徐忠四，劉衛(wèi)新，杜文建

（1.中北大學(xué)機電工程學(xué)院，太原 030051；2.北方自動控制技術(shù)研究所，太原 030006；3.奇瑞汽車股份有限公司產(chǎn)品開發(fā)管理中心，安徽 蕪湖 241009）

膠泥緩沖器的非線性剛度的控制機理研究*

徐忠四1，劉衛(wèi)新2，杜文建3

（1.中北大學(xué)機電工程學(xué)院，太原 030051；2.北方自動控制技術(shù)研究所，太原 030006；3.奇瑞汽車股份有限公司產(chǎn)品開發(fā)管理中心，安徽 蕪湖 241009）

為了改善履帶車輛懸掛系統(tǒng)在各種路面的平順性和緩沖性，對懸掛系統(tǒng)匹配了一款具有非線性剛度的粘彈性膠泥緩沖器。為了定量地研究膠泥緩沖器的非線性剛度控制機理，建立了非線性懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)方程組。提出了一種無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法對非線性方程組進行數(shù)值求解的新方法,最后用沖擊實驗驗證該方法的可靠性。該研究為膠泥緩沖器的優(yōu)化設(shè)計和車輛懸掛懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)匹配提供了理論指導(dǎo)。

非線性剛度，膠泥緩沖器，沖擊實驗，控制機理

0 引言

粘彈性膠泥緩沖器是履帶車輛懸掛系統(tǒng)的一個部件，對車輛平順性、緩沖性和懸掛系統(tǒng)的正常工作有著至關(guān)重要的作用。設(shè)計粘彈性膠泥緩沖器時，最關(guān)鍵的是要建立阻抗力與活塞位移和速度之間的數(shù)學(xué)模型，其中的剛度與阻尼也隨著活塞位移和速度發(fā)生變化。該本構(gòu)關(guān)系是一非線性泛函，具有明顯的非光滑、強非線性特性［1］。

目前，純粘滯性的膠泥緩沖器［2-3］國內(nèi)外研究較多，而粘彈性的膠泥緩沖器則研究較少，單出桿式的膠泥緩沖器是本文的研究對象，其數(shù)學(xué)模型的研究仍然處于初級階段［4-6］，Jarret給出的單出桿式膠泥緩沖器的數(shù)學(xué)模型將緩沖器當作線性剛度，與實際情況有差別，文中基于相關(guān)的理論與合理的假設(shè)［7-9］，結(jié)合膠泥緩沖器的使用環(huán)境，建立了裝有膠泥緩沖器的非線性懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)方程組，定量地研究非線性懸掛的非線性剛度變化規(guī)律，提出了一種無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法對非線性方程組進行數(shù)值求解的新方法，最后用沖擊實驗驗證該方法的可靠性。

1 裝有膠泥緩沖器的懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)方程組

多數(shù)情況下，在研究車輛懸掛系統(tǒng)的時候，一般都把它簡單表達為單輪車輛懸掛系統(tǒng)模型，并簡化為二自由度系統(tǒng)，其兩個自由度分別是簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量的垂直振動。以下為懸掛系統(tǒng)工作的兩種狀況：

①緩沖器未受到撞擊時，緩沖器不起作用，只有單個減振器起作用。這時單個負重輪模型的動力學(xué)方程為：

在式（1）中，ms為簧載質(zhì)量；mu為非簧載質(zhì)量；Ks為懸掛彈簧剛度；Ku為負重輪剛度；cs為減振器阻尼系數(shù)；x2為簧載質(zhì)量位移；x4為非簧載質(zhì)量位移；q為路面激勵位移。

②平衡肘撞擊緩沖器時，緩沖器起附加減振器和彈簧的作用，這時懸掛系統(tǒng)的剛度相當于兩個彈簧并聯(lián)（合并后剛度Ksh=Ks+Kh；Kh緩沖器剛度），阻尼也相當于并聯(lián)（合并后阻尼C=Ch+Cs；緩沖器阻尼）。單個負重輪模型的動力學(xué)方程為：

緩沖器被撞擊時，二自由度懸掛系統(tǒng)模型圖如圖1所示。

圖1 緩沖器被撞擊二自由度懸掛系統(tǒng)模型

2 非線性懸掛系統(tǒng)動力學(xué)方程的數(shù)值求解

2.1 非線性懸掛系統(tǒng)動力學(xué)增量平衡方程

當平衡肘撞擊緩沖器時，這時懸掛系統(tǒng)的剛度隨著負重輪的位移是不斷變化的，這時的懸掛系統(tǒng)為非線性懸掛系統(tǒng)，建立的方程組（2）為非線性方程組，下面用逐步積分法介紹求解過程。

在時刻t+Δt，非線性懸掛系統(tǒng)動力學(xué)方程為

將式（4）減去式（3）對應(yīng)的各式，可得到非線性方程組的增量平衡方程組如下。

在式（5）中，

在非線性懸掛中，懸掛的彈性力和阻尼力分別用Ffs，F(xiàn)fD表示，懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼在Δt很小時，在區(qū)間（t，t+Δt）變化很小，可以近似地取為。

將式（6）～式（9）代入式（5），可得到非線性懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)增量平衡方程的矩陣形式如下：

式（10）中，［M］：質(zhì)量矩陣；［C（t）］，［K（t）］，［Ku］：時刻t的懸掛阻尼矩陣，剛度矩陣和輪胎的剛度矩陣；增量加速度，增量速度，增量位移；{Δq}：增量地面激勵向量。

現(xiàn)在將增量位移和增量速度的計算方法，根據(jù)泰勒級數(shù)展開，可寫出：

2.2 無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法

下面采用線性加速度法，在時間區(qū)間（t，t+Δt）認為加速度增量與時間增量成比例，也就是略去加速度增量中（Δt）2及其以上項，當Δt較小時，增量位移和增量加速度有足夠的準確性，在以上假設(shè)條件下，可知

將式（12）代入非線性懸掛系統(tǒng)動力學(xué)增量平衡方程，得到

整理并項后，得到

由式（14）可得到增量位移向量公式為

將式（15）代入式（12），便可得到增量速度向量的表達式為。

在時間步長τ的情況下，計算有效動力剛度矩陣，有效增量載荷向量，上述表達與在形式上完全相同，只不過是用τ代替Δt，因此，得到延長步長τ情況下的增量位移向量計算公式

進而可得

按照線性加速度的原理有

3 實驗結(jié)果與分析

本項目所用的粘彈性膠泥緩沖器的基本設(shè)計參數(shù)如表1所示。Lg為活塞桿的長度。

表1 粘彈性膠泥緩沖器的基本參數(shù)

在上述基本參數(shù)下討論無條件穩(wěn)定的逐步積分法，數(shù)值積分方法可能引起的誤差依賴于系統(tǒng)的動力特性和所取的時間步長Δt，垂直線振動的固有頻率約在1.5 Hz左右，車輪垂直振動的固有頻率約為30 Hz左右。為使懸掛系統(tǒng)數(shù)值分析較為準確，時間步長選擇依據(jù)下面計算公式：

根據(jù)上面的無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法，取時間步長Δt=2.5 ms，可得到緩沖器的剛度Kh與壓縮位移x之間的關(guān)系式

上式中，緩沖器的剛度Kh的單位為N/mm，壓縮位移x的單位為mm。

對（22）方程的兩邊對x進行求導(dǎo)，可得

由式（23）可知，剛度的斜率恒大于零，表明緩沖器的非線性剛度是隨著壓縮位移的增加而快速增加的，即緩沖器的剛度表現(xiàn)出一種漸升特性。緩沖器剛度的漸升特性將為緩沖器的設(shè)計和動力學(xué)建模提供理論依據(jù)。

為了驗證上述方法所建立的緩沖器的非線性剛度的控制機理能否可靠地描述緩沖器的工作特性，將所設(shè)計的膠泥緩沖器安裝在模擬軍用車輛懸掛系統(tǒng)工作環(huán)境的沖擊試驗臺上進行沖擊實驗。制作了一個質(zhì)量m=200 kg的錘頭及固定緩沖器基座，測量設(shè)備和緩沖器的安裝示意圖如圖2所示。

圖2 沖擊試驗安裝示意圖

根據(jù)加速度傳感器的工作原理，只有跌落錘和緩沖器的活塞桿接觸時才會有信號，所以將跌落錘的加速度、速度和位移可以近似為緩沖器活塞的加速度、速度和位移。以跌落錘與活塞桿接觸時刻為記時起點，得到的位移即為緩沖器的行程，跌落錘的加速度與質(zhì)量的乘積近似為緩沖器的彈性回復(fù)力。

彈性回復(fù)力，主要是活塞壓縮膠泥而產(chǎn)生的。當膠泥緩沖器的活塞開始壓縮膠泥時，膠泥被壓縮產(chǎn)生壓強，設(shè)其壓縮率為δ，壓強為Pδ，活塞的端面面積為S，則膠泥產(chǎn)生的彈性回復(fù)力的大小為：

膠泥的壓縮率可以根據(jù)活塞的結(jié)構(gòu)尺寸及活塞的位移求得：

在上式中，x為活塞壓縮位移，V為未壓縮時膠泥的體積。

由無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法得到的理論擬合曲線和緩沖器沖擊實驗得到的膠泥的壓強與壓縮率對比關(guān)系曲線如圖3所示，試驗數(shù)據(jù)與理論擬合曲線的吻合度非常高，說明無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法對膠泥緩沖器的非線性剛度進行控制是可靠的。

圖3 膠泥壓強與壓縮率的關(guān)系曲線

4 結(jié)論

①試驗數(shù)據(jù)與理論擬合曲線的吻合度非常高，說明無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法對膠泥緩沖器的非線性剛度進行控制是可靠的；②用無條件穩(wěn)定的線性加速度逐步積分法得到了緩沖器的剛度與壓縮位移之間的關(guān)系式：緩沖器的非線性剛度是隨著壓縮位移的增加而快速增加的，即緩沖器的剛度表現(xiàn)出一種漸升特性；③膠泥緩沖器的非線性剛度的控制機理，將會對膠泥緩沖器的優(yōu)化設(shè)計和車輛懸掛系統(tǒng)的動力學(xué)匹配計算提供理論指導(dǎo)。

［1］徐忠四.粘彈性膠體緩沖器非線性時滯動力系統(tǒng)建模及隨機最優(yōu)控制研究［D］.太原：中北大學(xué)，2013.

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Research on Control Mechanism for Nonlinear Stiffness of Elastomer Damper

XU Zhong-si1，LIU Wei-xin2，DU Wen-jian3
（1.School of Mechatronic Engineering，North University of China，Taiyuan 030051 china；
2.North Automatic Control Technology Research Institute，Taiyuan 030006，china；
3.Product Development and Management Center，Chery Automobile Co，Ltd.Wuhu 241009，China）

In order to improve the ride and dampening performance of tracked vehicle’s suspension system in all kinds of roads，a viscoelastic elastomer damper with nonlinear stiffness is matched for the suspension system.Dynamical equation sets of nonlinear suspension system are built to study the control mechanism of nonlinear stiffness of elastomer damper quantitatively.A new method of linear acceleration successive integration method with no condition stability is proposed to make the numerical solution for the nonlinear equation sets.Finally，the reliability of the above method is validated through the shock experiments.All of which will provide the theoretical guide for the optimal design of the elastomer damper and dynamic matching research between the elastomer damper and the vehicle’s suspension system.

nonlinear stiffness，elastomer damper，shock experiment，control mechanism

TB11

A

1002-0640（2015）05-0179-05

2014-03-06

2014-04-24

國家自然科學(xué)基金資助項目（50976108）

徐忠四（1977- ），男，湖北通山人，博士，講師。研究方向：車輛動力學(xué)建模與仿真。