程村

【摘要】針對(duì)高等院校經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)的微積分課程，設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法.每個(gè)實(shí)驗(yàn)案例都是從一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，來討論分析如何解決這個(gè)問題.一共設(shè)計(jì)了2個(gè)教學(xué)案例，每個(gè)教學(xué)案例基本上包括了“問題提出-建立數(shù)學(xué)模型-分析研討-計(jì)算機(jī)處理-思考”的過程.

【關(guān)鍵詞】實(shí)驗(yàn)教學(xué);案例教學(xué);微積分

一、引 言

掌握簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)軟件解決數(shù)學(xué)問題;提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，掌握基本的數(shù)學(xué)建模方法和技巧，為將來的進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與工作打下一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).同時(shí)在教師指導(dǎo)下用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)分析、解決一些經(jīng)過簡(jiǎn)化的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，從而進(jìn)一步提高學(xué)生“用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)”的能力.

二、教學(xué)案例

案例一：蚊子和壁虎.適用教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)概念.可參考同濟(jì)大學(xué)《微積分（第六版）》【1】第二章第一節(jié).

一、問題提出

圖 1如圖1所示，一只壁虎從A點(diǎn)沿著墻面上的障礙物曲線y=9-x2出發(fā)慢慢地爬至B點(diǎn)后再爬往C點(diǎn)，而一只蚊子則在墻壁上點(diǎn)（5，0）處待著不動(dòng).問：

（1）“當(dāng)壁虎爬到一定位置發(fā)現(xiàn)蚊子”在幾何上表示什么？

（2）利用Matlab作圖估計(jì)壁虎發(fā)現(xiàn)蚊子時(shí)壁虎所在的位置.

（3）計(jì)算出此時(shí)壁虎的真實(shí)位置并與（2）的結(jié)果作比較，考察結(jié)論是否一致.

（4）求此時(shí)壁虎與蚊子之間的距離.

二、涉及知識(shí)點(diǎn)

函數(shù)求導(dǎo)，曲線的切線方程，平面上兩點(diǎn)間的距離

三、所使用的軟件和關(guān)鍵語句

軟件：Matlab 6.0

關(guān)鍵語句：plot（x，y），syms，eqn=′y-（9-a^2）+2*a*（x-a）′，

neweqn=subs（eqn，{x，y}，{5，0}），solve（neweqn，a），

d=norm（BH-WZ，2）

四、實(shí)現(xiàn)的過程和結(jié)果

圖 21.提示：本題主要要求學(xué)生正確理解“當(dāng)壁虎爬到一定位置發(fā)現(xiàn)蚊子”這一概念，其本質(zhì)就是求過（5，0）這點(diǎn)的原曲線的切線（圖2）.

2.實(shí)驗(yàn)過程

第一步，準(zhǔn)備工作

>>x=-6：0.001：6;%設(shè)置x的變化范圍

>>y=9-x.*x;%壁虎的運(yùn)動(dòng)曲線方程

>>axis（[-6 6 0 10]）%設(shè)置圖像顯示范圍，x的范圍為[-6，6]，y的范圍為[0，10]，出現(xiàn)圖像文件Figure No.1

>>hold on;%在以上范圍內(nèi)繼續(xù)畫圖

>>plot（x，y）;%畫出壁虎的運(yùn)動(dòng)軌跡

>>text（-2.5，8，′y=9-x^2′）;%在圖中適當(dāng)位置加入文本信息，此處是加入曲線方程表達(dá)式得到圖3所示結(jié)果.

圖 3 第二步，在Figure No.1文件中的菜單欄找到Tools點(diǎn)擊其中的Edit Plot，然后用工具欄中的直線工具作出過（5，0）點(diǎn)的原曲線的切線，并找到切點(diǎn)不妨記為P，為了估計(jì)出P點(diǎn)的位置，作一條過P的垂線確定P的橫坐標(biāo)約為1.08.

第三步，計(jì)算壁虎的真實(shí)位置.我們用理論

直接分析計(jì)算為：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a， 9-a2），且切線在此點(diǎn)處的斜率為-2a，則切線方程應(yīng)為y-（9-a2）=-2a（x-a），此切線方程過點(diǎn)（5，0），從而有0-9+a2=-2a（5-a），解得a=1或 a=9（不合題意舍棄）.這樣可得壁虎的真實(shí)位置為（1，8），它的橫坐標(biāo)1與（2）中的估計(jì)值1.08接近.當(dāng)然這一過程也可根據(jù)以上理論分析利用Matlab的符號(hào)計(jì)算功能實(shí)現(xiàn)如下：

>>syms x y a%設(shè)置x，y，a為符號(hào)對(duì)象

>>eqn=′y-（9-a^2）+2*a*（x-a）′%切線方程

運(yùn)行結(jié)果：eqn=y-（9-a^2）+2*a*（x-a）

>> neweqn=subs（eqn，{x，y}，{5，0}）%切線方程過點(diǎn)（5，0）

運(yùn)行結(jié)果：neweqn=-9+a^2+2*a*（5-a）

>>solve（neweqn，a）%解方程求出橫坐標(biāo)a

運(yùn)行結(jié)果：ans=[1]

[9]

此即上面分析得到的a=1或 a=9（妨上將后者舍棄）.

>>subs（′9-x^2′，1）%求出壁虎所在位置的縱坐標(biāo)

運(yùn)行結(jié)果：ans=8從而得到壁虎的真實(shí)位置為（1，8）.

第四步，求壁虎與蚊子間的距離，用兩點(diǎn)間距離公式求解，手算或Matlab均可.

手算為：d=（1-5）2+（8-0）2=80=45

Matlab數(shù)值計(jì)算為：

>>BH=[1，8];%壁虎的位置

>>WZ=[5，0];%蚊子的位置

>>d=norm（BH-WZ，2）%壁虎與蚊子間的距離

運(yùn)行結(jié)果：d=8.9443與手算結(jié)果一致.

3.正確答案

（1）“當(dāng)壁虎爬到一定位置發(fā)現(xiàn)蚊子”在幾何上表示曲線過點(diǎn)（5，0）且在ABC弧上的切線.

（2）利用Matlab作圖估計(jì)壁虎發(fā)現(xiàn)蚊子時(shí)壁虎所在位置的橫坐標(biāo)約為1.08.

（3）壁虎的真實(shí)位置是（1，8）.

（4）此時(shí)壁虎與蚊子之間的距離為45（≈8.9443）.

五、問題延伸

1.給出壁虎的爬行速度及捕食速度，考察蚊子被捕食的時(shí)間.注意壁虎未發(fā)現(xiàn)蚊子時(shí)走曲線路徑（相當(dāng)于要求計(jì)算曲線弧長(zhǎng)），發(fā)現(xiàn)蚊子后捕食時(shí)走最短直線路徑.

2.進(jìn)一步推廣到三維空間，就設(shè)想壁虎在二維曲面上運(yùn)動(dòng)，蚊子在xOy平面上不動(dòng)，捕食過程同上，其中知識(shí)點(diǎn)將涉及求曲面的切平面，空間兩點(diǎn)間距離等.

案例二：草地面積的計(jì)算.適用教學(xué)內(nèi)容：定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，可參考同濟(jì)大學(xué)《微積分（第六版）》第六章第二節(jié).

一、問題提出

圖 4有一頭牛，被拴在一個(gè)半徑為r的圓形圍欄外﹙如圖4所示﹚.繩子的一端被固定在圍欄的A點(diǎn)，而牛能夠繞圍欄走到A點(diǎn)的對(duì)面B點(diǎn).圍欄的外部都是草地，請(qǐng)問牛至多能吃到多大一塊面積的草？【2】

二、問題應(yīng)用背景

通過研究草量與畜牧量之間的關(guān)系，建立牧場(chǎng)可持續(xù)發(fā)展方案.

三、涉及知識(shí)點(diǎn)

利用定積分求平面圖形的面積（直角坐標(biāo)情形）.

四、解題思路

本題是求曲線所圍圖形的面積問題，學(xué)生需要通過分析找到曲線所圍的圖形，利用定積分來計(jì)算面積.在解題過程中，先要利用初等平面解析幾何的知識(shí)推導(dǎo)圓的漸伸線的參數(shù)方程表示形式，再進(jìn)行計(jì)算.

圖 5五、解答過程

第1步，直觀分析曲線所圍圖形.

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)牛能吃到草的范圍是如圖5所示的陰影部分.

圖 6由題意知繩長(zhǎng)為πr，而在A點(diǎn)左邊的區(qū)域是一個(gè)半圓面.至于剩下的區(qū)域怎么求得呢？當(dāng)繩子纏住圍欄的時(shí)候，如圖6所示.牛所達(dá)到的最遠(yuǎn)處為D，其弧AC與線段CD的長(zhǎng)度之和為πr﹙繩子的長(zhǎng)度﹚，而曲線即所有這種點(diǎn)所形成的軌跡.

第2步，利用初等平面解析幾何將D點(diǎn)軌跡描述出來.

取圍欄的中心為原點(diǎn)O，令OB與OC的夾角為θ﹙如圖﹚，于是C點(diǎn)坐標(biāo)為（rcosθ，rsinθ），而CD是點(diǎn)C處圓的切線段，于是根據(jù)平面解析幾何的知識(shí)，有OC·CD=0，所以可設(shè)CD=k（sinθ，-cosθ），k>0為待定常數(shù).而CD長(zhǎng)度等于弧長(zhǎng)BC的長(zhǎng)度，于是|CD|=rθ，解得k=rθ.

圖 7所以D點(diǎn)坐標(biāo)為：

（rcosθ，rsinθ）+rθ（sinθ，-cosθ）=（r（cosθ+θsinθ），r（sinθ-θcosθ））.

于是得到D點(diǎn)軌跡參數(shù)方程為

x=r（cosθ+θsinθ），

y=r（sinθ-θcosθ）.（0≤θ≤π）（*）

這剛好是圓的漸伸線，參見《微積分》（同濟(jì)六版上冊(cè)）287頁26題

第3步，分塊計(jì)算所圍圖形的面積.

我們先計(jì)算參數(shù)方程（*）下方圖形的面積S，如圖8中陰影部分所示.

圖 8 S=∫0πr（sinθ-θcosθ）d（r（cosθ+θsinθ））

=-∫π0r（sinθ-θcosθ）·rθcosθdθ

=-r2∫π0θsinθcosθdθ-∫π0θ2（cosθ）2dθ

=-r2[12∫π0θsin（2θ）dθ-∫π0θ2（1+cos（2θ）2）dθ]

=-r212∫π0θsin（2θ）dθ-12∫π0θ2dθ-12∫π0θ2cos（2θ）dθ

=-r212∫π0θsin（2θ）dθ-16θ3π0-14∫π0θ2dsin（2θ）

=-r212∫π0θsin（2θ）dθ-16π3-14（θ2sin（2θ）π0-

2∫π0sin（2θ）dθ）

=-r2∫π0θsin（2θ）dθ-16π3

=-r2-12∫π0θd（cos（2θ））-16π3

=-r2-12（θcos（2θ）π0-∫π0cos（2θ）dθ）-16π3

=16π3r2+12π2.

于是，由圖形的對(duì)稱性可得：

牛吃草的范圍=上下兩塊S+左半圓所圍圖形面積-圍欄所圍住的面積

=216π3r2+12π2+π（πr）22-πr2

=56π3r2.

3.結(jié) 語

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是在我國(guó)大學(xué)中普遍開設(shè)的一門課程，對(duì)于它的具體實(shí)施方法，大家還沒有形成一個(gè)統(tǒng)一的模式，我們應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)各種不同模式進(jìn)行試點(diǎn)和探索.但能夠肯定的有兩點(diǎn)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)驗(yàn)課，應(yīng)當(dāng)以學(xué)生自己動(dòng)手為主，而不是只靠學(xué)生聽課和看書接受數(shù)學(xué)知識(shí);還有一點(diǎn)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是要讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)來學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是微積分教學(xué)過程中必不可少的一個(gè)實(shí)踐性環(huán)節(jié)，開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)踐課是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的進(jìn)一步深入和延續(xù)，對(duì)于推進(jìn)高等院校數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容和課程體系的改革，培養(yǎng)學(xué)生具有解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新精神，均會(huì)起到積極的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《微積分（第六版）》高等教育出版社，2007

[2]James Stewart.Calculus：Concepts and Contexts，2 edition.Brooks/Cole Publishing Company，2000.Page 505.