不等關(guān)系的早期探索

徐傳勝

古人先認(rèn)識(shí)到不等關(guān)系，而后才認(rèn)識(shí)到相等有關(guān)系.

在長期狩獵與分配獵物的過程中，古人自然產(chǎn)生了“有”和“無”之別，又逐步形成了“多”和“少”之分，后從“有”中理解到“1”和“多”的含義.有些原始部落認(rèn)識(shí)到“1、2”和“多”的區(qū)別，把大于3的數(shù)看為“一群”或“一堆”.故可猜測古人知道，三只羊比兩只羊多.同學(xué)們知道，對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，它們存在著三種可能關(guān)系：a=b，a>b，a

相等關(guān)系僅僅是其中一種（呈現(xiàn)在數(shù)軸上是同一個(gè)點(diǎn)），故自然界充斥著大量的不等關(guān)系，猶如方程與方程組是研究等量關(guān)系的重要工具一樣，不等式與不等式組是研究不等關(guān)系的重要工具.

1.歐幾里得與不等關(guān)系.

雖然古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾研究了若干自然數(shù)的性質(zhì)，但其對數(shù)字之間的比較關(guān)系關(guān)注還較少.關(guān)于不等關(guān)系的確切表述和應(yīng)用最早出現(xiàn)在歐幾里得所撰《原本》之中，他采用不等關(guān)系給出了一些定義，并論證了若干命題.在第一卷采用不等關(guān)系定義了鈍角和銳角.

定義11：大于直角的角稱鈍角，

定義12：小于直角的角稱銳角，

而在第五卷，歐幾里得定義了度量線段的部分和倍量，

定義1：當(dāng)一個(gè)較小量能量盡一個(gè)較大量時(shí)，則稱較小量為較大量的一部分，

定義2：當(dāng)一個(gè)較大量能被一個(gè)較小量量盡時(shí)，則稱較大量為較小量的倍量，

歐幾里得在《原本》中，論證了若干不等關(guān)系，從第一卷中幾個(gè)不等關(guān)系，同學(xué)們可略見一斑，

命題3：已知兩條不等線段，試從較長線段上截取一條線段等于較短線段.

以較長線段某個(gè)端點(diǎn)為圓心，以較短線段為半徑作網(wǎng)，利用所有圓半徑相等可輕松在較長線段上截取較短線段.此命題是線段比較長短的基礎(chǔ).也許同學(xué)們感覺此命題無須證明，然而幾何學(xué)的嚴(yán)密性恰恰要求證明，如歐幾里得所言，直覺是不可靠的.我們需要能夠證明一切，公理化理論正源于此，

命題16：在任意三角形中，若延長某邊得到一外角，則外角大于任一不相鄰內(nèi)角，

命題17：在任意三角形中，任意兩角之和小于兩直角之和.

命題18：在任意三角形中，大邊對大角.

命題19：在任意三角形中，大角對大邊.

命題18和命題19是姊妹命題，前者應(yīng)用命題16證得，后者利用反證法得到.在此基礎(chǔ)上，歐幾里得推出三角形中的重要命題20.

命題20：在任意三角形中，任意兩邊之和大于第三邊.

其證明中還應(yīng)用了公理5：整體大于部分.類似地，同學(xué)們可證：在任意三角形中，任意兩邊之差小于第三邊.

2.阿基米德與不等關(guān)系.

比歐幾里得稍晚一些的阿基米德（公元前287-前212），更是認(rèn)識(shí)到了不等關(guān)系的重要性，在其著作《論球與圓柱》之中推證球體積公式時(shí)，利用了不等關(guān)系的一些結(jié)論.

直到6世紀(jì)，歐多修斯在對阿基米德的《論球與圓柱》注釋之中才證明了此命題，

需要說明的是，由于當(dāng)時(shí)尚未創(chuàng)立相關(guān)數(shù)學(xué)符號，其推證過程顯得較為復(fù)雜.不過借助歐多修斯的思路，可以獲得重要不等式：

3.不等號的由來.

不等關(guān)系的頻頻出現(xiàn)，自然引起了數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他們試圖采用簡潔的符號來表示.現(xiàn)在使用的“<”“>”是英國數(shù)學(xué)家哈里奧特（1560-1621）創(chuàng)立并最早建議使用的.

哈里奧特是英國代數(shù)學(xué)派的奠基人，其遺著《實(shí)用分析學(xué)》于1631年出版，該書在韋達(dá)研究的基礎(chǔ)上，主要討論了代數(shù)方程相關(guān)理論.哈里奧特寫道：

大于記號：a>b表示a量大于b量；

小于記號：a

這對符號簡潔優(yōu)美，突出了相反的特征，很快就得到一些學(xué)者的認(rèn)可和贊許.按照以出版時(shí)間為準(zhǔn)的國際慣例，不等號應(yīng)該算是誕生于1631年，然而此時(shí)哈里奧特已經(jīng)逝世10年了，故可以推測不等號至少應(yīng)是在1621年前創(chuàng)立的.

第一個(gè)把等號和不等號聯(lián)合組成新符號“≥”“《”者，應(yīng)是法國數(shù)學(xué)家布格爾（1698-1758）.布格爾之父是水文學(xué)家和數(shù)學(xué)家.1730年布格爾成為勒阿弗爾的水文學(xué)教授，布格爾還發(fā)明了測日計(jì)來測量太陽及其他發(fā)光體的光強(qiáng).布格爾在其著作中首創(chuàng)不嚴(yán)格不等號，但他未充分認(rèn)識(shí)到其重要性，直到被德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫（1690-1764）發(fā)現(xiàn).哥德巴赫于1734年1月寫信給歐拉（1707-1783），并告知此事，歐拉立刻給予肯定，稱贊這對符號既保持了等號和不等號雙重關(guān)系，還如此簡潔優(yōu)美.故現(xiàn)在把符號“≥”“≤”的創(chuàng)立時(shí)間確定為1734年.至18世紀(jì)初哈里奧特所創(chuàng)立的嚴(yán)格不等號也被廣泛使用起來.

同學(xué)們現(xiàn)在使用的不等號，是清末數(shù)學(xué)家李善蘭（1811-1882）首先引進(jìn)的.1852-1859年，李善蘭與英國傳教士偉烈亞力（1815-1887）等合譯出版了《幾何原本》后九卷及《代數(shù)學(xué)》《代微積拾級》等，這是西方近代科學(xué)著作傳人中國的開端，其中李善蘭引進(jìn)了西方大量數(shù)學(xué)符號，同時(shí)還創(chuàng)譯了許多科學(xué)名詞，如“數(shù)軸”“函數(shù)”“代數(shù)”等，已沿用至今，實(shí)謂匠心獨(dú)具.

不等關(guān)系在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常出現(xiàn)，如“大與小”“長與短”“高與矮”“優(yōu)與劣”“胖與瘦”等.而在數(shù)軸上，顯然右邊的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)永遠(yuǎn)大于左邊的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，只要同學(xué)們留意身邊的事情.就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多不等關(guān)系.