化曲為直，以弧為橋梁，解決圓中問題

杜美玲

【摘要】圓是一種特殊的曲線，也是學(xué)生在初中階段的學(xué)習(xí)中可求的長度（即弧長、圓周長），可進(jìn)行加減或等量轉(zhuǎn)化的一種曲線，它有別于函數(shù)圖像如雙曲線、拋物線等.圓雖然為曲線形的平面幾何圖形，但它與直線圖形卻有密不可分的聯(lián)系，初中教材在圓這一章節(jié)中主要從幾何角度研究圓這一曲線型圖形與直線型圖形的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】化曲為直；解決；圓中問題

根據(jù)把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都與原圖形重合這一幾何性質(zhì)得到定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.并且還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等.因此，在同一個(gè)圓中，只要弧、弦、圓心角三組量有一組相等就能推出其余兩組量相等.還有圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角都相等，都等于圓心角的一半.這兩個(gè)定理是初中階段圓的學(xué)習(xí)中很重要的兩個(gè)定理.這里，弧是學(xué)生接觸到的第一種可量化的曲線，它在這一定理中起到重要的橋梁作用，我們可以將圓的有關(guān)問題中相等的弦或角轉(zhuǎn)化成等弧，再由等弧推得等弦或等角，便能找到解題思路.

學(xué)生在解決圓的相關(guān)問題時(shí)，若能利用圓中曲線的特殊性，找到關(guān)鍵的弧，化曲為直，以弧為橋梁，便能有效解題.

圖 1例如：如圖1， AB是⊙O的直徑，弦 AC 為6 cm，∠ACB 的平分線交⊙O于 D，弦BD為52cm，.求AB，BC的長.

解決本題時(shí)，從角平分線入手得到相等的圓周角∠ACD=∠BCD，將等角轉(zhuǎn)化為等弧，即AD=BD，這時(shí)等弧可推得等弦AD=BD，便得到等腰直角△ABD求出AB=10.此外，也可將等弧推得等角∠BAD=∠ABD=45°得到等腰直角△ABD，解決該題.

我們將圓中的等角（圓心角或圓周角）轉(zhuǎn)化為等弧，再將等弧轉(zhuǎn)為等弦或等角（圓周角或圓心角），以弧為橋梁能夠有效解決圓中的有關(guān)問題.下面再具體分兩類舉例說明.

圖 2（一）將等弧轉(zhuǎn)化為等弦

例1 如圖2，在⊙O中，AD=CB，AB=5 cm，求CD的長.

本題學(xué)生在求解過程中傾向于利用全等證明AB=CD，如利用角角邊證明△AED≌△CEB來得到AE=EC及DE=BE，再利用等量相加得到AB=CD.但對于全等證明方法掌握不夠牢固的學(xué)生來說，他們?nèi)菀走B接BD來證明△ABD≌△CDB，得到AB=CD，這部分學(xué)生犯了用邊邊角證明三角形全等的錯(cuò)誤方法導(dǎo)致整題錯(cuò)誤.更有甚者，在連接BD后默認(rèn)其為直徑導(dǎo)致進(jìn)入解題誤區(qū).在解決這道題時(shí)，學(xué)生若能懂得在圓中處理弧的等量轉(zhuǎn)化，即：∵AD=CB，∴AD+AC=CB+AC，得到DC=AB，再利用弧弦轉(zhuǎn)化，將等弧轉(zhuǎn)化為等弦AB=CD便能繞過全等更快地得出解答.

例2 已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn).

（1）如圖3，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖4，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑.

圖 3 圖 4 圖 5

在第二問的求解中，要求⊙O的半徑，很自然地需要作直徑DE，如圖5，并構(gòu)造直徑所對的圓周角來得到直角三角形以便求出直徑.但學(xué)生在處理直角△ECD時(shí)僅僅知道DC一條邊的長度，未能求出斜邊直徑的長度，許多學(xué)生因此卡在這里無法解決該題.這時(shí)，根據(jù)已知條件AC⊥BD，再結(jié)合∠DBE=90°可以發(fā)現(xiàn)BE∥AC，從而得到相等的弧AB=EC.利用弧弦之間的轉(zhuǎn)化，將等弧轉(zhuǎn)化為等弦，即EC=AB=2，很快可用勾股定理求得直徑DE的長.

在解題時(shí)尋找起到關(guān)鍵作用的弧，將等弧轉(zhuǎn)化為等弦，是解決圓有關(guān)問題的一個(gè)有效方法，因此建議教師在圓的章節(jié)教學(xué)時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中的等弧，滲透弧弦之間的聯(lián)系，在圓中以弧為橋梁，化曲為直解決相關(guān)邊長問題.

（二）將等弧轉(zhuǎn)化為等角

除了求邊長的類型題外，圓中求角的問題也可利用弧為橋梁來解決，圓周角定理及逆定理的使用正是這一思想方法的體現(xiàn).因此，在圓中遇到求角度的問題時(shí)，若能弧相等與角相等聯(lián)系起來，抓住關(guān)鍵的弧，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的角就能很好地解決求角度的問題.下面舉例說明，利用弧為橋梁，解決圓中求角的問題.

圖 6例3 如圖6，在⊙O中，弦AC和BD相交于點(diǎn)E，AB=BC=CD，

若∠BEC=110°，則∠BDC=（ ）.

A.35° B.45°

C.55° D.70°

解決本題時(shí)可利用同弧或等弧所對的圓周角都相等這一結(jié)論標(biāo)出圖中相等的角，即∠BDC=∠CAB=∠CBD=∠ACB，再通過已知條件∠BEC=110°，在△CEB中解得∠CBD=∠ACB=35°，由此得出答案A.

圖 7例4 如圖7，AB是⊙O的直徑，C，D，E都是圓上的點(diǎn)，則∠1+∠2=.

解決本題時(shí)，∠1和∠2的度數(shù)并不好求，因此若能先找到∠1和∠2所對的弧AE和EB，發(fā)現(xiàn)兩弧之和是一個(gè)半圓，從而根據(jù)半圓所對圓周角為90°就能得到∠1+∠2=90°.圖 8圖 9

例5 如圖8，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AD=CD，若∠DAB=55°，求∠DAC的值.

解決本題時(shí)利用以弧為橋梁的思想，找到要求的∠DAC所對的CD及其相等的AD來尋求解題思路.構(gòu)造AD所對的圓周角∠ABD，如圖9，利用直徑所對的圓周角為90°，在Rt△ADB中求得∠ABD=35°，再利用等弧所對的圓周角相等得到要求的

∠DAC=35°.

此外，在構(gòu)造正多邊形時(shí)，只要將圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，也正是以弧為橋梁這一思想的重要體現(xiàn)，通過等分圓來得到各邊都相等，各角也相等的正多邊形.

教師在初中階段圓這一章節(jié)的教學(xué)中，若能注重培養(yǎng)學(xué)生對弧的認(rèn)識，讓學(xué)生看到圓中的弧，接受弧，并利用弧，以弧為橋梁帶動解題思路，熟練掌握等弧轉(zhuǎn)化為等弦，等弧轉(zhuǎn)化為等角的方法，就能使學(xué)生更好地掌握圓這一曲線圖形與直線圖形之間的聯(lián)系，解決圓中的有關(guān)問題.