陳靜

【摘要】討論了利用Mathematica軟件畫圖求極限以及單調(diào)性等，并用此軟件進(jìn)行計(jì)算.

【關(guān)鍵詞】Mathematica;高等數(shù)學(xué);畫圖;計(jì)算

高等數(shù)學(xué)是高等教育階段一門重要的基礎(chǔ)課，但由于其知識(shí)點(diǎn)多，邏輯性強(qiáng)，計(jì)算量大，抽象性高，不少同學(xué)覺得高等數(shù)學(xué)空洞、枯燥、乏味.為了增強(qiáng)同學(xué)們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，平時(shí)教學(xué)過程中結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)教學(xué)，已成為一個(gè)必然趨勢(shì).而Mathematica軟件使用簡(jiǎn)單，功能強(qiáng)大，借助它可以使課程更加形象化、生動(dòng)化.

一、借助Mathematica軟件畫圖解決問題

1.在極限中的應(yīng)用

利用極限的定義來求極限的關(guān)鍵是先要畫出函數(shù)的圖像，對(duì)于畫一些稍微復(fù)雜的函數(shù)的圖像，我們就可以借助Mathematica軟件來解決.

例1 求limx→0e1x.

解 Plot[Exp[1/x]，{x，-2，1}]

圖 1

由此圖觀察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x從0的左側(cè)趨向于0時(shí)，函數(shù)值無限接近于0，當(dāng)x從0的右側(cè)趨向于0時(shí)，函數(shù)值無限增大，所以此函數(shù)在0處的極限不存在.

例2 利用極限的定義，通過畫圖來驗(yàn)證兩個(gè)重要極限.

解 Plot[sin[x]/x，{x，-1，1}]

圖 2

由此圖可以看出，與第一個(gè)重要極限limx→0sinxx=1結(jié)論符合.

x=Table[（1+1/n）n，{n，1，50}];

ListPlot[x，PlotStyle→PointSize[0.01]]

圖 3

可以在輸入語句中，不斷改變n的個(gè)數(shù)來觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)與第二個(gè)重要極限limn→∞1+1nn=e的結(jié)論吻合.

2.通過畫圖直接判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)以及拐點(diǎn)等

對(duì)于函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，求導(dǎo)數(shù)計(jì)算量比較大的函數(shù)，利用Mathematica軟件畫圖來觀察函數(shù)的性質(zhì)就相對(duì)簡(jiǎn)單.

例3 描繪f（x）=2+3x（x+1）2的圖形，并觀察出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)以及拐點(diǎn).

解 先畫出y=f（x）及其導(dǎo)函數(shù)的圖形，觀察單調(diào)區(qū)間以及極值點(diǎn).

f[x]：=2+3x/（x+1）2;

Solve[f′[x]=0，x]

{{x→1}}

Plot[{f[x]，f′[x]}，{x，-5，5}，PlotStyle→{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，1，0]}]

圖 4

由畫出的圖像可知：此函數(shù)在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，1）上單調(diào)遞增;x=1為極大值點(diǎn).

再畫出y=f（x）及其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形，觀察其凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

f[x_]：=2+3x（x+1）^2;

g[x_]=D[f[x]，{x，2}]

18x（1+x）4-12（1+x）3

Slove[g[x]=0，x]

{{x→2}}

Plot[{f[x]，g[x]}，{x，-5，5}，PlotStyle→{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]

圖 5

此函數(shù)在（-∞，-1）和（-1，2）上是凸的，在（2，+∞）上是凹的;拐點(diǎn)是x=2.

二、利用Mathematica軟件計(jì)算，提高解題速度

1.求極限

Limit[f[x]，x->x0];

Limit[f[x]，x->x0，Direction->-1];Limit[f[x]，x->x0，Direction->1].

上述三個(gè)命令分別表示求函數(shù)在x0處的極限、左極限和右極限.

例4 求limx→∞sinxx2-π2.

解 ln[3]：=Limitsin[x]x2-π2，x→π

Out[3]=-12π

2.求導(dǎo)數(shù)

D[f[x]，x]——求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);D[f[x]，{x，n}]——求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).

例5 求y=（1+cosx）1x的導(dǎo)數(shù).

解 ln[4]：=D[（1+cos[x]）1x，x]

Out[4]=（1+cos[x]）1x-log[1-cos[x]]x2-sin[x]x（1+cos[x]）

3.求極小值

FindMinimum[f[x]，{x，x0}]——求函數(shù)在點(diǎn)x0附近的極小值.

例6 求函數(shù)f（x）=x3（6x+7）2的極小值.

解 ln[6]：=FindMinimum[x3（6x+7）2，{x，-1}]

Out[6]={-1.3906，{x→-0.7}}

即：在x=-0.7處取得極小值-1.3906.

4.求積分

Integrate[f[x]，x]——計(jì)算不定積分∫f（x）dx;

Integrate[f[x]，{x，a，b}]——計(jì)算定積分∫baf（x）dx.

例7 求解不定積分∫sin（lnx）dx.

解 ln[1]：=Integrate[sin[log[x]]，x]

Out[1]=-12xcos[log[x]]-12xsin[log[x]]

5.求微分方程

DSolve[方程，y，x]——求以x為自變量的方程的解;

DSolve[{方程1，方程2，…}，y，{x，xmin，xmax}]——求函數(shù)y的數(shù)值解，x屬于[xmin，xmax];

DSolve[{方程1，方程2，…}，{y1，y2，…}，{x，xmin，xmax}]——求多個(gè)函數(shù)yi的數(shù)值解.

例8 求微分方程y″-2y′+5y=exsin2x的通解.

解 ln[1]：=DSolve[y″[x]-2y′[x]+5y[x]==ex*sin[x]，y[x]，x]

Out[1]={{y[x]-exC[2]cos[2x]+exC[1]sin[2x]-112ex（4cos[2x]sin[x]3-3cos[x]sin[2x]+cos[3x]sin[2x]）}}

Mathematica軟件具有強(qiáng)大的計(jì)算功能，便捷的使用方法，在高等數(shù)學(xué)中使用廣泛，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中穿插Mathematica軟件的學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)，借助計(jì)算機(jī)，提高分析和計(jì)算應(yīng)用問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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