劉 俊，劉 瑜，熊 偉，孫 順

（海軍航空工程學院信息融合研究所，煙臺 264001）

工程與應用

基于平方根容積信息濾波的彈道目標跟蹤算法

劉 俊，劉 瑜，熊 偉，孫 順

（海軍航空工程學院信息融合研究所，煙臺 264001）

針對再入彈道目標跟蹤問題，提出了一種基于平方根容積信息濾波的多傳感器融合估計算法（SCIF）。SCIF通過在擴展信息濾波（EIF）框架中嵌入平方根容積卡爾曼濾波算法（SCKF）實現狀態(tài)濾波。仿真結果表明：所提出的算法不僅避免了EIF由于模型線性化誤差易導致濾波發(fā)散的問題，且克服了不敏信息濾波（UIF）在高維濾波中數值不穩(wěn)定的缺點，算法的濾波精度較高，能夠更加有效地解決彈道目標跟蹤中的強非線性濾波問題。

非線性系統(tǒng)；多傳感器融合；擴展信息濾波；不敏信息濾波；平方根容積信息濾波

0 引 言

再入彈道目標由于受空氣阻力等外部環(huán)境的影響，其狀態(tài)與量測方程都是高度非線性的，因此彈道系數未知的再入彈道目標跟蹤問題是一個比較復雜的非線性濾波問題，并且此問題對導彈防御具有重要的意義。

粒子濾波（Particle filter，PF）是一種典型的全局近似濾波算法［1，2］，該算法通過序貫重點抽樣方法得到后驗概率帶有權重的樣本點，經過迭代計算實現對狀態(tài)的全局估計。該算法在粒子數量充足時可對后驗概率分布進行準確的估計，若粒子數量有限，其估計性能下降甚至發(fā)散。此外，粒子濾波算法不需要作高斯假設，可用于非線性非高斯狀態(tài)濾波，但是實現有效的估計需要進行大量的計算，難以應用到實際系統(tǒng)中。因此，有必要設計計算效率更加高效的高斯近似算法。

擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman filter，EKF）算法在工程中的應用較為廣泛［3］，其基本原理是對狀態(tài)和量測方程進行線性化處理后使用KF濾波算法。類似于EKF，有擴展信息濾波器（Extended in-formation filter，EIF），EIF通過傳遞信息向量和信息矩陣實現狀態(tài)濾波。與EKF相比，信息濾波器的初始化更加容易，計算量更小，并且易于擴展到多傳感器融合［4，5］。但是，EKF和EIF只適用于弱非線性系統(tǒng)，并且還需要計算非線性函數的雅克比矩陣，限制了系統(tǒng)的模型，同時增加了計算的難度。對于高度非線性問題，由于EKF在線性化處理過程中忽略了高階項，濾波精度下降，甚至會造成濾波發(fā)散。不敏卡爾曼濾波［6-8］（Unscented Kalman filter，UKF）是一種確定性采樣算法，通過選擇特定的Sigma點經過非線性函數傳遞捕獲狀態(tài)的均值與協(xié)方差對后驗概率進行近似，能夠以至少二階泰勒精度逼近非線性方程，濾波精度高于EKF算法，并且魯棒性更強［9，10］。文獻［11］將不敏變換（Unscented transform，UT）嵌入EIF結構內，提出了不敏信息濾波器（Unscented information filter，UIF）。

但是，UIF算法的性能受參數取值的影響較大，其尺度參數κ＝3-n，當狀態(tài)的維數大于3時，尺度參數κ＜0，可能會出現濾波性能不佳甚至濾波發(fā)散的情況，所以UIF適用于解決維數較低的狀態(tài)濾波問題［12-13］。為了克服 UIF濾波存在的缺點，Arasaratnam等同樣從概率近似的角度基于球面徑向規(guī)則提出了容積信息濾波（Cubature information filter，CIF）算法［12］。CIF利用一組等權值的容積點逼近狀態(tài)的后驗概率密度，能夠獲得較高的估計精度。CIF具有UIF的優(yōu)點，且不需要調節(jié)參數，容積點及其權值僅由狀態(tài)的維數唯一確定，可以提前計算與存儲。此外，其估計精度與濾波穩(wěn)定性都優(yōu)于UIF，特別是在高維濾波時，這種優(yōu)勢更加明顯。但同UIF算法一樣，CIF算法在濾波過程中必須保持誤差協(xié)方差矩陣的正定性與對稱性，否則無法實現狀態(tài)估計。考慮利用CIF的平方根形式，不僅可以保持誤差協(xié)方差矩陣的正定與對稱性質，還可以提高算法的數值穩(wěn)定性。

針對再入彈道目標跟蹤問題，基于擴展信息濾波框架，通過嵌入平方根容積信息濾波算法，提出了一種基于平方根容積信息濾波的彈道目標跟蹤算法。該算法中每個傳感器節(jié)點通過平方根容積信息濾波更新本地信息向量與信息矩陣的平方根因子，然后各節(jié)點將自己的量測貢獻傳遞給融合中心，通過多傳感器融合實現對目標的精確跟蹤。

1 信息濾波器

擴展信息濾波器（EIF）是擴展卡爾曼濾波（EKF）的一種代數等價形式，EKF通過傳遞狀態(tài)與估計協(xié)方差實現狀態(tài)濾波，而EIF則通過傳遞信息向量與信息矩陣（估計協(xié)方差的逆）進行狀態(tài)估計。

考慮如下離散時間非線性動態(tài)模型

給定觀測信息Zk＝ {z1，z2，…，zk}后，狀態(tài)的一步預測可表示為

狀態(tài)更新可表示為

對于式（1）、（2）表示的非線性系統(tǒng)，擴展信息濾波器（EIF）是EKF的信息表示形式。定義Fisher信息向量和信息矩陣Yk|k為

根據EKF的遞推過程，得到EIF中信息向量和信息矩陣的更新方程為

式中：ik+1為信息向量貢獻；Ik+1為其關聯的信息矩陣貢獻

式中：Hk+1為非線性量測函數h的雅克比矩陣

式中：Fk為非線性狀態(tài)函數的雅克比矩陣

完成信息濾波后，可以通過下式恢復狀態(tài)向量估計值和估計誤差協(xié)方差矩陣

2 平方根容積信息濾波算法

信息濾波在每次迭代中，都需要保持信息矩陣的正定性與對稱性。但是由于計算機字長受限、數值誤差等因素的影響，容積信息濾波中的信息矩陣可能會失去正定性與對稱性，并且數值誤差積累可能導致信息濾波器發(fā)散或無法工作。此外，容積信息濾波涉及到一些數值敏感運算，如矩陣求平方根、矩陣求逆等，這些運算可能會破壞信息矩陣的基本性質，從而影響濾波器性能?？紤]利用容積卡爾曼濾波的平方根形式，可以保證信息矩陣的正定與對稱性質，還可以提高算法的數值穩(wěn)定性。此外，SCIF雖然傳遞信息矩陣的平方根形式，但計算量與CIF相同，并且具有CIF的優(yōu)點。SCIF是SCKF的信息表示形式，二者有許多相似之處，SCIF的部分計算可以直接借用SCKF算法。與SCKF相似，SCIF算法也分兩步進行狀態(tài)更新，即時間更新與量測更新。

Step 1：時間更新

SCIF算法的時間更新過程可以分3步進行，具體過程如下：

（1）信息空間向狀態(tài)空間轉換

信息矩陣的分解

對式（7）兩端求逆，得到

將協(xié)方差矩陣、信息矩陣的平方根形式分別代入式（20）兩端，得到

所以

對應的狀態(tài)為

（2）狀態(tài)與協(xié)方差一步預測計算當前狀態(tài)的容積點

計算容積點經非線性函數傳遞的預測值

利用容積點及其權重作加權計算，估計狀態(tài)的預測值

估計預測誤差協(xié)方差矩陣的平方根因子

此外，算法S＝Tria（A）表示對AT進行QR分解，得到上三角矩陣R，令S＝RT，得到的S是一個下三角矩陣。

（3）狀態(tài)空間向信息空間轉換

此過程與信息空間向狀態(tài)空間轉換過程相反，具體運算過程參照步驟（1）。此處不再贅述，直接給出轉換結果。

Step 2：量測更新

EIF信息更新公式是基于線性化量測方程得到的，由于SCKF算法不需要對量測方程作線性化處理，因而無法得到線性化雅克比矩陣Hk+1。但是，根據線性統(tǒng)計誤差傳播性質，可以將SCKF的更新過程嵌入到EIF框架中，得到信息貢獻向量與信息貢獻矩陣分別表示為［13，14］

在進行量測更新之前，先計算量測的一步預測及互協(xié)方差，具體過程如下：

計算更新狀態(tài)容積點

計算經非線性量測函數傳遞后的容積點

計算量測的一步預測

計算互協(xié)方差

式中：

所以，式（39）可以改寫為

式中：

因此，信息矩陣更新

即更新后的信息矩陣的平方根因子

由于一步預測協(xié)方差Pk+1|k是對稱陣，式（14）可以改寫為

將式（44）帶入式（31），得到信息貢獻向量

對應的信息向量更新值為

至此，完成一次濾波迭代。

3 多傳感器融合容積信息濾波

平方根容積信息濾波器很容易推廣到多傳感器融合估計，設N個傳感器觀測同一個目標，每個傳感器的量測方程為

設量測噪聲為高斯白噪聲，并且各傳感器量測噪聲序列互不相關。利用偽量測矩陣計算各傳感器的信息貢獻，每個局部傳感器s的信息貢獻可以表示為

由于每個傳感器的觀測噪聲是互不相關的高斯包噪聲，多傳感器融合估計更新公式中的信息貢獻項可以表示為各局部傳感器信息貢獻項的和，即多傳感器融合容積信息濾波器更新方程為

因此，多傳感器更新后的信息矩陣的平方根因子為

由此得到的多傳感器信息濾波器是一種帶有融合中心的分散式濾波器，每個傳感器節(jié)點將自己的信息向量貢獻is，k+1和關聯的信息矩陣貢獻Is，k+1傳遞給融合中心進行信息融合狀態(tài)估計，并為下一時刻的狀態(tài)濾波做準備。

4 仿真驗證與結果分析

4.1 仿真設置

考慮再入彈道目標跟蹤問題，狀態(tài)向量x∈R5×1包含位置（x1，x2），速度（x3，x4）和空氣動力特性參數x5，目標的狀態(tài)方程可以表示為：

式中：

式中：

過程噪聲w（t）＝ [v1（t），v2（t），v3（t）]T為零均值高斯白噪聲。

考慮用2部雷達對目標的運動進行觀測，雷達的位置為（xm，s，ym，s），每個雷達的觀測值包括距離和方位角。每個傳感器的量測方程為

式中：vk，s＝［q1，s，q2，s］T表示量測噪聲向量。

設定蒙特卡洛仿真次數為20次，仿真步數設置為200步，采樣間隔T＝1s。目標的真實初始狀態(tài)為，x0＝［6 500.4 km，349.14 km，-1.809 3 km／s， -67 967 km／s，0.693 2s-1］T，狀態(tài)初值為＝［6 500.4 km，349.14 km，-1.809 3 km／s，-67 967 km／s，0.693 2s-1］T。誤差協(xié)方差矩陣初值為P0|0＝diag（［10-6km2，10-6km2，10-6km2／s2，10-6km2／s2，1s-2］），過程噪聲協(xié)方差矩陣為 Q（t）＝diag（［2.406 4 km2，2.406 4km2，10-6s-2］）。雷達位置為（xm，1，ym1）＝（6 374 km，0.0 km），（xm，2，ym2）＝（6 375 km，0.0 km），每個傳感器的量測噪聲協(xié)方差分別為

為了比較多傳感器融合非線性狀態(tài)估計算法的濾波性能，各算法的估計精度采用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）進行評價。定義位置的均方根誤差為

圖1 多傳感器融合位置估計均方誤差

圖2 多傳感器融合速度估計均方誤差

圖3 多傳感器融合彈道系數估計均方誤差

4.2 仿真結果及分析

由圖1、圖2和圖3可知，EIF的濾波效果較差，這是由于EIF在濾波過程中對非線性狀態(tài)和量測方程進行了線性化近似處理，忽略了高階項對濾波性能的影響，不可避免地引入了線性化誤差，并且本文所設置的仿真場景具有強非線性，線性化誤差對狀態(tài)估計結果影響較大，造成濾波性能不佳。UIF和SCIF濾波效果較好，而SCIF算法濾波精度比UIF略優(yōu)，且在仿真中更加穩(wěn)定。這是由于UIF和SCIF是通過確定性采樣方法對目標狀態(tài)進行估計，其估計精度高于一階泰勒展開，并且SCIF不需要像UIF那樣調節(jié)參數才能獲取良好的狀態(tài)估計結果，容積點及其權值的選取只與目標狀態(tài)的維數有關，可以提前計算確定，并且采用平方根濾波形式，避免了矩陣求平方根等數值敏感運算，保證了誤差協(xié)方差矩陣的正定與對稱性質，數值穩(wěn)定定更優(yōu)。

5 結 語

本文研究了再入彈道目標跟蹤問題，基于擴展信息濾波器框架，提出了一種基于平方根容積信息濾波的多傳感器融合估計算法。仿真結果表明：與EIF、UIF算法相比，SCIF算法狀態(tài)估計精度較高，濾波穩(wěn)定性也較好，為彈道目標跟蹤等強非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計與融合提供了一種可行的解決方法。

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劉 ?。?990—），男，湖北隨州人，博士研究生，主要研究方向為目標跟蹤、狀態(tài)估計；

E-mail：18615042187@163.com

劉 瑜（1986—），男，湖南邵東人，博士，主要研究方向為無線傳感器網絡、目標跟蹤；

熊 偉（1977—），男，江西南昌人，教授，主要研究方向為信息融合、目標跟蹤；

孫 順（1991—），男，江蘇銅山人，碩士研究生，主要研究方向為目標識別、目標跟蹤。

Tracking Ballistic Target Based on Square-root Cubature Information Filter

LIU Jun，LIU Yu，XIONGWei，SUN Shun
（Research Institute of Information Fusion，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai264001，China）

Considering the problem of tracking ballistic re-entry target，a new square-root cubature information filtering（SCIF）algorithm for state estimation andmulti-sensor information fusion is proposed.The proposed information fusion algorithm is derived by embedding square-root cubature Kalman filter into the extended information filtering（EIF）architecture.Simulation results show that the proposed algorithm is more effective than the algorithm based on unscented Kalman filter in the aspects of estimation accuracy and filtering stability.

Nonlinear system；Multi-sensor fusion；Extended information filter；Unscented information filter；Square-root Cubature information filter

TP953；TN957

A

1673-5692（2015）05-527-06

10.3969／j.issn.1673-5692.2015.05.014

2015-07-13

2015-09-24

國家自然科學基金（61471383）