賴春葵
【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,圓錐曲線作為平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),是非常重要的章節(jié),但是考慮到其中部分內(nèi)容相對(duì)較難,導(dǎo)致很多學(xué)生失去了學(xué)習(xí)興趣,甚至產(chǎn)生了畏懼感.因此,本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)進(jìn)行了具體分析.
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;定義;解題
由于高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的圓錐曲線題目具備較強(qiáng)的靈活性,并且還會(huì)將多種知識(shí)運(yùn)用到解題之中,并且也是歷年以來高考數(shù)學(xué)的壓軸題,解答難度較大,并且得分偏低.所以,作為教師就應(yīng)該注意到教學(xué)的有效性.
一、創(chuàng)設(shè)情境,提升圓錐曲線教學(xué)趣味
開展圓錐曲線教學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn),學(xué)生很難在學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)中融入圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程.如果能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的情景,就能夠提升學(xué)生對(duì)于圓錐曲線知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣.
比如,在教學(xué)過程中,對(duì)于“橢圓曲線的定義”就可以設(shè)置一個(gè)簡(jiǎn)單的探究性活動(dòng),創(chuàng)設(shè)出情境:事先準(zhǔn)備一根細(xì)繩,然后將其兩端固定在同一個(gè)點(diǎn)上,讓學(xué)生套上鉛筆,將繩子拉緊,然后移動(dòng)筆尖,看看移動(dòng)結(jié)束后畫出來的是怎樣的軌跡,然后再將細(xì)繩的兩端在兩個(gè)不同的點(diǎn)進(jìn)行固定,將鉛筆套上,將繩子拉緊后移動(dòng)筆尖,看看移動(dòng)之后的軌跡.這樣的活動(dòng)雖然很簡(jiǎn)單,但是具備一定的可操作性,通過這樣的引入,學(xué)生也可以初步地認(rèn)識(shí)到橢圓,同時(shí),對(duì)于學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣也有一定的幫助.
二、重視綜合能力,努力為學(xué)生“減負(fù)”
在高考當(dāng)中,圓錐曲線所涉及的考題基本上都屬于綜合類,其中包含了方程、代數(shù)、幾何等多個(gè)方面的知識(shí).所以,在解決這一類型問題的時(shí)候,就應(yīng)該讓學(xué)生嘗試著將問題簡(jiǎn)單化,將問題細(xì)細(xì)劃分之后,再進(jìn)行綜合性的考慮,這樣的解決問題能夠?qū)τ趯W(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線有很大的幫助作用.
1.化繁為簡(jiǎn)
凡事都擁有兩面性,就算是復(fù)雜的問題也是由多個(gè)簡(jiǎn)單的問題共同組成的.所以,在較難的問題解決中,就可以多個(gè)角度綜合考慮,去發(fā)現(xiàn)問題的解決之點(diǎn),避開“硬碰硬”.以下,通過實(shí)際的案例進(jìn)行了具體的解答說明.
比如:在橢圓9a2+16b2=144上有A,B兩點(diǎn),O為橢圓的中心,求點(diǎn)O到弦AB的距離.
分析 這里,需要掌握A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),如果直接求證,無論是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)還是說利用A,B兩點(diǎn),都會(huì)變得非常復(fù)雜.所以,就可以從側(cè)面考慮,避過正面,通過直線OA或者是OB方程與橢圓方程之間聯(lián)立,就可以將A或者B的坐標(biāo)直接求出來.
2.將陌生變?yōu)槭煜?/p>
絕大部分學(xué)生都會(huì)有一種感覺:對(duì)于老師已經(jīng)講過的題目,其實(shí)自己已經(jīng)會(huì)做了或者是覺得在老師講解之后,自己就可以做,但是一旦遇到了新的題目,就會(huì)出現(xiàn)手足無措的感覺.每一個(gè)題型,都需要僅僅圍繞一個(gè)中心點(diǎn),也就是所謂的萬變不離其宗.所以,在遇到新題型或者是陌生的題型,首先自己不能夠慌,要嘗試著將陌生的題型轉(zhuǎn)變成為熟悉的題型,然后逐步去解決,這樣就能夠很好地完成老師規(guī)定的任務(wù).
三、滲透數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生完善解題思路
解析幾何在幾何問題解決中是利用代數(shù)的方法,這是最典型的數(shù)形結(jié)合.所以,讓學(xué)生擁有良好的數(shù)形結(jié)合思想,就可以妥當(dāng)?shù)亟鉀Q圓錐曲線的問題.在平時(shí)的教學(xué)中,教師要懂得不斷地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想,幫助學(xué)生完善幾何問題的解析思路.
第一,在解決圓錐曲線問題時(shí),要讓學(xué)生腦海中時(shí)刻有圓錐曲線圖形的浮現(xiàn),比如:曲線的焦點(diǎn)位置、拋物線開口的注意等,并且根據(jù)焦點(diǎn)位置以及開口的實(shí)際方向,就可以將直線同雙曲線抑或是拋物線的位置最終判斷出來,同時(shí)在思考中也可以結(jié)合具體的圖形,不僅避開了煩瑣的運(yùn)算,同時(shí)也可以快速、準(zhǔn)確地作出特殊情況的判斷.
第二,在幾何問題解題時(shí),最主要的一點(diǎn)內(nèi)容是動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求證.在這一類型的問題解決過程中,就需要利用曲線、幾何等等方面的綜合知識(shí),其本質(zhì)就是將圖形化成代數(shù)、將曲線化成方程,以此來了解曲線的性質(zhì).在動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求證中,最常用的方式有:定義法、幾何法、直接法以及參數(shù)法等,但是在軌跡方程求證的步驟中包含了:直角坐標(biāo)系的建立,設(shè)置出坐標(biāo)點(diǎn),將方程式列出,進(jìn)行化簡(jiǎn)處理,再將點(diǎn)的范圍確定好,這些都是日常教學(xué)中需要注意并且應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練的地方.
比如,已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2).
(1)過點(diǎn)P作一條直線l,確定l斜率的取值范圍,使得C與l之間分別存在一個(gè)、兩個(gè)以及沒有交點(diǎn).(2)如果存在Q(1,1),嘗試著判斷以Q為中心點(diǎn)的弦是否存在.
圖 1
本題命題的目的在于:第一個(gè)提問是為了考查雙曲線與直線之間相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù),歸結(jié)于方程組的解答;第二個(gè)問題主要是對(duì)圓錐曲線與直線問題的第二種方法——“差分法”進(jìn)行處理.
考查知識(shí)點(diǎn):在二次方程根當(dāng)中對(duì)于根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
易錯(cuò)分析:在第一個(gè)提問當(dāng)中,容易忽略二次項(xiàng)系數(shù)的討論;在第二個(gè)提問當(dāng)中,算得Q為中心點(diǎn)的弦的斜率為2,那么就認(rèn)定直線是存在的.
方法與技巧:在面對(duì)弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題的時(shí)候,常常是利用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在的直線斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)相互地聯(lián)系起來,就可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化.
延伸練習(xí):雙曲線x2a2-y2b2=1上有一個(gè)點(diǎn)P,F(xiàn)作為一個(gè)焦點(diǎn),那么將PF作為直徑的圓同x2+y2=a2的位置是( ).
A.內(nèi)切 B.內(nèi)切或者外切
C.外切D.相離或者相交
四、高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用
1.利用定義來進(jìn)行求證
在高考當(dāng)中最常見的題目是:在題目的求證當(dāng)中,常常會(huì)遇到通過第二定義的應(yīng)用來證明拋物線焦點(diǎn)弦作為直徑的圓與準(zhǔn)線相切抑或是與相應(yīng)的準(zhǔn)線相離、將雙曲線焦點(diǎn)弦作為直徑與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交等等題型.
2.利用定義來求軌跡
在解題當(dāng)中,圓錐曲線定義使用最為平凡,也是最典型的求軌跡的方式之一.比如:已知定圓O1和O2,其半徑分別為a,b,并且,有動(dòng)圓M內(nèi)切于O1,外切于O2,通過適當(dāng)坐標(biāo)系的建立,試著將M 的軌跡方程求出來,并且對(duì)于軌跡屬于何種曲線加以說明.
對(duì)于這一類型題目的解決很明顯會(huì)應(yīng)用到圓錐曲線的定義,在解決的過程當(dāng)中也不會(huì)很復(fù)雜,主要是利用O1O2的中心點(diǎn)O當(dāng)作原點(diǎn),以O(shè)1O2所在的直線為x軸建立平面坐標(biāo)系,這樣就可以得到O1,O2的坐標(biāo),然后將動(dòng)圓的半徑假設(shè)為r,通過動(dòng)圓M內(nèi)切于O1,外切于O2,就可以得到MO1和MO2,最后再利用兩者的關(guān)系,就可以將M點(diǎn)的軌跡求證出來,確定焦點(diǎn)O1,O2,也就是雙曲線的左支(x小于0),根據(jù)半徑之間的關(guān)系,就能夠?qū)④壽E方程得到.
比如:在典型的例題應(yīng)用當(dāng)中,橢圓x2a2+y2b2=1(其中a>b>0)中有兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2(如圖2所示),P為橢圓上任意一點(diǎn),從焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線,試著求出Q的軌跡.
所以,OQ=12AP=a.
這樣,就可以將Q的軌跡為圓確定出來,這就是最常見的圓錐曲線定義的應(yīng)用題目之一.
五、結(jié) 語
在圓錐曲線的問題解決當(dāng)中,只有快速、準(zhǔn)確地找準(zhǔn)問題所在,能夠熟練地掌握并且運(yùn)用每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及圖形.所以,在高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線教學(xué)當(dāng)中進(jìn)行拓展性的練習(xí)對(duì)于學(xué)生的能力水平提升非常的關(guān)鍵,同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中不可缺少的重要部分.
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