí)現(xiàn)形與形的互通

1.借助分割法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，不斷滲透化歸思想

比如當(dāng)學(xué)生遇到不規(guī)則圖形時(shí)，不是盲目地進(jìn)行計(jì)算，這樣只會(huì)使計(jì)算非常的繁瑣，甚至?xí)档陀?jì)算正確率。而是先進(jìn)行分割，把不規(guī)則圖形分割成若干份。然后嘗試平移、旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ等運(yùn)動(dòng)形式，抓住這些運(yùn)動(dòng)時(shí)大小是不會(huì)改變的?？纯茨芊癜巡灰?guī)則圖形通過轉(zhuǎn)換，重組成規(guī)則圖形，從而解決問題，這樣的方法就是化歸思想的體現(xiàn)。

如：（右圖），一看這個(gè)題目，有些學(xué)生覺得無從下手，部分學(xué)生會(huì)在中間加條輔助線，把陰影部分分成兩部分，然后經(jīng)過繁雜的過程計(jì)算出它的面積：

①的面積：3.14×102÷2=157（cm2）

②的面積：3.14×102÷4=78.6（cm2）

20×10=200（cm2）

200-78.6×2=43（cm2）

總面積：157+43=200（cm2）

然而細(xì)觀察分析，這題我們完全可以運(yùn)用化歸思想，通過分割，把上面的半圓分成2部分，然后通過旋轉(zhuǎn)，四分之一的扇形分塊填補(bǔ)到下面的扇形中，這樣把不規(guī)則的陰影部分重組成長(zhǎng)方形，然后計(jì)算它的面積。如圖：

這樣，不規(guī)則的陰影部分通過平移，可以拼成一個(gè)完整的長(zhǎng)方形。從而就可以簡(jiǎn)便計(jì)算：總面積：20×10=200（cm2）

這里的分割法就是此題的“關(guān)系鍵”，通過分割——嘗試運(yùn)動(dòng)——重組，把不規(guī)則圖形的計(jì)算轉(zhuǎn)換成以前學(xué)過的、會(huì)計(jì)算的規(guī)則圖形，不但降低了計(jì)算的難度，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

2.借助想象，把部分圖形還原成整體圖形，不斷深化化歸思想

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)。這說明，任何的學(xué)習(xí)，都要把學(xué)生陌生的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的內(nèi)容，化生為熟，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究。那么當(dāng)學(xué)生在遇到變式題目時(shí)，就可以先讓學(xué)生觀察不會(huì)的圖形與學(xué)過的圖形有什么關(guān)聯(lián)，然后想一想，能把陌生的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形嗎？然后動(dòng)手補(bǔ)一補(bǔ)加以證明。這就是化歸思想的體現(xiàn)?？梢?，在練習(xí)時(shí)，合理運(yùn)用化歸思想，可以幫助學(xué)生更簡(jiǎn)便地解決問題：

如：六年級(jí)上冊(cè)《圓的周長(zhǎng)》中有這樣題目：求中間紅色部分的周長(zhǎng)是多長(zhǎng)？

學(xué)生都能知道周長(zhǎng)在哪里，卻不會(huì)，因?yàn)闆]學(xué)過求圓弧長(zhǎng)度的方法。但是學(xué)生已經(jīng)會(huì)求圓的周長(zhǎng)，只是他們沒有把兩者聯(lián)系起來。此時(shí)我們不妨先讓學(xué)生進(jìn)行想象：這個(gè)周長(zhǎng)和我們學(xué)過的什么圖像類似，？能進(jìn)行補(bǔ)一補(bǔ)，補(bǔ)成這個(gè)圖像嗎？它與這個(gè)圖形有什么關(guān)系呢？學(xué)生通過想象，補(bǔ)形之后（如右圖。）原來一條弧的長(zhǎng)度是這個(gè)圓的周長(zhǎng)的1/4，而圓的半徑就是正方形的邊長(zhǎng)。把原本陌生的圓弧的長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)變成學(xué)生熟悉的圖形，從而使問題得以解決。

這里運(yùn)用了先想象，再補(bǔ)形，然后轉(zhuǎn)化，把陌生的圓弧轉(zhuǎn)化成熟悉的圓的周長(zhǎng)，明白求圓弧的長(zhǎng)度計(jì)算，可以借助學(xué)生熟悉的圓的周長(zhǎng)計(jì)算方法，計(jì)算出圓弧的長(zhǎng)度。

其實(shí)，像這樣將分散的或部分的知識(shí)放入整體中，會(huì)使解題更加的淺顯易懂。如求右圖陰影部分的面積，我們就可以關(guān)注其整體部分，將陰影部分放入三角形和小正方形中，就可以用S△BCG+S□FCDE-S△BDE的方法求出面積。

再如3（x-4）=24，解方程時(shí)就要把x-4看做一個(gè)整體;這樣的方法尤其到初中的姐方程組作用更大。

總之，用化歸的方法解決問題，能使問題迎刃而解。培養(yǎng)化歸思想不是一朝一夕的，它需要持之以恒，作為教師，必然都知道化歸思想對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。不僅是課堂教學(xué)要有意識(shí)地滲透化歸思想，在練習(xí)時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想解決題目。通過練習(xí)的設(shè)計(jì)，讓化歸思想貫穿整堂課的始末，甚至是延續(xù)到課外。但是應(yīng)用數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式可以遵循。因此，我們還是要根據(jù)問題本身所提供的信息，利用動(dòng)態(tài)的思維，做到具體問題具體分析，從而尋求出有利于問題解決的化歸途徑和方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王逸卿.習(xí)題設(shè)計(jì)需“有去有回”.教學(xué)月刊.2014（10）;

[2] 梁秋蓮.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得數(shù)學(xué)的基本思想. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育.2012（3）;

[5] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).人民教育出版社.