漸進(jìn)獨(dú)立重尾索賠下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的精細(xì)大偏差

喬克林，張 娟，劉瓊瓊

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

漸進(jìn)獨(dú)立重尾索賠下延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的精細(xì)大偏差

喬克林，張 娟，劉瓊瓊

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

1 引言及相關(guān)模型

服從重尾分布的精細(xì)大偏差是金融保險(xiǎn)行業(yè)中一個(gè)重點(diǎn)研究的課題，它主要應(yīng)用于研究極端事件導(dǎo)致大索賠情形下的金融保險(xiǎn)問題。該課題的研究有利于保險(xiǎn)公司可以做出更好的決策，降低發(fā)生經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的可能性。因而，有關(guān)大偏差問題的研究就顯得很重要。

延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型如下：

t≥0。

(1.1)

其中u>0表示保險(xiǎn)公司的初始資本，c>0為保費(fèi)率；{N(t),t≥0}是主索賠過程，N(t)=sup{i:Ti≤t}，t≥0。N(t)表示到時(shí)刻t為止主索賠發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)t→∞，有λ(t)=EN(t)→∞；主索賠額{Xi,i≥1}是非負(fù)同分布于X，分布函數(shù)為F，均值為μ1<∞。延遲索賠額{Yi,i≥1}是非負(fù)同分布與Y，分布函數(shù)為G，均值為μ2<∞。延遲索賠間隔Wi，i=1，2，…，獨(dú)立同分布于W；序列{Xi，i≥1}，{Yi，i≥1}，{N(t)，t≥0}，{Wi，i=1,2,…}是兩兩相互獨(dú)立的。

2 預(yù)備知識(shí)

若非負(fù)隨機(jī)變量X不存在任何指數(shù)階矩，即對(duì)于任意的t>0都有EetX=∞，則稱它或相應(yīng)的分布F為重尾分布。下面介紹幾個(gè)重要的重尾分布族。

以上幾種重尾分布族的包含關(guān)系[10]：

下面介紹幾種隨機(jī)變量之間的相依結(jié)構(gòu)。

定義2.2[7，8]稱隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}漸進(jìn)獨(dú)立，若對(duì)于任意i≠j≥1，有

定義2.3[11]稱隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}廣義負(fù)相依(ExtendedNegativelyDependent)，若存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于每個(gè)n=1，2，…和所有x1，x2，…，xn，有

(2.1)

(2.2)

成立。其中(2.1)式稱為下象限廣義負(fù)相依(LowerExtendedNegativelyDependent)，(2.2)式稱為上象限廣義負(fù)相依(UpperExtendedNegativelyDependent)。

特別地，當(dāng)M=1時(shí)上述的廣義負(fù)相依變成了相應(yīng)的負(fù)相依。

定義2.4[8]稱隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}負(fù)回歸相依(NegativelyRegressionDependent)，若存在一個(gè)正數(shù)x0和c，使得

對(duì)于所有1≤i≤n，J?{1，2，…，n}{i}，xi>x0，xj>x0withj∈J都成立。

幾種相依結(jié)構(gòu)的相互關(guān)系[12]：對(duì)非負(fù)隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}，漸進(jìn)獨(dú)立包含了上象限廣義負(fù)相依、廣義負(fù)相依、負(fù)相依和負(fù)回歸相依。

定義2.5[13]令

以下記

Hi=Xi+YiI(Ti+Wi≤t)，

P(I(Ti+wi≤t)=1)=β(t)。

為了證明定理，我們給出在模型(1.1)下的兩個(gè)引理。

引理2.4 對(duì)于隨機(jī)變量序列(Zi=YiI(Ti+Wi≤t)，

i≥1}(設(shè)其共同的分布函數(shù)為E(x))，有

(2)若{Yi，i≥1}漸進(jìn)獨(dú)立，則{Zi，i≥1}也是漸進(jìn)獨(dú)立。

證明 (1)因?yàn)?/p>

(2)由{Zi=YiI(Ti+Wi≤t)，i≥1}的非負(fù)性，對(duì)于所有i≠j≥1和充分大的xi和xj，我們有

從而得證{Zi,i≥1}是漸進(jìn)獨(dú)立。

證明 由{Hi=Xi+Zi，i≥1}的非負(fù)性，對(duì)于所有i≠j≥1和充分大的xi和xj，我們有

3 主要結(jié)論及其證明

(3.1)

證明 為證(3.1)式，只需證

(3.2)

(3.3)

成立。

(3.2)式的證明：對(duì)任意γ>0，有

P(Sn-ESn>x)

=I1-I2。

接下來估計(jì)I5。

其中倒數(shù)第二步見文獻(xiàn)[8]中引理4.2的證明。

=0，

由上可得，當(dāng)n→∞時(shí)，對(duì)x≥γn一致地有(3.3)式成立。綜上，定理3.1證畢。

(3.4)

證明 對(duì)任意0<δ<1，有

P(S(t)-ES(t)>x)

·P(Sn-ES(t)>x)P(N(t)=n)

P(N(t)=n)

=J1。

利用定理3.1的結(jié)論，對(duì)任意給定的常數(shù)γ>0，當(dāng)x≥γλ(t)時(shí)，一致地有

P(N(t)=n)

(μ1+β(t)μ2)δλ(t))P(N(t)=n)

(1-δ)λ(t))，

其中a=δ(μ1+β(t)μ2)/γ。當(dāng)δ→0時(shí)，

同理可得

從而

觀察上式，我們可以發(fā)現(xiàn)x(1-a)>0，即

δ<γ/μ1+β(t)μ2。

又因0<δ<1，則0<δ<γ/μ1+β(t)μ2。

綜上所述，定理3.2證畢。

上述結(jié)論分別是定理3.1和3.2的兩個(gè)推論。因?yàn)樯舷笙迯V義負(fù)相依可推出漸進(jìn)獨(dú)立。又因?yàn)樯舷笙迯V義負(fù)相依、廣義負(fù)相依、負(fù)相依和負(fù)回歸相依都可看作漸進(jìn)獨(dú)立的特殊情況，所以把推論中的上象限廣義負(fù)相依條件換成廣義負(fù)相依、負(fù)相依和負(fù)回歸相依中的任何一個(gè)，結(jié)論仍然成立。當(dāng)換成是負(fù)相依時(shí)，推論就為文獻(xiàn)[16]中的定理3.1.1和3.1.2。

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[責(zé)任編輯 畢 偉]

Precise Large Deviations for Delayed-Claims Risk Model under Asymptotically Independent and Heavy-tailed Claims

QIAO Ke-lin,ZHANG JUAN,LIU Qiong-qiong

(college of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

2015-09-20

陜西省教育廳自然科學(xué)基金(2013JK0576)；陜西省高水平大學(xué)建設(shè)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2012SXTS07)；延安市科研計(jì)劃項(xiàng)目(2014ZC-6)

喬克林(1964—)，男，陜西佳縣人，延安大學(xué)副教授。

O211.9

A

1004-602X(2015)04-0008-05