余 婷，李明晶，趙九龍，馬 瑜，李 爽

(1.寧夏大學(xué) 研究生院，寧夏 銀川 750021；2.長(zhǎng)春大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；3.上海交通大學(xué) 圖像處理與模式識(shí)別研究所，上海 200240)

自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)算法

余 婷1，李明晶2，趙九龍1，馬 瑜1，李 爽3

(1.寧夏大學(xué) 研究生院，寧夏 銀川 750021；2.長(zhǎng)春大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022；3.上海交通大學(xué) 圖像處理與模式識(shí)別研究所，上海 200240)

針對(duì)三維數(shù)字圖像在重構(gòu)預(yù)處理階段分辨率不高、模糊等影響重構(gòu)精度的問題，提出了基于自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分的增強(qiáng)算法。在將二維分?jǐn)?shù)階微分推廣應(yīng)用至三維的基礎(chǔ)上，嘗試性地基于圖像自身梯度信息和相鄰體素間梯度變化構(gòu)造了自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)，并給出了三維離散濾波模板。利用三維切片圖像自身梯度信息解決了不同屬性圖像及不同圖像區(qū)域最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)不同的問題，提高了實(shí)時(shí)處理效率。將自適應(yīng)增強(qiáng)算法應(yīng)用至三維邊緣曲面追蹤算法，可以重構(gòu)出精度更高的三維數(shù)字圖像。

三維分?jǐn)?shù)階微分；自適應(yīng)增強(qiáng)；梯度；重構(gòu)；邊緣曲面追蹤

三維數(shù)字圖像相比于二維數(shù)字圖像有更大的參考和利用價(jià)值，因此三維數(shù)字圖像處理近年來得到了廣泛的研究。三維數(shù)字圖像的成像方式多為利用計(jì)算機(jī)斷層掃描(Computerized Tomography， CT)和核磁共振(Nuclear Magnetic Resonance， NMR)等手段獲取多組二維切片圖像，利用科學(xué)可視化[1-2]方法對(duì)多組二維切片圖像構(gòu)成的三維切片進(jìn)行三維重構(gòu)。在重構(gòu)與處理階段，有必要對(duì)模糊不清或分辨率不高的切片圖像進(jìn)行增強(qiáng)預(yù)處理操作，以突顯人們更感興趣的區(qū)域或細(xì)節(jié)信息。

分?jǐn)?shù)階微積分理論已經(jīng)有很長(zhǎng)的歷史，周激流、蒲亦非等將分?jǐn)?shù)階微積分引入圖像處理領(lǐng)域，近年來有較多科研成果出現(xiàn)[3-5]。近年來分?jǐn)?shù)階微積分在圖像處理中的應(yīng)用越來越廣泛。由于分?jǐn)?shù)階微分可以在增強(qiáng)高頻信號(hào)的同時(shí)，極大地非線性保留中低頻信號(hào)，所以相比于整數(shù)階微分，分?jǐn)?shù)階微分可以增強(qiáng)圖像高頻細(xì)節(jié)的同時(shí)，可以很好地保留中低頻的紋理和灰度變化不大的區(qū)域。多數(shù)分?jǐn)?shù)階微積分的算法在圖像處理當(dāng)中多應(yīng)用于二維數(shù)字圖像，本文在將分?jǐn)?shù)階微分推廣至三維圖像(信號(hào))的基礎(chǔ)上，繼續(xù)改進(jìn)算法，提出基于三維圖像局部梯度和相鄰體素梯度變化的自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明提出的算法可以取得較好三維增強(qiáng)效果。

1 分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)作用分析

(1)

(2)

圖1 分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)的作用曲線

由圖1可以看出，在高頻或超高頻部分即信號(hào)頻率ω?1 時(shí)，整數(shù)階微分和分?jǐn)?shù)階微分對(duì)高頻信號(hào)都有提升作用，且整數(shù)階微分的提升效果更強(qiáng)；在信號(hào)低頻部分即信號(hào)頻率ω?1時(shí)，整數(shù)階微分和分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)低頻部分都有削弱作用，且整數(shù)階微分削弱幅度更大，如二階的整數(shù)階微分的信號(hào)幅值已經(jīng)趨近于0，而分?jǐn)?shù)階微分仍能一定程度地保留原有信號(hào)；在信號(hào)中頻部分即頻率接近于1時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分作用后的信號(hào)更接近原信號(hào)幅值。由以上分析可以得知，相比于整數(shù)階微分，分?jǐn)?shù)階微分在可以提升信號(hào)高頻成分的同時(shí)較好地保留信號(hào)中低頻成分，而且可以更大程度地保留信號(hào)低頻和甚低頻部分，而在數(shù)字圖像增強(qiáng)處理中，高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)需要增強(qiáng)的邊緣信息，中高頻信號(hào)可以看作紋理細(xì)節(jié)信息，低頻信號(hào)可以看作原圖像中灰度改變程度不大的平滑區(qū)域。進(jìn)而在用分?jǐn)?shù)階微分時(shí)可以在增強(qiáng)圖像邊緣等高頻信息的同時(shí)，最大程度地對(duì)原平滑部分做保留。

2 三維分?jǐn)?shù)階微分定義及模板

基于Grümwald-Letnikov定義的二維分?jǐn)?shù)階微分的后向差分表達(dá)式如下[4-5,7-8]

(3)

(4)

與一維分?jǐn)?shù)階微分算子擴(kuò)展到二維相似，二維分?jǐn)?shù)階微分算子在考慮三維空間信息的情況下，基于離散傅里葉變換的可分離性，也可擴(kuò)展到三維。根據(jù)式(3)和式(4)，以各坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)槔傻玫饺S函數(shù)f(x,y,z)連續(xù)分?jǐn)?shù)階微分算子

(5)

(6)

(7)

首先給出大小為5×5×5的三維分?jǐn)?shù)階微分離散模板,如圖2所示。

圖2 三維分?jǐn)?shù)階微分離散模板

圖2為5×5×5大小的三維分?jǐn)?shù)階微分離散模板，圖中有5層切片，分別為中心待處理體素所在的Z層及其上方的 Z+1 層，Z+2層和下方的Z-1層，Z-2層。三維模板構(gòu)成可以理解為以N0為中心，XY平面、XZ平面、YZ平面立體組合而成，也即3個(gè)二維模板組成一個(gè)三維離散模板。如圖所示選取與中心體素(centrevoxel)相鄰的18個(gè)方向?yàn)槿S離散模板的有用體素，在XY平面即Z層，在X軸和Y軸，及X軸Y軸對(duì)角線的8個(gè)方向上，有N1～N16共16個(gè)體素點(diǎn)；在XZ平面從Z-2至Z+2的5層切片中，有N1,N2，N27，N28，N17，N18，N19，N20，N9，N10，N21，N22，N23，N24，N25，N26共16個(gè)體素點(diǎn)，在YZ平面同樣有N5，N6，N35，N36，N17，N18，N29，N30，N13，N14，N31，N32，N23，N24，N33，N34共16個(gè)體素點(diǎn)。

按照式(5)～(7)，模板中對(duì)應(yīng)位置系數(shù)如下

(8)

三維分?jǐn)?shù)階微分模板取18個(gè)方向， 18個(gè)方向的卷積結(jié)果如下

(9)

在計(jì)算卷積結(jié)果前要對(duì)三維離散模板內(nèi)各系數(shù)做歸一化處理

(10)

將各系數(shù)帶入式(9)，求得18方向的卷積值后求和，如式(11)所示，最終D(i,j,k)即為三維分?jǐn)?shù)階微分處理后的新體素值。

(11)

3 自適應(yīng)微分階數(shù)構(gòu)造

圖像中有很多反映自身特征的信息，如灰度值、像素梯度值等。梯度在圖像中反映了像素幅值變化的程度，利用數(shù)字圖像的灰度值梯度變化，進(jìn)一步細(xì)化三維圖像灰度值的梯度和相鄰體素間梯度變化對(duì)于數(shù)字圖像的影響，構(gòu)造基于梯度信息的自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)，應(yīng)用三維分?jǐn)?shù)階微分模板對(duì)三維圖像進(jìn)行遍歷卷積操作，達(dá)到增強(qiáng)圖像有用信息拉伸圖像對(duì)比度的目的。

在三維數(shù)字圖像中，各體素點(diǎn)最小距離為單位1，三維數(shù)字圖像的體素值即為離散的三維函數(shù)值，為便于數(shù)值計(jì)算和程序?qū)崿F(xiàn)，對(duì)于離散的三維函數(shù)采用前向差分來計(jì)算梯度。

一階梯度不能全面反映三維數(shù)字圖像梯度變化，先在三維模板中定義梯度本身的變化為Cg，如圖2三維分?jǐn)?shù)階離散模板所示，取步長(zhǎng)為1和前向差分來計(jì)算梯度變化。

以圖2模板中待處理體素點(diǎn)X軸正方向?yàn)槔?jì)算此方向上N0點(diǎn)的梯度，N0為要處理的體素點(diǎn)，N1，N2為Z層切片上X軸正方向上半徑為1和2的相鄰兩體素點(diǎn)。

設(shè)f(x,y,z) 為當(dāng)前體素，顯然N1點(diǎn)為f(x+1,y,z)，N2點(diǎn)為f(x+2,y,z)。

當(dāng)前待處理體素點(diǎn)N0的梯度為GN0=f(x+1,y,z)-f(x,y,z)，相鄰點(diǎn)N1的梯度為GN1=f(x+2,y,z)-f(x+1,y,z)。

則對(duì)于N0點(diǎn)在此方向上的梯度變化模值為Cg1，即N1與N0點(diǎn)梯度差值。如前文所述，模板中共有18個(gè)方向，Cg1表達(dá)式如下

(12)

以步長(zhǎng)為2求得當(dāng)前體素點(diǎn)在N1，N2方向的梯度模值為G1，同樣在上述模板中另有17個(gè)方向，G1表達(dá)式如下

(13)

各取18個(gè)方向中當(dāng)前體素點(diǎn)梯度變化的最大值和梯度最大值進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，則表達(dá)式如下

(14)

由于指數(shù)模型在底數(shù)大于1指數(shù)為負(fù)時(shí)，整體指數(shù)值范圍在0～1之間，符合分?jǐn)?shù)階微分的階數(shù)要求。由于此特性，采用以e為底的指數(shù)模型，當(dāng)指數(shù)(次方)在不大于0時(shí)，指數(shù)整體值為不大于1的正數(shù)，滿足分?jǐn)?shù)階微分對(duì)階數(shù)的要求，因此利用此特性，利用前述梯度變化和梯度值構(gòu)造指數(shù)模型如下

(15)

式(15)中利用當(dāng)前體素點(diǎn)梯度值和梯度變化模值構(gòu)造了三維自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)，對(duì)于不同的體素點(diǎn)，其所用的微分階數(shù)不同，且完全受自身體素梯度變化影響。對(duì)于三維數(shù)字圖像來說，當(dāng)前處理區(qū)域?yàn)槠交瑓^(qū)域時(shí)，式(15)中指數(shù)次方的分子也即梯度變化和體素梯度值均較小，所得v會(huì)相對(duì)較大，由分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)作用分析可知，當(dāng)信號(hào)頻率較小時(shí)，即當(dāng)頻率為低頻時(shí)，較大的微分階數(shù)會(huì)相對(duì)降低低頻的幅值，這樣可以達(dá)到拉伸平滑區(qū)域體素與中高頻區(qū)域的對(duì)比度，達(dá)到增強(qiáng)的目的。對(duì)于中高頻部分的紋理細(xì)節(jié)和邊緣信息，梯度變化和灰度梯度值都較大，所得v比低頻平滑部分略小，仍可對(duì)高頻信息進(jìn)一步增強(qiáng)，這樣從定性角度分析，以上自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分可以依據(jù)圖像自身梯度信息對(duì)三維圖像自適應(yīng)增強(qiáng)。

4 改進(jìn)的邊緣曲面重構(gòu)算法

4.1 邊緣曲面追蹤算法

三維邊緣曲面追蹤算法數(shù)學(xué)模型為[9-10]

(16)

4.2 基于自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)的邊緣曲面追蹤算法

基于自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階積分增強(qiáng)的邊緣曲面追蹤算法步驟如下：

1)利用自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分對(duì)采集的三維切片圖像進(jìn)行增強(qiáng)；

2)利用本節(jié)第一部分中介紹的算法追蹤三維邊緣曲面；

3)計(jì)算三維邊緣曲面片并將其三角片化；

4)通過計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)可視化三維邊緣曲面。

設(shè)三維圖像(數(shù)據(jù))f(x,y,z)經(jīng)自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)后變?yōu)镈(x,y,z)，從增強(qiáng)后的D(x,y,z)追蹤邊緣曲面，基于自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)的邊緣曲面追蹤算法如下(對(duì)于邊緣曲面追蹤算法詳細(xì)描述見文獻(xiàn)[9-10])

(17)

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在構(gòu)造了自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)后，利用邊緣曲面追蹤算法對(duì)已經(jīng)過分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)的D(x,y,z)通過VC++2010和OpenGL進(jìn)行重構(gòu)顯示，得到增強(qiáng)后的三維數(shù)字圖像。本實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境CPU為Inteli3，2GHz，2GbyteRAM。

在二維數(shù)字圖像的分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)中，多數(shù)算法均只采用視覺定性分析來衡量算法的有效性，鑒于較成熟的三維經(jīng)典算法較少，本章實(shí)驗(yàn)結(jié)果與固定階分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)效果作對(duì)比，并采用視覺定性分析和圖像信息熵(comentrypy)結(jié)合評(píng)價(jià)增強(qiáng)效果。

香農(nóng)首先提出信息熵的概念[11]。信息熵可以用來反映信息中信息量的多少，是信息論學(xué)科中的一個(gè)較為重要的概念[12]，顯然信息熵越大則其中包含的有用信息量越大。其定義如下

(18)

式中：p(x)為事件x發(fā)生的概率。在三維圖像中，圖像的信息熵可以表示為如下形式

(19)

式中：p(n)為像素級(jí)別n出現(xiàn)的概率，也可理解為三維圖像中體素點(diǎn)f(x，y，z)出現(xiàn)的概率；N為像素級(jí)別數(shù)，如8位圖像為256。

實(shí)驗(yàn)首先選取數(shù)據(jù)規(guī)模為125×125×34的龍蝦圖像，切片圖像有34層，每層長(zhǎng)于寬均為125。

圖3給出了龍蝦圖像經(jīng)不同階數(shù)增強(qiáng)后，利用邊緣曲面追蹤算法重構(gòu)后的結(jié)果。由于本文實(shí)驗(yàn)源切片圖像本身灰度較低，且灰度變化范圍較小，故圖像細(xì)節(jié)變化不是特別明顯，在圖3a的待增強(qiáng)圖像中選取了3個(gè)區(qū)域進(jìn)行著重對(duì)比分析，圖3c和圖3e分別經(jīng)0.5階和0.7階增強(qiáng)后，重建后三維圖像的I區(qū)和II區(qū)均產(chǎn)生了噪聲碎片，且圖3e表面整體已經(jīng)很粗糙，沒有達(dá)到較好的增強(qiáng)效果。圖3d經(jīng)本文算法增強(qiáng)后，在III區(qū)對(duì)龍蝦爪的紋路等區(qū)域較好地進(jìn)行了增強(qiáng)，且沒有圖3c和圖3e中的噪聲。通過表1中的信息熵值分析可知， 0.7階微分增強(qiáng)結(jié)果雖然熵值較大，其原因是增強(qiáng)出的噪聲干擾了熵值的計(jì)算，本文算法在獲得較好視覺效果的同時(shí)，也獲得了不錯(cuò)的信息熵值。

圖3 不同分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)增強(qiáng)龍蝦圖像

分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)圖像信息熵0228205284本文自適應(yīng)階數(shù)28507289

另一組實(shí)驗(yàn)針對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)模為160×120×29的牛頸骨三維切片進(jìn)行增強(qiáng)，切片共有29層，每層大小為160×120，同樣隨機(jī)選取固定階次為0.2階，0.5階及0.8階的分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)效果與本章自適應(yīng)增強(qiáng)進(jìn)行對(duì)比。增強(qiáng)后利用邊緣曲面追蹤算法重構(gòu)結(jié)果如圖4所示。

圖4 牛頸骨分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)結(jié)果

圖4給出了牛頸骨經(jīng)不同階次分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)后的結(jié)果，圖4a原圖像中骨頭的紋路不是很明顯，對(duì)比度不高，所含細(xì)節(jié)較少。圖4b～圖4e均對(duì)原圖進(jìn)行了不用程度的增強(qiáng)，圖4b中0.2階固定階次的分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)幅度明顯不夠，細(xì)節(jié)信息仍然不夠明顯，0.8階的微分增強(qiáng)圖像出現(xiàn)了過增強(qiáng)效果，整體灰度值較亮，仍然不能較好地體現(xiàn)出對(duì)比度。可以看出本文算法自適應(yīng)增強(qiáng)后，與0.5階增強(qiáng)結(jié)果較為接近，但由于利用了圖像自身梯度信息和梯度變化，自適應(yīng)地拉伸了灰度變化平緩區(qū)域與中高頻的對(duì)比度，所以圖像的紋路等細(xì)節(jié)更加明顯，也較好地達(dá)到了增強(qiáng)的效果。表2的信息熵值也可驗(yàn)證以上觀點(diǎn)。隨機(jī)選取的3個(gè)固定階次分?jǐn)?shù)階微分中，0.8階增強(qiáng)后信息熵值較大，但是其圖像本身給人的視覺感受并不是最好，整體骨頭紋路難以看清。本文算法在兼顧信息熵的同時(shí)得到了對(duì)比度明顯且細(xì)節(jié)較多的增強(qiáng)結(jié)果。

表2 分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)牛頸骨圖像信息熵

分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)圖像信息熵0239505400本文自適應(yīng)階數(shù)40608410

6 結(jié)語

目前多數(shù)分?jǐn)?shù)階微積分的算法都應(yīng)用在二維數(shù)字圖像，針對(duì)三維數(shù)字圖像的增強(qiáng)算法較少。本文嘗試性地在利用圖像自身灰度值的梯度變化和梯度值本身，構(gòu)造了自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)的指數(shù)模型，利用三維分?jǐn)?shù)階微分離散模板對(duì)三維切片圖像進(jìn)行遍歷卷積，旨在利用圖像自身梯度特性有目的地增強(qiáng)感興趣區(qū)域。通過實(shí)驗(yàn)分析可見，一定程度上實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)增強(qiáng)，對(duì)于灰度變化平緩的區(qū)域，實(shí)現(xiàn)了算法設(shè)計(jì)之初適當(dāng)降低平緩區(qū)域幅值，拉開與細(xì)節(jié)等中頻信息的對(duì)比度并增強(qiáng)中高頻信息的目的，通過信息熵的對(duì)比，提出的算法也能基本接近最優(yōu)的固定階次分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)后的信息熵值，驗(yàn)證了提出算法的有效性。

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[15] 馬瑜，趙九龍，余婷，等. 基于三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)的邊緣曲面重構(gòu)算法[J]. 光子學(xué)報(bào)， 2014，43(10)：27-34.

責(zé)任編輯：閆雯雯

Adaptive 3D Fractional Differential Enhancement Algorithm

YU Ting1, LI Mingjing2, ZHAO Jiulong1, MA Yu1, LI Shuang3

(1.Graduate School, Ningxia University, Yinchuan 750021, China； 2. School of Electronic Information Engineering,Changchun University,Changchun 130022,China； 3. Institute of Image Processing and Pattern Recognition, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Three dimensional(3D) digital slice images are usually not clear enough to be reconstructed. An adaptive enhancement algorithm based on 3D fractional differential is put forward. On the basis of extending 2D fractional differential to 3D, the adaptive 3D fractional order is constructed using the gradient and the variation of neighbor gradient, the 3D discrete filtering mask is also provided. The proposed algorithm can not only solve the problem of different images’ best fractional orders are different, but also increasing the enhancement efficiency largely. Adding the adaptive enhancement algorithm to 3D edge surface tracking algorithm can reconstruct higher accuracy 3D images.

3D fractional differential; adaptive enhancement; gradient; reconstruction; edge surface tracking

國家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAF07B00)； 2012年寧夏自治區(qū)科技攻關(guān)資助項(xiàng)目(2012ZYG011)；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(2014302)

TN911.73

A

10.16280/j.videoe.2015.20.001

余 婷(1990— )，女，碩士，主要研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分；

李明晶(1977— )，女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)閳D像融合；

趙九龍(1989— )，本文通信作者，碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)字圖像增強(qiáng)及去噪、分?jǐn)?shù)階微積分；

馬 瑜(1974— )，教授，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺與模式識(shí)別；

李 爽(1993— )，碩士生，主要研究方向?yàn)樘摂M全景圖像增強(qiáng)技術(shù)研究。

2015-04-23

【本文獻(xiàn)信息】余婷，李明晶，趙九龍，等.自適應(yīng)三維分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)算法[J].電視技術(shù),2015，39(20).