郭思聰 潘小雙

【摘要】本文從自然數(shù)分解定理出發(fā)，從集合論的角度，探究整數(shù)與其約數(shù)和倍數(shù)之間關(guān)系，發(fā)現(xiàn)整數(shù)中約數(shù)和倍數(shù)之間關(guān)系與集合運(yùn)算的結(jié)構(gòu)相似性，采用類比思想，推導(dǎo)出任意多個(gè)自然數(shù)與其最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)之間的關(guān)系式.

【關(guān)鍵詞】約數(shù);倍數(shù);集合;結(jié)構(gòu)相似性;關(guān)系式

一、問題提出

初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支.在初等數(shù)論這一研究整數(shù)的規(guī)律和性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支內(nèi)，有一部分叫作整數(shù)的整除理論，主要是探究整數(shù)中合數(shù)的約數(shù)、質(zhì)約數(shù)和倍數(shù)之間的關(guān)系.很多文獻(xiàn)對(duì)數(shù)的整除性質(zhì)及其應(yīng)用進(jìn)行了較深入的探討.眾所周知，兩個(gè)自然數(shù)的乘積與它們的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積相等.但是，對(duì)于多個(gè)合數(shù)之間的公共約數(shù)、公共倍數(shù)之間聯(lián)系此類數(shù)論問題，初看尚沒有很好的論證思路，但從集合論的角度，采用類比論證的思路，這個(gè)問題就能迎刃而解.

二、兩個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)和公倍數(shù)之間關(guān)系

探討兩個(gè)自然數(shù)之間的公約數(shù)和公倍數(shù)，最為直接的方法便是輾轉(zhuǎn)相除法，即從最小的質(zhì)數(shù)2開始，判斷這兩個(gè)自然數(shù)是否能夠同時(shí)被同一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，并同時(shí)除以該質(zhì)數(shù)得到兩個(gè)新自然數(shù)，重復(fù)上述步驟，直到最終得到的兩數(shù)互質(zhì)（即兩數(shù)除1以外不能被任何數(shù)整除），這些所有除數(shù)相乘，便能夠得到這兩個(gè)數(shù)之間的最大公約數(shù).

由算術(shù)基本定理可知，任意一個(gè)自然數(shù)n，存在n=pα11·pα22·pα33·…·pαnn（分解唯一），其中p1

不妨令：a=pα11·pα22·pα33·…·pαnn，b=p1β1·p2β2·pβ33·…·pβnn，可知a，b兩自然數(shù)的最大公約數(shù)為：

（a，b）=pmin（α1，β1）1·pmin（α2，β2）2·pmin（α3，β3）3·…·pmin（αn，βn）n.（1）

同理可得a，b兩自然數(shù)的最小公倍數(shù)：

[a，b]=pmax（α1，β1）1·pmax（α2，β2）2·pmax（α3，β3）3·…·pmax（αn，βn）n.（2）

由（1）、（2）得到：

（a，b）·[a，b]=p1min（α1，β1）+max（α1，β1）·pmin（α2，β2）+max（α2，β2）2·pmin（α3，β3）+max（α3，β3）3·…·pmin（αn，βn）+max（αn，βn）n=pα1+β11·pα22+β2·pα3+β33·…·pαn+βnn=pα11·p1β1·pα22·pβ22·pα33·pβ33·…·pαnn·pβnn=a·b.

即：（a，b）·[a，b]=a·b.（3）

從（3）式可得到結(jié)論，即兩個(gè)自然數(shù)的乘積與它們的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積相等.

三、多個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)和公倍數(shù)之間關(guān)系

再進(jìn)一步拓展，討論三個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)以及這三個(gè)自然數(shù)本身之間的關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)，鑒于考慮到三個(gè)自然數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解，各質(zhì)數(shù)之間單純地取最小、最大指數(shù)無任何規(guī)律可循，況且取極值后的乘積與三個(gè)自然數(shù)本身的乘積也無必然聯(lián)系，若采用上述論證方法，則顯得十分復(fù)雜.這時(shí)，若運(yùn)用集合論和類比的思想，發(fā)現(xiàn)整數(shù)中約數(shù)和倍數(shù)之間關(guān)系與集合并交差運(yùn)算的結(jié)構(gòu)具有高度相似性，采用集合運(yùn)算和類比的思想，三個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)以及這三個(gè)自然數(shù)本身之間的關(guān)系問題便迎刃而解.

在集合中，我們常常結(jié)合維恩（Venn）圖探究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)集合中元素的數(shù)量關(guān)系.例如，當(dāng)兩個(gè)集合A∩B≠時(shí)，則該兩個(gè)集合中的元素?cái)?shù)目關(guān)系如圖1所示.

圖1 集合A與B元素之間關(guān)系

可表示成：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B），即：

card（A∩B）+card（A∪B）=card（A）+card（B）.

亦可表示為：A∪B+A∩B=A+B.（4）

采用集合思想，看待兩個(gè)自然數(shù)及其公約數(shù)與公倍數(shù)關(guān)系，公約數(shù)即可以類比為以兩個(gè)自然數(shù)的所有約數(shù)為元素的集合的交集，最大公約數(shù)（a，b）即可類比為card（A∩B），或A∩B.公倍數(shù)則可類比為以兩個(gè)自然數(shù)的所有倍數(shù)為元素的集合的并集，最小公倍數(shù)[a，b]即可類比為card（A∪B），或A∪B，不難發(fā)現(xiàn)（3）式與（4）式的結(jié)構(gòu)具有高度相似性.

當(dāng)存在三個(gè)集合A，B，C，且A∩B∩C≠時(shí)，如圖2所示.可以直觀得知三個(gè)集合中的元素?cái)?shù)目存在的關(guān)系可表達(dá)為：

圖2 集合A、B與C元素之間關(guān)系

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）+card（B∩C）+card（A∩C）+card（A∩B∩C）.

亦可表示為：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C.（5）

同理，三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)即可以類比為以三個(gè)自然數(shù)的所有約數(shù)為元素的集合的交集，最大公約數(shù)（a，b，c），即可類比為card（A∩B∩C），或A∩B∩C.其公倍數(shù)則可類比為以三個(gè)自然數(shù)的所有倍數(shù)為元素的集合的并集，最小公倍數(shù)[a，b，c]，即可類比為card（A∪B∪C），或A∪B∪C.采用同樣類比方法，三個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)以及這三個(gè)自然數(shù)本身之間的關(guān)系便一目了然，即：

[a，b，c]=a·b·c（a，b）·（b，c）·（a，c）（a，b，c）

=a·b·c·（a，b，c）（a，b）·（b，c）·（a，c）.（6）

對(duì)于任意n個(gè)集合，其元素?cái)?shù)目關(guān)系，經(jīng)總結(jié)與歸納，可表達(dá)為：

card（∪ni=1Ai）=（-1）0·∑ni=1card（Ai）+（-1）1·∑n-1i1=1∑n i2=i1+1card（Ai1∩Ai2）+（-1）2∑n-2i1=1∑n-1 i2=i1+1∑n i3=i2+1card（Ai1∩Ai2∩Ai3）+…+（-1）n-1·card（∩ni=1Ai）.（7）

可以猜想四個(gè)、五個(gè)、六個(gè)甚至更多自然數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，以及這些自然數(shù)本身之間的關(guān)系，與（6）式表達(dá)式的結(jié)構(gòu)類似.推廣上述思路，由（7）式，我們又得到任意n個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，以及這些自然數(shù)本身之間關(guān)系為：

[a1，a2，a3，…，an]=a1·a2·a3·…·an·（a1，a2，a3）·…（a1，a2）·（a1，a3）·…·（a1，an）·（a2，a3）·…·（an-1，an）·….（8）

在（8）式中，奇數(shù)個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)總是位于分子上，偶數(shù)個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)總是位于分母上.

結(jié) 語

以集合運(yùn)算的視角，發(fā)現(xiàn)整數(shù)中約數(shù)、倍數(shù)以及整數(shù)本身之間關(guān)系，與集合并交差運(yùn)算的結(jié)構(gòu)相似性，采用類比思想，推導(dǎo)出任意多個(gè)自然數(shù)與其最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)式.

初等數(shù)論貌似簡(jiǎn)單，但真正掌握并非易事，它的內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔，方法奇巧多變，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法.善于觀察，運(yùn)用形象思維和類比思想，是解決此類數(shù)論問題的有效途徑之一.

【參考文獻(xiàn)】

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