周珊娜

【摘要】本文通過一堂課“三角函數(shù)求最值”的某教學(xué)片段，展示師生教與學(xué)的能動關(guān)系，以及教后反思.

【關(guān)鍵詞】意外生成;反思;探索

隨著新課程改革的不斷深入，課堂教學(xué)的過程已成為師生共度的歷程、體驗(yàn)，在這樣的課堂上，教學(xué)不再是由教師獨(dú)家策劃預(yù)定的劇本，倒更像是一部精彩的電影，隨著故事情節(jié)的變幻莫測而不斷高潮迭起，課堂上的“意外生成”正是使教學(xué)更給力的催化劑.如果教師能適度反思，不斷追問學(xué)生，就能大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能動性.下面就是我在“三角函數(shù)求最值”的課堂教學(xué)中的“意外生成”，進(jìn)而反思與探索的成果：

在講解完課本中三角函數(shù)式化簡求解最值的習(xí)題后，給出一道拓展思考題：求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx·cosx的最值.對該題，旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)次數(shù)不等，不能沿用“降次——化角——減名”的解題模式，并對比二次函數(shù)求最值的類型處理，也就是運(yùn)用換元法，解之，即：（換元法1）令sinx+cosx=t，則sinx·cosx=t2-12，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

y=t+t2-12=12（t+1）2-1，-2≤t≤2.

結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解得最值：

當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，ymax=122+12-1=2+12;當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-1.

一般來說，介紹此法之后，也就達(dá)到預(yù)期的目的了.況且根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，此方法是唯一的解法，且學(xué)生剛學(xué)完必修4，對于綜合性題型接觸不多，基礎(chǔ)水平普遍不是很高，本來就此結(jié)束.“難道沒有其他解法？學(xué)生有何想法？只是被動接受還是另有想法？如果能找到一種“更新”的解法，就能得到一個(gè)很好的寫作素材.”于是我試問學(xué)生，能否將函數(shù)式變?yōu)殛P(guān)于一個(gè)角的某三角函數(shù)呢？于是就有

y=sinx+cosx+sinx·cosx=2sinx+π4+12sin2x.

至此，我本以為此路不通，停留片刻，學(xué)生甲不待舉手直接大聲喊：當(dāng)x=π4時(shí)可同時(shí)取到最大值2和12.多么簡潔明快啊，真的突破了教師慣用的“換元”思維定式，令人耳目一新.

當(dāng)大家陶醉于這個(gè)漂亮的解法時(shí)，我并不罷休，繼續(xù)反思，既然直覺觀察x=π4時(shí)取得最大值，說明有內(nèi)在的必然性和合理性，絕不是偶然.這不有學(xué)生自己發(fā)問：那什么時(shí)候取得最大值呢？ymin=-2-12會成立嗎？怎么解釋？

我也追問：“你是怎么發(fā)現(xiàn)的？到底能否化為一個(gè)角的三角函數(shù)呢？”

學(xué)生乙舉手發(fā)表了想法：y=2sinx+π4+12sin2x

=2sinx+π4-12cos2x+π2

=2sinx+π4-121-2sin2x+π4.

令sinx+π4=t，則-1≤t≤1，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得：

當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，ymax=22+12-1=2+12;當(dāng)且僅當(dāng)t=-22時(shí)，ymin=-1.

這時(shí)學(xué)生甲也說出了自己的解釋：從y=2sinx+π4和y=12sin2x的圖像上觀察到它們同時(shí)取得最大值，但是最小值不能同時(shí)取得，所以ymax=2+12，ymin≠-2-12.

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和誘導(dǎo)公式的巧妙轉(zhuǎn)化，我當(dāng)場驚呆了，多么完美的解答??！顯然兩名同學(xué)的解法產(chǎn)生都是在追問之下，促使進(jìn)一步反思而產(chǎn)生的，其他同學(xué)或許有不明白，但是至少思索的興致被大大調(diào)動了.此時(shí)下課鈴聲響了，可是同學(xué)們?nèi)砸猹q未盡.我借此讓學(xué)生課后總結(jié)歸納一下三種解法的特點(diǎn)，再思考探索新的解法.

該課給了我很大的觸動，如果教師在課堂教學(xué)時(shí)保持敏銳的觀察，多提問，留時(shí)間給學(xué)生思考，如果教師也有學(xué)生一樣的求學(xué)心態(tài)，那么教學(xué)將是多么有趣的思維運(yùn)動，學(xué)生還會厭學(xué)、抵觸數(shù)學(xué)嗎？

思考不停止，探索還在繼續(xù)，不為解題，只為學(xué)習(xí)，學(xué)無止盡.