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      圖解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》之教學(xué)案例

      2015-05-30 11:50:41羅濱霖王傳美農(nóng)蔭隆黃騰
      大學(xué)教育 2015年1期
      關(guān)鍵詞:圖解法概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例

      羅濱霖 王傳美 農(nóng)蔭隆 黃騰

      [摘 要]圖解法教學(xué)方法可以將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,以便于學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為一門集實(shí)用性和趣味性于一體的大學(xué)數(shù)學(xué)類課程,其中很多知識(shí)點(diǎn)可以應(yīng)用圖解教學(xué)法。歸納《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中應(yīng)用的圖解法,對(duì)各類圖解法具體總結(jié)應(yīng)用案例,以此拋磚引玉,將圖解法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用向前推進(jìn)一步。

      [關(guān)鍵詞]圖解法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 教學(xué) 案例

      [中圖分類號(hào)] G642.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 2095-3437(2015)01-0087-02

      用圖形表示知識(shí)點(diǎn)能將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,使得學(xué)生易于理解和接受。[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是大學(xué)期間學(xué)生所學(xué)課程中應(yīng)用最廣泛、實(shí)用性最強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)課[2] [3] [4] [5],它是很多理工科的公共必修課,也是數(shù)學(xué)、信息計(jì)算、統(tǒng)計(jì)等專業(yè)的專業(yè)必修課。因?yàn)樵撜n程側(cè)重理論學(xué)習(xí),其中的很多原理或知識(shí)點(diǎn)若能通過圖形來表示,將增加該課程的趣味性、生動(dòng)性[3] [4] [5]。教學(xué)中可以應(yīng)用的圖解法大致包括:維恩示意圖、直譯示意圖、歐拉邏輯圖、提綱圖等等。基于多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),現(xiàn)將各種圖解方法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的應(yīng)用,一一展現(xiàn)如下。

      一、提綱圖一目了然

      開篇介紹概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容和研究發(fā)展,用提綱形式展示比較形象。

      圖1 ? 課程結(jié)構(gòu)與發(fā)展

      圖2 ? 隨機(jī)變量類型

      二、維恩圖示意清晰

      第一章講隨機(jī)事件及概率,其中事件的關(guān)系與運(yùn)算用維恩圖表示比較形象具體,易于學(xué)生理解。

      圖3表示兩事件的和,事件A∪B={ω│ωA或ωB}={A,B至少有一個(gè)發(fā)生}。圖4為兩事件包含關(guān)系的維恩圖。其他的還有事件的積、差運(yùn)算,以及事件互逆、互不相容等等的維恩圖表示,不再一一列舉。

      圖3 ? 兩事件的和 ? ? ? ? ? ?圖4 ? 兩事件的包含關(guān)系

      最典型的維恩圖是全概率公式的表示圖。設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件,P(Ai)>0(i=1,2,…,n),且Ai=Ω,則對(duì)于任意事件B,有P(B)=P(Ai)P(B│Ai)。其關(guān)系見圖5。

      圖5 ? 全概率公式圖解

      三、直接示意更加具體

      設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,令F(x)=P(Z≤x)(-∞

      圖6 ? 一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)示意圖

      圖7 ? 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)示意圖

      設(shè)(X,Y)是一二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,令F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},稱F(x,y)為隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。由上圖7可清楚的理解,二維分布函數(shù)是表示向XOY面投點(diǎn),所投點(diǎn)落在(x,y)點(diǎn)左下方的概率。

      圖8 ? 置信區(qū)間示意圖

      圖8為正態(tài)或t分布等對(duì)稱分布,求參數(shù)置信區(qū)間的示意圖,可以幫助學(xué)生理解置信區(qū)間的含義及做法。也適用于對(duì)稱分布的參數(shù)雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的示意,落在兩邊小區(qū)域即拒絕域。

      四、坐標(biāo)軸圖解法容易解題

      圖9 ? 離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)

      上圖9為某離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù),由分布函數(shù)的含義,可知此分段函數(shù)的跳躍度為隨機(jī)變量取間斷點(diǎn)的概率。由P{x≥1}=0.5,P{x<1}=0.3,可知P{x=1}=0.5-0.3=0.2。

      圖10 ? 連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)

      上圖10為某連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)曲線圖,由密度函數(shù)的定義及性質(zhì)可知,隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(x1,x2)的概率為

      圖11 ? 正態(tài)分布密度函數(shù)圖像

      圖11做了正態(tài)分布不同參數(shù)的密度函數(shù)曲線,可見σ越大圖形越平緩,呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征,而x=μ即圖形對(duì)稱軸,決定了圖形的位置。

      五、歐拉邏輯圖解法清楚明了

      圖12 ? 獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系圖

      由圖12可直接看出,獨(dú)立是不相關(guān)中的一種更特殊的關(guān)系。這是因?yàn)椴幌嚓P(guān)是指沒有線性關(guān)系,沒有線性關(guān)系可以有其他關(guān)系,而獨(dú)立是指全方位的沒有任何關(guān)系。

      六、結(jié)語

      概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門非常貼近生活又非常有意思的一門課,在教學(xué)中充分利用圖解法進(jìn)行講解,可以使這門課更生動(dòng)、形象、具體,更具啟發(fā)性。[5]同時(shí),這里介紹的圖解法也可以拓展應(yīng)用于其他課程的教學(xué)中,這需要教師們進(jìn)一步地研究和探索。

      [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

      [1] 李衛(wèi)國.高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的線性規(guī)劃圖解法運(yùn)用[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)2010(5):188-120.

      [2] 黃海平.基于教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的高師數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)教育特色專業(yè)主干課程_概率統(tǒng)計(jì)為例[J].大學(xué)教育,2013(6):87-89.

      [3] 楊火根.教學(xué)研究型工科院校概率統(tǒng)計(jì)課程建設(shè)的一些思考[J].大學(xué)教育,2012(11):72-74.

      [4] 沈曉婧,周介南.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程改革的創(chuàng)新機(jī)制[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011 (1):114-117.

      [5] 賀素香.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生興趣的若干方法[J].大學(xué)教育,2013(3):58-59.

      [責(zé)任編輯:林志恒]

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