導(dǎo)學(xué)“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”

田載今

統(tǒng)計(jì)學(xué)是處理信息的科學(xué)，各種各樣的信息大多可以用數(shù)字形式來描述，這些數(shù)字在統(tǒng)計(jì)學(xué)中被稱為數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)過程包括對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析等環(huán)節(jié).不論是研究已經(jīng)發(fā)生的事件，還是推斷未來將要發(fā)生的事件，統(tǒng)計(jì)工作都越來越顯示出重要的作用，由于信息科學(xué)的迅猛發(fā)展，大數(shù)據(jù)（印海量的、多樣的、高增長率的數(shù)據(jù)）的處理已經(jīng)成為現(xiàn)代生活中要解決的問題.

人教版初中數(shù)學(xué)教科書的第十章“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”包含以下內(nèi)容：

（1）以抽樣調(diào)查為重點(diǎn)，介紹收集、整理數(shù)據(jù)；

（2）以直方圖為重點(diǎn)，介紹描述數(shù)據(jù)；

（3）結(jié)合實(shí)例展示統(tǒng)計(jì)調(diào)查的基本過程，

下面以一個(gè)具體問題為例，介紹這一章的重點(diǎn)知識(shí)，希望能幫助同學(xué)們理解相關(guān)內(nèi)容.

問題：某工廠大批量生產(chǎn)了某種型號(hào)的顯示器.作為衡量質(zhì)量好壞的一項(xiàng)重要指標(biāo)，這批顯示器的平均使用壽命是廠家應(yīng)該提供的，那么這批顯示器的平均使用壽命是如何得到的呢？

一、抽樣調(diào)查，收集數(shù)據(jù)

這批顯示器的平均使用壽命，應(yīng)是所有顯示器的使用壽命之和除以顯示器總數(shù)所得的商.但是，把每一臺(tái)顯示器都用到壞掉為止再得出結(jié)論顯然是不合常理的.實(shí)際上，廠家的做法通常是：采取某種方式從這批顯示器中隨機(jī)抽取若干臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，分別測(cè)出它們的使用壽命，然后用它們的平均使用壽命估計(jì)這批顯示器的平均使用壽命，

統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常把要考察的全體對(duì)象叫作總體，總體中的每個(gè)成員叫作個(gè)體.在上述問題中，每一臺(tái)顯示器（具體來說是每一臺(tái)顯示器的使用壽命）是個(gè)體，對(duì)每個(gè)個(gè)體都收集數(shù)據(jù)的調(diào)查方法，叫作全面調(diào)查，廠家所用的調(diào)查方法顯然不可能是全面調(diào)查，而是從總體中抽取一部分個(gè)體，這種方法叫作抽樣調(diào)查，所抽取的那些個(gè)體合起來叫作總體的一個(gè)樣本.

如果總體范圍太大或試驗(yàn)具有破壞性，則全面調(diào)查不可行，可采用抽樣調(diào)查的方法，為使樣本的數(shù)據(jù)能較為真實(shí)地反映總體狀況，選取樣本時(shí)應(yīng)注意隨機(jī)性，即保證每個(gè)個(gè)體都有平等的機(jī)會(huì)被抽取到樣本中，這可以減少片面性，提高調(diào)查的可信度，降低出現(xiàn)偏差的可能性，此外，還應(yīng)使樣本容量（即樣本中個(gè)體的數(shù)量）大小合適.樣本容量太小反映不出實(shí)際情況，樣本容量太大就會(huì)造成浪費(fèi).

在上述問題中，如果顯示器共有l(wèi) 500臺(tái)，則可從中抽取30臺(tái)（總數(shù)的2%）作為樣本，其中30就是樣本容量，假設(shè)測(cè)得這30臺(tái)顯示器的使用壽命（單位：萬小時(shí)）分別如下：2.51、2.60、2.00、2.25.3.02、2.94、2.97、3.38、3.36、2.44、2.35、2.45、2.91、3.10、3.12、2.36、3.37、3.42、3.58、2.42、2.74、2.65、2.19、2.65、2.86、2.90、2.73、2.65、2.94、3.14.

這些是抽樣調(diào)查得出的原始數(shù)據(jù)，由此可計(jì)算出樣本的平均值為2.80（單位：萬小時(shí)）.

二整理與描述數(shù)據(jù)

收集到原始數(shù)據(jù)后，通常要對(duì)其加以整理，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中含有的更多信息.以前面所給數(shù)據(jù)為例，其中最小值為2.00，最大值為3.58，可將數(shù)據(jù)分為8組，落在各組中的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫作各組的頻數(shù)，于是有如表1所示的頻數(shù)分布表（每組均只含最小值而不含最大值）.

由頻數(shù)分布表已能看出分布在各組中的數(shù)據(jù)分別有多少個(gè).為了更直觀地描述數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，可以使用一種常用的統(tǒng)計(jì)圖——頻數(shù)分布直方圖，圖1就是描述前面所給數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖.

頻數(shù)分布直方圖的橫軸表示數(shù)據(jù)的取值，每個(gè)小組對(duì)應(yīng)一個(gè)小長方形.各個(gè)小長方形的下底的兩個(gè)端點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)各組數(shù)據(jù)的最小值和最大值，底的長度是組距，圖1中各個(gè)小組的組距都相等，其值為0.20.頻數(shù)分布直方圖的縱軸表示頻數(shù)與組距的比值，例如圖1中左邊第一個(gè)小長方形對(duì)應(yīng)第一組數(shù)據(jù)，其取值范圍為2.00-2.20（不含2.20），組距為0.20，頻數(shù)為2，高為

頻數(shù)分布直方圖中各個(gè)小長方形的面積=底×高=組距×頻數(shù)/組距=頻數(shù).因此，各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是由各個(gè)小長方形的面積來表示的，如果各組數(shù)據(jù)的組距相同，則各個(gè)小長方形的高之比等于各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之比，此時(shí)，可以直接用小長方形的高表示頻數(shù)，這樣畫圖和看圖都很方便，

將頻數(shù)分布直方圖中各個(gè)小長方形上底的中點(diǎn)用線段順次連接，所得的折線也能表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.如圖2，其中的折線像一個(gè)“扣著的鐘”，這顯示出數(shù)據(jù)的分布大致關(guān)于2.80這個(gè)值對(duì)稱，越靠近這個(gè)值，數(shù)據(jù)就越多，越偏離這個(gè)值，數(shù)據(jù)就越少，這反映了隨機(jī)現(xiàn)象中一種常見的叫作正態(tài)分布的規(guī)律.

前面我們將原始數(shù)據(jù)逐一相加再除以30，得到這批顯示器的平均使用壽命為2.80萬小時(shí).利用頻數(shù)分布規(guī)律，還有一種計(jì)算平均使用壽命的方法：用各組數(shù)據(jù)的中間值（即各個(gè)小長方形下底的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)）乘頻數(shù)，然后相加，再除以30，即（2.lOx2+2.30x3+2.50x4+2.70x6+2.90x6+3.10 x4+3.30x3 +3.50 x2）÷30=2.80.

三，用樣本估計(jì)總體是一種統(tǒng)計(jì)思想

一方面，由于事物的復(fù)雜性和多樣性，一個(gè)總體中的各個(gè)個(gè)體之間可能存在差異，抽樣調(diào)查得到的數(shù)據(jù)只是在一定程度上能反映總體的情況，由樣本數(shù)據(jù)得到的結(jié)論未必十分準(zhǔn)確，例如在上述問題中，由于顯示器是隨機(jī)抽取的，不同的抽取結(jié)果，所得的原始數(shù)據(jù)就可能不同，進(jìn)而得出的樣本平均值也可能不同，樣本的平均值可能與總體的平均值有差距，這就是通常所說的隨機(jī)影響，

另一方面，盡管總體中不同的個(gè)體之間存在差異，但是作為同類事物的個(gè)體又有共性，以部分個(gè)體為代表，“解剖麻雀”“由此及彼”的思考就是有價(jià)值的.用樣本估計(jì)總體是一種重要的統(tǒng)計(jì)思想，雖然估計(jì)的結(jié)果不可能一絲不差，但是它可以為我們認(rèn)識(shí)總體提供重要的參考.例如在上述問題中，樣本的平均值2.80（單位：萬小時(shí)）可能與總體的平均值不完全一致，但是通常情況下總體的平均值偏離2.80（單位：萬小時(shí)）的范圍不大，所以可以將2.80萬小時(shí)作為這批產(chǎn)品的平均使用壽命的參考值.

綜上所述，我們既要認(rèn)識(shí)收集、處理數(shù)據(jù)時(shí)的隨機(jī)影響，又不能因噎廢食地忽視抽樣調(diào)查的重要性.如何抽取樣本、分析樣本更為合理？確切地說，采用哪種方法能使估計(jì)結(jié)果盡可能地接近實(shí)際情況？這是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要問題.隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，同學(xué)們會(huì)加深對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)基本思想的認(rèn)識(shí).