對中職生數(shù)學(xué)思維縝密性的調(diào)查分析及對策研究

羅海霞

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對中職生數(shù)學(xué)思維縝密性的調(diào)查分析及對策研究

羅海霞

對中職生的數(shù)學(xué)思維縝密性現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查，包括對其數(shù)學(xué)形式把握時的縝密性、解題時的縝密性、反思時的縝密性、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式和習(xí)慣等進(jìn)行調(diào)查，嘗試從心理層面分析中職生數(shù)學(xué)思維方式的主要特點(diǎn)，并提出解決對策。

中職生；數(shù)學(xué)教學(xué)；思維縝密性；調(diào)查；對策

在基礎(chǔ)教育的教學(xué)實(shí)踐中，對提高數(shù)學(xué)思維縝密性的實(shí)踐性探究比較深入，而在職業(yè)院校特別是中等職業(yè)學(xué)校未見到專門的研究，本文擬通過對中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)思維縝密性現(xiàn)狀的調(diào)查，分析其思維特點(diǎn)，并提出相應(yīng)解決對策。

數(shù)學(xué)思維縝密性主要是指正確理解公理、定義、定理、法則，通過演繹的方法導(dǎo)出結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)陳述的形式進(jìn)行推理，且能準(zhǔn)確評價數(shù)學(xué)陳述過程的正確性。在假設(shè)——演繹結(jié)構(gòu)中，“產(chǎn)生協(xié)調(diào)與相容性的感覺，能以獨(dú)立于實(shí)際約束條件的命題形式進(jìn)行思考”。包括：(1)對形式(公理、定理、定義和法則)的準(zhǔn)確把握；(2)掌握一定的解題程序和理論驗證推導(dǎo)的形態(tài)；(3)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思時能完備對知識的理解。

一、調(diào)查背景及意義

中職生是指中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生。生源主要是初中畢業(yè)生，學(xué)制3年。

教育部對中職生的教育目標(biāo)定位包括“需要掌握必要的文化基礎(chǔ)知識和具有基本的科學(xué)文化素養(yǎng)”。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是重要的文化素養(yǎng)之一?！皵?shù)學(xué)思維縝密性”則是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心內(nèi)容。因為數(shù)學(xué)是邏輯的優(yōu)良載體，而“邏輯”的核心就是要“縝密”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要借助數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，通過對命題的4種基本形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)的真假判斷，進(jìn)行論證的方法，培養(yǎng)邏輯思維能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是為了增加中職生的知識，主要是將數(shù)學(xué)作為學(xué)習(xí)邏輯的基本途徑之一。

然而，目前中職生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不容樂觀。由于中職生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，作為具有累積性特點(diǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效益十分低下。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)許多中職生不善于運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、公理、定理、規(guī)則進(jìn)行論證，在論證過程中，常常出現(xiàn)隨意模仿、更改、刪減、添加條件，進(jìn)行非規(guī)律性的概括，未經(jīng)論證的推理，不完備的證明，不徹底、不完備的分類，以達(dá)成結(jié)論，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的隨意性，從而淪為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難生。隨著年級的升高，數(shù)學(xué)困難生逐漸增多，而經(jīng)常處于這一狀態(tài)的學(xué)生無法培養(yǎng)邏輯思維能力，形不成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育的功能得不到體現(xiàn)。因此，剖析中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的成因，對預(yù)防及矯正數(shù)學(xué)困難生有一定的現(xiàn)實(shí)意義。而形成中職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的成因很復(fù)雜，其中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維縝密性不足是核心因素之一。

本文試圖通過案例分析、問卷調(diào)查、教學(xué)觀察、個別訪談，結(jié)合相關(guān)理論，調(diào)查中職生數(shù)學(xué)思維縝密性狀況，并進(jìn)行分析，提出對策。

二、調(diào)查對象、內(nèi)容和方法

調(diào)查對象是連云港中等職業(yè)學(xué)校2010級機(jī)電(2)班、數(shù)控(1)班97名學(xué)生的數(shù)學(xué)思維縝密性情況。這兩班中考數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?4分、61分(總分150分)。這樣的成績在連云港中等職業(yè)學(xué)校已經(jīng)算是中上等的水平。調(diào)查時間為2010上9月-2013年7月共3年的跟蹤調(diào)查。

調(diào)查內(nèi)容包括數(shù)學(xué)課堂提問(出聲思考)、練習(xí)、作業(yè)、試卷(數(shù)學(xué)陳述)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、方式等。本文主要從以下4個方面進(jìn)行調(diào)查：(1)對數(shù)學(xué)形式的把握。指對公理、定理、定義和證明的掌握情況；(2)解題。指學(xué)生掌握的解題程序和理論驗證的形態(tài)；(3)反思。指學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思情況；(4)中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、習(xí)慣等。

調(diào)查方法主要采用觀察法、訪談法、問卷調(diào)查法、文獻(xiàn)研究法。觀察法，就是觀察中職生在回答問題時的出聲思考過程、做練習(xí)時的書寫過程、做作業(yè)的情況；訪談法，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的思維困惑進(jìn)行訪談；問卷調(diào)查法，調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方式等；文獻(xiàn)研究法，通過文獻(xiàn)研究，分析影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維縝密性的心理原因。

三、調(diào)查結(jié)果及分析

(一)對數(shù)學(xué)形式把握的縝密性情況

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，60%及以上的中職生對較為直觀的公理、概念、法則理解程度較高，如空間圖形的認(rèn)識和變換，立體幾何中的公理“在同一平面內(nèi)，不共線三點(diǎn)確定一個平面”，解析幾何中的向量坐標(biāo)加、減運(yùn)算。對于累積性知識需求不高的知識掌握的水平較高，如邏輯變量的基本運(yùn)算、編制工作計劃。

88%的中職生對較為抽象的概念的完整理解不夠，如對數(shù)集中通過映射定義的函數(shù)概念理解程度很低。學(xué)生往往不理解為什么要定義“在原象集合中的每一個元素，在象集中只有唯一一個元素與之對應(yīng)；同時象集中的每一個元素，在原象集中都有原象”。學(xué)生在判斷：“從數(shù)集Z到數(shù)集R，對應(yīng)法則f取絕對值”是不是集合時，學(xué)生往往忽略象集中的每一個元素是否有原象，而認(rèn)為這是集合，表現(xiàn)出影響數(shù)學(xué)思維縝密性的完備性不足。

中職生對定理、公式的理解不夠準(zhǔn)確，表現(xiàn)出影響數(shù)學(xué)思維縝密性的準(zhǔn)確度不高。如學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)以下錯誤。

案例1：(a+b)2=a2+b2,23%的中職生對完全平方公式理解不準(zhǔn)確。

案例3：sin(A+B)=sinA+sinB,81%的中職生對兩角和的正弦公式完全是想當(dāng)然。

中職生對公式、定理、運(yùn)算法則的理解是不準(zhǔn)確的，記憶是模糊的，甚至是想當(dāng)然的。

94%的中職生對于需要累積性知識支撐的內(nèi)容理解程度很低，表現(xiàn)出影響數(shù)學(xué)思維縝密性的思維深刻性不夠。如解一元二次不等式，需要一元二次方程和一元二次函數(shù)的圖像作為基礎(chǔ)，中職生的掌握程度較低。中職生不能理解一元二次方程的解和一元二次不等式的解之間的關(guān)系，以及一元二次不等式與一元二次函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系。

86%的中職生對數(shù)學(xué)概念的直覺理解往往存在較大的偏差。這也是影響數(shù)學(xué)思維縝密性的因素之一。如認(rèn)為集合中的元素必須要有明確的共性，不接受空集。對極限概念中的“趨向”，學(xué)生往往有以下的理解：接近于(最終離開它)、接近于(不必達(dá)到它)、接近于(恰好達(dá)到它)、類似于(差不多就是它)。這樣學(xué)生往往不認(rèn)為數(shù)列1、1、1收斂于極限1。

(二)解題時的縝密性情況

85%的中職生對所有的數(shù)字加減運(yùn)算掌握程度較高，如向量的坐標(biāo)運(yùn)算。而中職生對乘、除、乘方、開方運(yùn)算掌握程度較差。

中職生在推理過程中的隨意性較大，呈現(xiàn)出思維縝密性方面最大的障礙。

案例6：教師講解了“用向量法證明，平行四邊形兩條對角線的平方和等于平行四邊形四邊平方和”后，布置學(xué)生做“用向量法證明，矩形的兩條對角線相等”。被試兩個班級中75%的中職生錯解如下：

案例7：已知x>1，求證X3-(X2-X+1)>0

本案例在被試班級中有62%的“中職生”錯解如下：

證明：∵X3-(x2-x+1)

=X3-X2-X-1

=x2(x-1)-(x-1)

=(x-1)(X2-1)

=(x-1)2(x+1)

∵x>1

∴(x-1)2(x+1)>0

即x3-(x2-x+1)>0

為了達(dá)成結(jié)論，隨意改變正負(fù)號，X3-X2-X-1 =x2(x-1)-(x-1)

表現(xiàn)出推理過程中較大的隨意性，使得數(shù)學(xué)思維縝密性缺失。

(三)對數(shù)學(xué)問題反思時的縝密性情況

所謂反思，就是對已經(jīng)進(jìn)行過的行為、結(jié)果的再思考、再認(rèn)識。反思的深刻性，決定了思維縝密性程度。中職生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中往往表現(xiàn)出反思時不深入、不徹底，不能觸及問題的核心和關(guān)鍵。

被試班級56%的中職生錯解如下：

=30°

(四)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和方式的調(diào)查

調(diào)查內(nèi)容涉及影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維的可能因素。調(diào)查步驟：(1)準(zhǔn)備階段：編制調(diào)查表，收集典型案例；(2)統(tǒng)計分析調(diào)查結(jié)果(見表1)。

表1 調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計

調(diào)查表明，中職生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，普遍表現(xiàn)出放任的態(tài)度和不求甚解的習(xí)慣，特別是對數(shù)學(xué)的推理過程缺少應(yīng)有的熱情。

四、影響中職生數(shù)學(xué)思維縝密性的原因分析及解決對策

(一)空間認(rèn)知能力的障礙

這種障礙可以導(dǎo)致去括號時變號操作出錯。變號中包括運(yùn)動功能(憑借軀體去把握)與言語功能(讀數(shù))的作用，筆算還要求有空間認(rèn)知能力。案例7，是中職生在筆算中易犯的初級演算技能的錯誤。錯解x3-(x2-x+1)=X3-x2-x-1 去括號時“變號”的邏輯不明白，所以往往把括號內(nèi)第二項及其它中間項的符號變錯。這類問題多涉及空間認(rèn)知問題。這種障礙的產(chǎn)生主要源于大部分中職生“視覺的信息處理能力的失?！彼拢斑@不是看不見或視力弱的末梢感官問題，而是不能理解其間的關(guān)系和賦予的意義”，[1]有些中職生存在認(rèn)知發(fā)展的滯后，這就是腦功能本身的問題。需要幫助學(xué)生分析錯誤的原因，并彌補(bǔ)正確的運(yùn)算規(guī)則，再進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的理解和把握。

(二)抽象思維能力薄弱

中職生對于概念理解及邏輯操作這樣的抽象思維能力表現(xiàn)得很薄弱。案例2表明，學(xué)生不懂得求差法的關(guān)鍵在于對差的判別，而不僅僅是模仿格式，從而導(dǎo)致這類錯誤。其缺乏對“求差”意義的抽象思維能力，導(dǎo)致解題過程缺少邏輯性。這與關(guān)系理解(“求差法”與證明不等式)和共同要素(“求差法”的關(guān)鍵是判別差)的抽象能力的缺陷有關(guān)?！皩W(xué)業(yè)不良的人很少自覺地對記憶內(nèi)容進(jìn)行語言式編碼并符號化，因此無法長時記憶，使得抽象思維的基礎(chǔ)不在，給學(xué)習(xí)能力的形成帶來巨大的障礙”。[2]56%的中職生“遇到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙就放棄”。解決的方法就是教給他們分析與綜合信息的方法。如加強(qiáng)審題方法的指導(dǎo)，使學(xué)生明確要解決的問題與已學(xué)內(nèi)容的關(guān)系。教學(xué)過程中，教師要挑選典型例題幫助學(xué)生學(xué)習(xí)一般的、原則性的解題方法，讓學(xué)生通過少量的習(xí)題訓(xùn)練后弄清某種解題方法的原則。這樣學(xué)生在解答同一類型的問題時就不會感到困難。

(三)假設(shè)驗證推理能力薄弱

(四)數(shù)學(xué)推理的形式側(cè)面、算法側(cè)面、直覺側(cè)面不能協(xié)調(diào)發(fā)展

數(shù)學(xué)思維的縝密性研究很復(fù)雜。根據(jù)調(diào)查，幾乎所有中職生在數(shù)學(xué)思維縝密性方面存在不足，表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)形式把握的準(zhǔn)確性不高、完備性不夠，解題過程中推理的隨意性較大，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思的深刻性不足，不能形成運(yùn)用高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數(shù)學(xué)關(guān)系的能力。如搞不清簡單的運(yùn)算概念，分不清去括號、抽取公因數(shù)等基本的初等操作技能，理解不了如“求差法”證明不等式的方法、技巧的內(nèi)涵，證明時對形式化、符號化了的邏輯用語的理解尤為困難。中職生表現(xiàn)出不定型、不穩(wěn)定的特殊數(shù)學(xué)思維樣式。教學(xué)過程中，教師要根據(jù)這些特點(diǎn)，通過精講、精練，多組織趣味性較強(qiáng)的教學(xué)活動，采取小步推進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的策略，及時做好個別指導(dǎo)，以逐步提高中職生的數(shù)學(xué)思維縝密性。

[1]鐘啟泉.差生心理與教育[M].上海：上海教育出版社，1994.

[2]ROLF Biwhler.數(shù)學(xué)教學(xué)理論是一門科學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1998.

[3]丁爾升, 唐復(fù)蘇.中學(xué)數(shù)學(xué)課程導(dǎo)論[M].上海：上海教育出版社，1999.

[4]馮躍峰.推理是數(shù)學(xué)思維的核心[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1996(4)：24-26.

[責(zé)任編輯 陳國平]

羅海霞，女，江蘇省連云港中等專業(yè)學(xué)校高級教師，教育碩士，主要研究方向為數(shù)學(xué)教育。

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