張 智，姜秋喜，孫志勇

（電子工程學院，合肥 230037）

基于改進平方根UKF雙向濾波的單站無源定位算法

張 智，姜秋喜，孫志勇

（電子工程學院，合肥 230037）

針對單站無源定位可觀測性弱、觀測噪聲大而導致的定位精度低、穩(wěn)定性差和收斂速度慢等問題，在結(jié)合平方根無跡卡爾曼濾波（Square-Root Unscented Kalman Filter,SRUKF）以及后向平滑思想的基礎(chǔ)上，提出了一種改進SRUKF的雙向濾波算法。該算法采用Q-R分解的形式，使用誤差協(xié)方差的平方根代替協(xié)方差參與遞推運算，提高了算法的穩(wěn)定性與運算效率。同時，該算法對狀態(tài)向量進行擴維，將過程噪聲與觀測噪聲通過非線性系統(tǒng)傳播，降低了噪聲對濾波精度的影響，并利用當前時刻濾波結(jié)果通過Rauch-Tung-Striebel（RTS）后向平滑得到再次前向濾波更高精度的起始值，提高了算法的定位精度與收斂速度。仿真結(jié)果表明，新算法在保證實時性的基礎(chǔ)上改善了單站無源定位的性能。

單站無源定位，平方根無跡卡爾曼濾波，后向平滑，Q-R分解，擴維

0 引言

單站無源定位系統(tǒng)僅采用一個觀測平臺對目標輻射源進行跟蹤定位，且本身不向外輻射電磁波，具有系統(tǒng)相對獨立、設(shè)備簡單、隱蔽性強、機動性好以及作用距離遠等優(yōu)點，是當前無源定位領(lǐng)域的研究熱點。

從本質(zhì)上來講，單站無源定位就是一個典型的非線性濾波問題。因此，尋找一種定位精度高、收斂速度快和穩(wěn)定性好的濾波算法是需要研究解決的一個核心問題［1］。擴展卡爾曼濾波（Extend Kalman Filter，EKF）及其衍生算法的核心是通過對非線性方程進行泰勒級數(shù)展開，并作一階近似來實現(xiàn)線性化，其不但需要計算復(fù)雜的雅克比矩陣，而且近似線性化帶來的誤差會導致濾波結(jié)果不穩(wěn)定甚至發(fā)散。無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）［2-5］通過選取確定的加權(quán)采樣點來逼近隨機變量的概率分布，其不僅避免了雅克比矩陣的計算，還使精度至少達到二階，優(yōu)于EKF及其衍生算法。

但在單站無源定位的實際應(yīng)用中，由于可觀測性弱、觀測噪聲大以及數(shù)值計算舍入誤差等因素影響，容易造成定位精度低、收斂速度慢和濾波性能不穩(wěn)定甚至不能工作等問題。針對這些問題，本文在文獻［6-7］的啟發(fā)下，提出一種改進SRUKF的雙向濾波算法。該算法對狀態(tài)向量進行擴維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，并利用k時刻的濾波結(jié)果通過Rauch-Tung-Striebel（RTS）后向平滑［8-9］得到k-1時刻的狀態(tài)預(yù)測值，其后將其作為初始值再對k時刻的狀態(tài)進行前向濾波。由于利用了當前k時刻的觀測值信息，經(jīng)過后向平滑能夠得到k-1時刻更加精確的狀態(tài)預(yù)測值，以此作為初始條件再次進行前向濾波就能得到當前k時刻更加準確的估計值，提高了算法的定位精度與收斂速度。同時，采用Q-R分解的形式，并使用誤差協(xié)方差的平方根進行運算，提高了求逆運算的效率，保證了誤差協(xié)方差的正定性，特別是避免了協(xié)方差矩陣在后向平滑中兩正定矩陣相減后失去正定性，從而提高了新算法的穩(wěn)定性與運算效率。仿真結(jié)果表明，新算法在保證實時性的前提下，提高了單站無源定位的定位精度、收斂速度和數(shù)值穩(wěn)定性。

1 單站無源定位模型

圖1 觀測站與目標的位置關(guān)系示意圖

其中，fT為目標輻射源的載頻，c為電磁波的傳播速度，dx與dy分別為觀測站內(nèi)相互正交干涉儀的基線長度。

2 改進SRUKF雙向濾波算法

2.1 基于Q-R分解的擴維SRUKF算法

基于Q-R分解的擴維SRUKF算法［7］采用誤差協(xié)方差矩陣的平方根代替協(xié)方差矩陣進行遞推運算，能夠提高濾波算法的運行效率和數(shù)值穩(wěn)定性。同時，該算法對狀態(tài)變量進行擴維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，能夠改善濾波算法的精度。其具體流程如下：

式中，xa=［xTwTvT］T，N=dx+dw+dv，dx為狀態(tài)向量的維數(shù)，dw和dv分別為狀態(tài)噪聲與觀測噪聲向量的維數(shù)，λ=α2（N-κ）-N為尺度因子，α控制采樣點的分散程度，通常設(shè)置為一較小的正數(shù)（10-4≤α≤1），κ是輔助尺度因子，β在高斯噪聲條件下取2最優(yōu)，chol表示Cholesky分解。

（2）確定采樣點

（3）時間更新

（4）量測更新

①計算矩陣T11、T21以及T22：

②計算卡爾曼濾波增益：

其中，符號表示右除。

③計算狀態(tài)估計值：

④計算狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣的平方根：

2.2 基于Q-R分解的RTS后向平滑

RTS后向平滑由于求取協(xié)方差矩陣時涉及兩正定矩陣相減，有可能破壞協(xié)方差矩陣的正定性和對稱性。故本文采用基于Q-R分解的后向平滑算法［7］，使用協(xié)方差矩陣的平方根進行遞推運算，避免了兩正定矩陣的相減，提高了數(shù)值穩(wěn)定性以及求逆運算的計算效率。該算法的具體流程如下：

（1）計算矩陣U11、U21以及U22：

（2）計算平滑增益：

（3）計算平滑預(yù)測值：

（4）計算狀態(tài)預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的平方根：

2.3 第2次前向濾波

2.4 改進SRUKF雙向濾波算法的流程

本文提出的改進SRUKF的雙向濾波算法的實現(xiàn)流程如圖2所示，其中①、②、③表示算法的運算順序，其執(zhí)行過程具體為：

圖2 改進SRUKF雙向濾波算法流程示意圖

本算法采用Q-R分解的形式，并使用誤差協(xié)方差的平方根進行遞推運算，提高了新算法的穩(wěn)定性與運算效率。同時，其對狀態(tài)變量進行擴維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，并利用k時刻的濾波結(jié)果通過后向平滑獲得k-1時刻更加精確的狀態(tài)預(yù)測值，以此作為初始條件再次進行前向濾波就能得到當前k時刻更加準確的估計值，從而提高了算法的定位精度與收斂速度。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

假設(shè)在三維直角坐標系中，觀測站固定于原點，目標輻射源的初始位置為（170，130，8）km，速度為（-240，120，0）m/s。為了驗證本文算法（簡稱ISRUKFS）的性能，在不同的觀測精度下將其同SRUKF以及文獻［6］所提出的SRURTS算法的性能進行對比，其中各組參數(shù)觀測精度如下：

在仿真實驗中，觀測周期T=1 s，觀測次數(shù)N=100，系統(tǒng)誤差為wxk=wyk=wzk=1 m/s2，輻射源信號的載頻fT=10 GHz，觀測站中相互正交干涉儀的基線長度分別為dx=10 m，dy=5 m。濾波器的參數(shù)選擇為：α=0.001，β=2，κ=0。采用相對距離誤差（Relative Range Error，RRE）作為評價標準，每一組做100次Monte Carlo實驗，在定位結(jié)束時刻RRE＜15%，則視作本次實驗收斂，否則視為發(fā)散。定位精度為跟蹤結(jié)束時刻RRE的平均值，如表1以及圖3～圖5所示（剔除了不收斂的實驗結(jié)果）。

表1 不同算法的性能比較

圖3 觀測精度1時，各算法的相對位置誤差曲線

圖4 觀測精度2時，各算法的相對位置誤差曲線

圖5 觀測精度3時，各算法的相對位置誤差曲線

從表1、圖3～圖5可以看出，在高精度觀測時，各算法都能很快收斂，且定位精度都比較高，但隨著觀測精度的降低，各算法的定位精度開始下降，收斂速度變慢，且濾波發(fā)散的次數(shù)開始增多。相比之下，ISRUKFS的性能最好，其他依次為SRURTS以及SRUKF，且在低觀測精度時各算法的性能差別更明顯。由圖5可以看出，當觀測精度低時，由于SRURTS采用RTS后向平滑為二次前向濾波提供了更為精確的初始值，故無論是定位精度還是收斂速度都優(yōu)于SRUKF。而ISRUKFS在雙向濾波的過程中，將過程噪聲與觀測噪聲都擴展進狀態(tài)變量，降低了噪聲對濾波性能的不良影響，提高了定位的精度以及收斂速度。

從表1可以看出，當觀測精度降低時，雖然SRURTS采用了平方根濾波，但由于在后向平滑過程中兩正定矩陣相減容易失去正定性與對稱性，造成濾波結(jié)果發(fā)散甚至無法運行。而ISRUKFS采用Q-R分解的形式，避免了正定矩陣相減的運算，故穩(wěn)定性優(yōu)于其他兩種算法。

在Intel酷睿雙核，CPU主頻2.6 GHz，內(nèi)存2 GB的計算機使用Matlab7.10運行各算法，分別得到單次運行時間如表1所示，可見由于SRURTS與SRUKF相比，增加了后向平滑和二次前向濾波，計算量是后者的2倍多。ISRUKFS雖然采用了Q-R分解的形式，提高了運算效率，但擴維處理增加了一定的計算量，所以該算法單次運行時間最長。然而，在保證實時性的前提下，這種增加少量計算量來換取定位精度、收斂速度以及穩(wěn)定性的較大改善是值得的。

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進SRUKF雙向濾波算法并應(yīng)用于單站無源定位領(lǐng)域。該算法采用Q-R分解的形式，使用誤差協(xié)方差的平方根進行遞推運算，同時其對狀態(tài)變量進行擴維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，并通過后向平滑為二次前向濾波提供更為精確的初始值。仿真實驗表明，該算法在滿足實時性要求的基礎(chǔ)上，提高了單站無源定位的精度、收斂速度以及穩(wěn)定性。當對定位精度要求較高但觀測精度較低時，在保證實時性的前提下，以增加計算量來換取定位性能的改善是可行的。因此，本文提出的算法對單站無源定位系統(tǒng)的研究具有一定的工程應(yīng)用價值，同時也適用于其他非線性濾波領(lǐng)域。

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Forward-Backward Filter Based on Improved Square Root UKF for Single Observer Passive Location

ZHANG Zhi，JIANG Qiu-xi，SUN Zhi-yong
（Electronic Engineering Institute，Anhui，Hefei 230037，China）

Because of the low observability and the high noise in single observer passive location，the performance of the positioning accuracy，stability and convergence velocity is poor.Based on the Square-Root Unscented Kalman Filter（SRUKF）and the backward smoothing method，a forwardbackward filter based on improved SRUKF is presented.To improve the stability and the calculate efficiency of the algorithm，the Q-R decomposition is adopted，and the covariance square-root matrix is used instead of the covariance matrix.Meanwhile，the state vector is augmented.The process noise and measurement noise are propagated through the nonlinearity system.The negative influence of noise on the filtering accuracy is decreased.The more accurate initial value for the next filtering process was obtain by the use of the current filtering results，based on the Rauch-Tung-Striebel（RTS）backward smoothing method.The positioning accuracy and the convergence velocity is improved.Simulation results indicated that the novel algorithm improved the single observer passive location performance while keeping the real-time characteristic.

single observer passive location，square root unscented kalman filter，backward smoothing，Q-R decomposition，augmented

TP958.97

A

1002-0640（2015）03-0116-05

2014-01-21

2014-03-25

張 智（1985- ），男，福建建陽人，博士研究生。研究方向：無源定位、雷達與雷達對抗信息處理。