鄭澤娜　張磊

【摘要】在分析影響課程難度的因素的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了刻畫(huà)課程難度的數(shù)學(xué)模型N=αG/T+（1-α）S/T.并以此定量比較我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）與《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》 （以下簡(jiǎn)稱(chēng)《大綱》）中幾何部分內(nèi)容的難度——對(duì)“圓”相應(yīng)課程難度進(jìn)行對(duì)比分析，以此考察初中幾何課程、教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展變化，希望對(duì)于我國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革提供一些啟示.

【關(guān)鍵詞】課程難度；可比深度；可比廣度

【基金項(xiàng)目】2014年廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目：基于課程難度定量分析模型下的初中幾何課程難度研究.項(xiàng)目編號(hào)：201410578047.

一、背景

圓在《大綱》與《標(biāo)準(zhǔn)》中的內(nèi)容相比，發(fā)生了比較大的變化，特別是在《大綱》中的圓與圓的位置關(guān)系中，弦切角定理、相交弦定理、切割線(xiàn)定理是很重要的內(nèi)容，但在《標(biāo)準(zhǔn)》中卻沒(méi)有這部分的內(nèi)容.這些變化對(duì)初中數(shù)學(xué)教師理解和實(shí)施《標(biāo)準(zhǔn)》提出了挑戰(zhàn).那么，通過(guò)對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中初中部分圓的內(nèi)容及難度上的比較，看看新課改是不是在實(shí)質(zhì)上真正給學(xué)生減壓了！

二、課程內(nèi)容的對(duì)比

《大綱》與《標(biāo)準(zhǔn)》中“圓”對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)如下：

（1）《大綱》 ：

1.圓的基本概念：①理解圓、等圓、等弧等概念及圓的對(duì)稱(chēng)性；②掌握?qǐng)A心角、弧、弦、弦心距及圓周角之間的主要關(guān)系；掌握?qǐng)A周角定理以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑等性質(zhì)，并能會(huì)用它們進(jìn)行論證和計(jì)算，會(huì)作兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng).

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①掌握垂徑定理及其逆定理；②了解軌跡的概念和幾個(gè)簡(jiǎn)單軌跡，了解反證法；③掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，了解三角形的外心、內(nèi)心的概念；④掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角的性質(zhì).

3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：①掌握直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系；②掌握經(jīng)過(guò)圓的切線(xiàn)的定義、性質(zhì)和判定；③掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理、弦切角定理、相交弦定理、切割線(xiàn)定理，并會(huì)利用它們進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；④通過(guò)圓周角定理的證明，使學(xué)生了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法.

4.圓與圓的位置關(guān)系：①掌握?qǐng)A和圓的位置關(guān)系；②掌握相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦.相切兩圓的連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)等性質(zhì)；③了解兩圓的外公切線(xiàn)的長(zhǎng)相等，兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)的長(zhǎng)相等等性質(zhì)，了解兩圓公切線(xiàn)長(zhǎng)的求法；④掌握兩圓的外切線(xiàn)的長(zhǎng)相等、內(nèi)公切線(xiàn)的長(zhǎng)相等的性質(zhì)；⑤會(huì)利用直線(xiàn)和圓相切、圓和圓相切的性質(zhì)，畫(huà)出直線(xiàn)和圓弧、圓弧和圓弧連接的圖形.

5.正多邊形和圓：①理解正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.會(huì)將正多邊形邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角的有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切蔚膯?wèn)題；②運(yùn)用多種平面圖形進(jìn)行鑲嵌設(shè)計(jì).

6.弧長(zhǎng)與扇形面積：①會(huì)計(jì)算圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)及簡(jiǎn)單組合圖形的周長(zhǎng)；②會(huì)計(jì)算圓的面積、扇形的面積及簡(jiǎn)單組合圖形的面積；③了解圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形和扇形，會(huì)計(jì)算圓柱和圓錐的側(cè)面積和全面積.

7.尺規(guī)作圖：①會(huì)用尺規(guī)作經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)圓；②會(huì)過(guò)一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn).會(huì)用尺規(guī)作三角形的內(nèi)切圓；③會(huì)畫(huà)兩圓的內(nèi)、外公切線(xiàn).

（2）《標(biāo)準(zhǔn)》 ：

1.圓的基本概念：①理解圓及其有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系；②探索圓的性質(zhì)，了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)圓周角的特征.

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；②了解三角形的內(nèi)心和外心.

3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：①探究并了解直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；②了解切線(xiàn)的概念，探索切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系；能判定一條直線(xiàn)是否為圓的切線(xiàn)，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn).

4.圓與圓的位置關(guān)系：①探究并理解圓與圓的位置關(guān)系.

5.正多邊形和圓：①理解正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.會(huì)將正多邊形邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角的有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切蔚膯?wèn)題；②運(yùn)用多種平面圖形進(jìn)行鑲嵌設(shè)計(jì).

6.弧長(zhǎng)與扇形面積：①會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積，會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積.

7.尺規(guī)作圖：①探究如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)以及不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作一個(gè)圓；②會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)；③會(huì)確定圓的圓心；④會(huì)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形.

三、《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中圓的難度量化比較

（1）影響課程難度的三個(gè)基本要素：據(jù)東北師范大學(xué)史寧中教授對(duì)課程難度的研究方法，他們對(duì)概念的界定是：影響課程難度的基本要素至少有三個(gè)：課程深度、課程廣度和課程實(shí)施時(shí)間.

（2）課程廣度：

用《標(biāo)準(zhǔn)》和《大綱》中圓的內(nèi)容部分的“知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)”來(lái)刻畫(huà)圓的內(nèi)容的廣度.考慮到“正多邊形”在《大綱》中出現(xiàn)在《圓》之中，并且出現(xiàn)切割線(xiàn)定理及其推論，相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)37個(gè)，取綜合的課程廣度系數(shù)為G1=37.《標(biāo)準(zhǔn)》中y圓的知識(shí)點(diǎn)分布較散，相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)24個(gè)，取綜合的課程廣度系數(shù)G2=24.

（3）課程深度：

課程深度指課程內(nèi)容所需要的思維的深度，可以用課程目標(biāo)要求的不同程度來(lái)量化；《大綱》中是按四個(gè)層次“了解”“理解”“掌握”“靈活應(yīng)用”來(lái)陳述目標(biāo)（要求）的，《標(biāo)準(zhǔn)》中則是按三個(gè)層次（水平）來(lái)陳述目標(biāo)（要求）的.考慮到“掌握”這一要求與“靈活應(yīng)用”區(qū)別并不是很大，為了與《標(biāo)準(zhǔn)》 中的層次對(duì)應(yīng)，將“掌握”與“靈活應(yīng)用”合并為同一個(gè)層次.《標(biāo)準(zhǔn)》 除了以上這些結(jié)果性目標(biāo)，增加了過(guò)程性目標(biāo)，例如“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等.對(duì)這些過(guò)程性目標(biāo)要進(jìn)行量化有一定難度，但為了比較標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一，給過(guò)程性目標(biāo)也賦了值.具體規(guī)定參照文獻(xiàn)[1].

①《大綱》中相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)對(duì)于課程深度值分別為：

圓的定義及弦、弧基本概念（1），同心圓與等圓（1），圓的作圖（2），外接圓（1），垂徑定理（3），圓心角與弦、弧的關(guān)系定理（3），弦的度數(shù)和弦心角的度數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用（2），圓周角的定義（2），圓周角與圓心角的關(guān)系（3），圓周角與弦、弧的關(guān)系（3），做兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)（2），圓內(nèi)接四邊形（3），軌跡（1），反證法（1），直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系（3），圓的切線(xiàn)的判定（3），圓的切線(xiàn)的性質(zhì)（3），切線(xiàn)長(zhǎng)定理（3），多邊形的內(nèi)切圓（2），圓的外切多邊形（2），弦切角（1），弦切角定理（2.5），相交弦定理及其推論（2.5），切割線(xiàn)及其推論（2），圓與圓的位置關(guān)系（3），兩圓的連心線(xiàn)的性質(zhì)（3），兩圓的公切線(xiàn)的性質(zhì)（1），兩圓的外公切線(xiàn)的做法（2），兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)的做法（2），相切在作圖中的應(yīng)用（2），圓的內(nèi)接正多邊形（1），正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓（1），正多邊形的有關(guān)計(jì)算（2），正多邊形的作圖（2），圓的弧長(zhǎng)（2），扇形的面積（2），圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖和側(cè)面積（2），鑲嵌模型（1），直徑所對(duì)圓周角（1）.

賦值合計(jì)78，取綜合的課程深度系數(shù)為78，即S1=78

②《標(biāo)準(zhǔn)》中相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)對(duì)于課程深度值分別為：

圓的定義及弦、弧基本概念（2），垂徑定理（3），圓心角與弦、弧的關(guān)系定理（1），圓周角的定義（1），圓周角與圓心角的關(guān)系（2），圓周角與弦、弧的關(guān)系（1），圓內(nèi)接多邊形（多邊形的外接圓）（1），圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（3），直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)（2），點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（3），如何確定圓的圓心（3），三角形的外接圓與外心（1），反證法（1），直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系（3），圓的切線(xiàn)的判定（2），圓的切線(xiàn)的性質(zhì)（3），切線(xiàn)長(zhǎng)定理（2），三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1），圓與圓的位置關(guān)系（3），正多邊形的有關(guān)計(jì)算（2），正多邊形的作圖（2），圓的弧長(zhǎng)（2），扇形的面積（2），圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖和側(cè)面積（2），鑲嵌模型（2），直徑所對(duì)圓周角（3），作圓的切線(xiàn)（2），過(guò)三點(diǎn)作圓（3）.

賦值合計(jì)55，取綜合的課程深度系數(shù)為55，即S2=55

（4）課程實(shí)施時(shí)間：

《大綱》下的課程實(shí)施時(shí)間：T1=30；《標(biāo)準(zhǔn)》下的課程實(shí)施時(shí)間：T2=20.

（5）難度比較：

課程難度就與課程深度、課程廣度成正比，與課程實(shí)施時(shí)間成反比.課程難度實(shí)際上就是“可比廣度”和“可比深度”的加權(quán)平均值.根據(jù)以上數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)[1]中難度計(jì)算公式，分別求出《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中圓部分的可比廣度、可比深度，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及比較結(jié)果：

①《大綱》：課程廣度G1=37，課程深度S1=78，課程時(shí)間T1=30，N1=α·37+（1-α）·78[]30≈2.60-1.37α.

②《標(biāo)準(zhǔn)》：課程廣度G2=24，課程深度S2=55，課程時(shí)間T2=20，N2=α·24+（1-α）·55[]20≈2.75-1.55α.

其中0<α<1，于是，如果取1.23

由此可知：與《大綱》中圓的內(nèi)容相比，《標(biāo)準(zhǔn)》中圓的內(nèi)容的可比廣度增加0.07，可比深度減少，0.15，課程難度減少了0.26，即與《大綱》相比，《標(biāo)準(zhǔn)》中圓的內(nèi)容難度大大減少了.

《標(biāo)準(zhǔn)》中可比廣度增加量為0.07，可比廣度的減少量為0.15變化大，說(shuō)明在知識(shí)點(diǎn)掌握上旨在擴(kuò)寬學(xué)生的見(jiàn)識(shí)面，增加了與現(xiàn)在科技發(fā)展相需求的知識(shí)點(diǎn)，比如：增加了直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，確定圓的圓心，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)等，體現(xiàn)了新課標(biāo)理念，最大程度地發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，最終還是服務(wù)于生活，而且增加的內(nèi)容大多是關(guān)于動(dòng)手作圖的，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中提高自己的操作能力.

四、結(jié)論

《標(biāo)準(zhǔn)》中圓的內(nèi)容突出了圓的性質(zhì)的重要性，體現(xiàn)在廣度的增加上，圓的內(nèi)容的擴(kuò)展面上需提高，在研究的深度上，相對(duì)要求放低.在深度方面，根據(jù)新時(shí)代的要求，適當(dāng)刪減一些不常用的內(nèi)容，如：公切線(xiàn)定理、切割線(xiàn)定理、弦切角定理、兩圓的連心線(xiàn)等，例題也基本是采用生活中的實(shí)際問(wèn)題，既能讓數(shù)學(xué)與實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，又讓同學(xué)們覺(jué)得數(shù)學(xué)不枯燥.

新的《普通初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》與原《全日制普通初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》相比，有以下特點(diǎn)：對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有了新的認(rèn)識(shí)，這種新認(rèn)識(shí)體現(xiàn)了一種動(dòng)態(tài)的模式論的現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀；課程目標(biāo)突出體現(xiàn)了學(xué)生發(fā)展為中心的思想；課程內(nèi)容在為課程目標(biāo)服務(wù)的原則下增強(qiáng)了選擇性；課程評(píng)價(jià)進(jìn)一步豐富和完善了大綱多元化的理念.

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國(guó)義務(wù)教育幾何課程難度的對(duì)比[ J].東北師人學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2005，（6）：151～155.

作者簡(jiǎn)介

鄭澤娜（1992—），女，廣東潮州人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生.

張磊（1981—），男，河南確山人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育，為通訊作者.