趙雙成

【摘要】為證明相差2的素?cái)?shù)對(duì)是無窮多的：1.將前n個(gè)素?cái)?shù)連乘積表為2N后，創(chuàng)建一個(gè)6k±11≤k≤N/3的奇數(shù)對(duì)數(shù)列；數(shù)列內(nèi)的素?cái)?shù)有，1）平方小于2N的前n+t-2個(gè)素?cái)?shù)，2）大于第n+t個(gè)素?cái)?shù)、又不大于2N+1的素?cái)?shù).2.從數(shù)列內(nèi)排除含第1類素?cái)?shù)因子的奇數(shù)對(duì)，剩下的均是相差2的素?cái)?shù)對(duì)；再證明n趨向于無窮大時(shí)，剩下的素?cái)?shù)對(duì)個(gè)數(shù)也趨向于無窮大.證明中用到了兩個(gè)“數(shù)學(xué)工具”：1.數(shù)字篩公式、2.奇數(shù)對(duì)篩定理.

【關(guān)鍵詞】初等數(shù)論；孿生素?cái)?shù)；奇數(shù)對(duì)數(shù)列；數(shù)字篩公式；奇數(shù)對(duì)篩定理

引言

孿生素?cái)?shù)猜想是數(shù)論中著名的未解決問題.這個(gè)猜想由希爾伯特在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的報(bào)告第8個(gè)問題中提出，可以描述為“存在無窮個(gè)孿生素?cái)?shù)”[1].破解這一猜想的最新成果是由華人數(shù)學(xué)家張益唐取得的，2013年5月13日他在哈佛大學(xué)宣布證明了“存在無窮多個(gè)之差小于7000萬的素?cái)?shù)對(duì)”[2].時(shí)至今日，對(duì)存在無窮多個(gè)之差等于2的素?cái)?shù)對(duì)，仍無通過專業(yè)數(shù)學(xué)工作者審視的證明[3].

一、證明中自定義的概念

將前n個(gè)素?cái)?shù)組成的數(shù)列表為p1，p2，p3，p4，…，pn，其連乘積表為2N.

對(duì)整數(shù)a、b、q，有a=bq（b≠0）時(shí)，a是b的倍數(shù)[4].在ak=kb（1≤k≤2N）時(shí)，在不大于2Nb的范圍內(nèi)b的倍數(shù)有2N個(gè)[5].

定義1a=bq（b≠0）中b與q均為正奇數(shù)時(shí)，將a稱為b的奇倍數(shù).如35=5×7，35是5與7的奇倍數(shù).

定義2b為奇素?cái)?shù)且其奇倍數(shù)不含小于b的奇素?cái)?shù)因子時(shí)，該奇倍數(shù)稱為b的奇數(shù)倍.如35是5的奇數(shù)倍，不是7的奇數(shù)倍.

定義36M±1（1≤M≤N[]3）組成一個(gè)N[]3項(xiàng)的奇數(shù)對(duì)數(shù)列.6M-1稱為小數(shù)，6M+1稱為大數(shù).同奇數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)均為素?cái)?shù)時(shí)是孿生素?cái)?shù)，否則為合數(shù)對(duì).

二、pi（2≤i≤n）的數(shù)字篩公式

pi不大于2N的N/pi個(gè)奇倍數(shù)中，有的還含有p2到pi-1中的因子，他們不是pi的奇數(shù)倍.由容斥原理可知[6]，N/pi個(gè)奇倍數(shù)中不含p2到pi-1中任1因子的個(gè)數(shù)是：

【參考文獻(xiàn)】

[1]梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編[M].沈陽：遼寧人民出版社，1980第1版，第494頁倒數(shù)第1—2行.

[2]鄭輝.華人數(shù)學(xué)家張益唐證明“弱孿生素?cái)?shù)猜想”[OL]，騰訊科學(xué)，2013.5.27.

[3]百度百科.孿生素?cái)?shù)猜想[OL]，2014.3.18.

[4]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2013.