關(guān) 欣，關(guān) 欣，陶 李，衣 曉

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，煙臺 264001；2.海軍航空工程學(xué)院航空訓(xùn)練基地，青島 266108）

工程與應(yīng)用

基于單機動平臺的滑窗式最小二乘定位算法

關(guān) 欣1，關(guān) 欣1，陶 李2，衣 曉1

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，煙臺 264001；2.海軍航空工程學(xué)院航空訓(xùn)練基地，青島 266108）

針對純方位系統(tǒng)下擴(kuò)展卡爾曼濾波等遞推算法性能不穩(wěn)定，最小二乘定位算法計算量大、實時性差的特點，提出了一種改進(jìn)的最小二乘定位算法。該算法根據(jù)目標(biāo)與平臺之間的幾何關(guān)系得到一個包含目標(biāo)初始位置和分量速度的偽線性方程組。為減少求解方程組的計算量，保證定位的實時性，對常規(guī)的最小二乘法進(jìn)行了加滑窗處理，并進(jìn)一步將方程組的解表示為遞推形式。仿真實驗驗證了算法的有效性，并比較了平臺做不同機動運動的定位性能，給出了滿足一定精度時平臺的機動策略。

無源定位；純方位系統(tǒng)；最小二乘法；滑窗式

0 引 言

隨著電子對抗技術(shù)的不斷進(jìn)步，欺騙雷達(dá)獲取目標(biāo)頻率、相位等信息的手段不斷增強，導(dǎo)致到達(dá)角度成為無源被動雷達(dá)系統(tǒng)可以檢測到的可信度最高的目標(biāo)信息［1］。因此對基于角度信息的無源定位進(jìn)行深入研究具有十分重要的意義［2-4］。

基于角度信息的無源定位本質(zhì)上屬于非線性估計問題，由于系統(tǒng)的非線性程度較高，并且不易獲得高精確度的初始條件，導(dǎo)致擴(kuò)展卡爾曼濾波（expand Kaman filter，EKF）［5］等遞推算法存在較大的線性化誤差，在收斂速度和定位精度等方面性能欠佳。普通最小二乘誤差算法（least-squared error，LSE）［6-7］雖然將非線性方程利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為偽線性方程，但同時也將噪聲引入系數(shù)矩陣，從而導(dǎo)致其估計有偏且協(xié)方差增大。總體最小二乘估計算法（total least-squared，TLS）［8-12］雖然通過奇異值分解法，使有偏問題得到解決，但其運算量大，實時性差。Pages-Zamora、Vidal和Brooks基于蜂窩電話系統(tǒng)的應(yīng)用需求提出了一種最小二乘誤差定位算法［13-14］，但該方法主要用于多個固定觀測站對固定目標(biāo)定位的情況。

本文提出了一種改進(jìn)的滑窗式最小二乘定位算法（sliding window least-squares，SWLS）。其基本思想是將平臺與目標(biāo)之間的幾何關(guān)系用向量方式表示，得到一個偽線性方程組，通過對該方程組求解獲得目標(biāo)的位置信息。采用滑窗形式獲得方程組的系數(shù)矩陣和觀測向量可以有效避免觀測向量和系數(shù)矩陣維數(shù)隨時間不斷增大的問題，大大減少了求解方程組的時間，提高了定位速度。

1 定位原理

以二維空間為例，目標(biāo)T與平臺O的幾何關(guān)系示意如圖1所示。

圖1 平臺與目標(biāo)之間的幾何關(guān)系

顯然，k時刻目標(biāo)與平臺有如下關(guān)系

其中dk表示k時刻目標(biāo)與平臺之間的距離，vk表示對應(yīng)的方位單位矢量。假設(shè)此時目標(biāo)T的位置為（xTk，yTk），平臺的位置為（xk，yk），它們與目標(biāo)的方位角分別為βk，則有

假設(shè)目標(biāo)T作勻速直線運動，初始位置為（xT0，yT0），x方向和y方向的速度分別為vx和vy，則k時刻目標(biāo)位置可以表示為

將式（3）代入到式（2）中，并將矩陣改寫成方程組形式，有

整理式（4）并消去dk，可得

將k時刻的累積測量記成矩陣形式

其中觀測向量Z和系數(shù)矩陣H分別為

狀態(tài)變量X為

2 算法模型

對于觀測向量Z，通常有采樣次數(shù)k＞2，所以該矩陣是超正定的。這樣H的逆矩陣不存在，必須使用廣義逆矩陣進(jìn)行求解。k時刻式（6）的最小二乘解為

當(dāng)觀測次數(shù)為k時，系數(shù)矩陣Hk是一個k×4維矩陣，觀測向量Zk是一個k×1維向量。隨著觀測次數(shù)的遞增，Hk和Zk的維數(shù)也不斷增大，為求得式（6）的最小二乘解Xk的計算量將呈爆炸式增長。

為解決這一問題，本文采用滑窗方式實現(xiàn)系數(shù)矩陣H和觀測向量Z的動態(tài)序貫更新，這樣可以在保證定位精度的前提下，大大減小求解方程組的計算量。記滑窗部分的觀測向量zt和系數(shù)矩陣ht分別為

利用矩陣反演公式可得

其中I4表示4階單位矩陣，這樣Pk可由Pk-t遞推得到，由式（10）可知

將式（14）代入上式，并化簡可得

這樣Xk可由Xk-t遞推得到。

算法具體步驟如下：

（1）觀測次數(shù)k小于l時，觀測向量Zk和系數(shù)矩陣Hk分別由式（7）和（8）確定，通過式（10）求解Xk，式（13）計算Pk，并根據(jù)Xk中目標(biāo)的初始位置和速度進(jìn)一步獲得目標(biāo)的位置信息，Xk和Pk將作為k +t時刻的遞推初值；

（2）觀測次數(shù)k大于l時，觀測向量zt和系數(shù)矩陣ht分別由式（11）和（12）確定，以Pk-t和Xk-t為初值，通過式（14）和式（16）計算得到Pk和Xk，并確定k時刻目標(biāo)位置。

不難看出，當(dāng)l＝k時，算法即為普通最小二乘法；當(dāng)t＝1時，算法則為遞推式最小二乘法。

在純方位系統(tǒng)下，單機動平臺對目標(biāo)進(jìn)行無源定位，方位角測量誤差服從正態(tài)分布，對目標(biāo)初始位置和分量速度的估計是無偏的。三維情況下，利用傳感器測量得到的方位角和俯仰角，同樣根據(jù)目標(biāo)與平臺之間的幾何關(guān)系列出偽線性方程組，求解目標(biāo)的初始位置和運動速度。

3 算法仿真

仿真環(huán)境如下：輻射源目標(biāo)以200 m／s的速度作勻速直線運動，運動方向與X軸正方向夾角為45°，起始點為（5000，0）。方位角測量周期為1 s，連續(xù)觀測200點，滑窗長度為5，測量噪聲服從零均值正態(tài)分布。進(jìn)行100次Monte-Carlo實驗，以圓概率誤差（circular error probability，CEP）衡量算法的定位精度。

仿真實驗1：與不同算法定位精度比較。測量誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ為0.5°時，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法、最小二乘法、總體最小二乘估計算法以及本文算法定位性能如圖2所示，最小二乘法、總體最小二乘估計算法以及本文算法的運算時間如圖3所示。

圖2 不同算法定位精度比較

圖3 不同算法運算時間比較

由圖2可以看出，本文算法收斂后的定位精度與最小二乘法相近，但明顯高于擴(kuò)展卡爾曼濾波和總體最小二乘法。圖3表明，本文算法和最小二乘法的運算時間隨著觀測點的增多基本成線性增長，且本文算法的運算時間明顯少于最小二乘法，而總體最小二乘法則呈指數(shù)增長。

仿真實驗2：平臺以3 m／s2的加速度進(jìn)行運動，滑窗長度取值不同時，算法的定位精度和運算時間如圖4和圖5所示。

圖4 滑窗長度對定位精度的影響

圖5 滑窗長度對運算時間的影響

由圖4和圖5可以看出，滑窗越長，算法的定位精度越高，但運算時間也隨之增加，在實際應(yīng)用中，可根據(jù)具體需求選擇合適的滑窗長度。

仿真實驗3：平臺分別以3 m／s2、5 m／s2、7 m／s2加速度進(jìn)行加速運動的定位精度如圖6所示。

可以看出，加速度越大，收斂速度越快，但收斂后的定位精度越差，在實際應(yīng)用中，可以根據(jù)實際情況選擇加速度的大小。

仿真實驗4：平臺做交替圓周運動，每完成半個圓周運動改變一次運動方向，各圓心連線與X正半軸夾角為45°，運動示意圖如圖7所示，運動速率為200 m／s，運動半徑分別為1 km、5 km、10 km時定位精度如圖8所示。

圖6 勻加速不同加速度定位精度比較

圖7 交替圓周運動示意圖

圖8 不同半徑下交替圓周運動定位精度比較

由圖8可以看出，平臺所作的圓周運動半徑越小，定位精度收斂速度越快，但半徑的大小對收斂后的定位精度影響不大，同時與圖4對比，平臺做交替圓周的定位精度要高于加速運動。

其他條件均相同，圓周半徑為1 km，運動速率分別為200 m／s、300 m／s、400 m／s時，定位精度如圖9所示。

由上圖可以看出，速率越小收斂速度越快，但收斂后的定位精度越差。

仿真實驗5：平臺作變加速直線運動，加速度絕對值分別為5 m／s2、10 m／s2、15 m／s2，以30 s為周期分別作勻加速和勻減速運動，初速度為100 m／s，運動方向與X正半軸夾角為45°，算法定位精度如圖10所示。

9 不同速率下交替圓周運動定位精度比較

圖10 不同加速度下變加速運動定位精度比較

如圖10所示，平臺的加速度絕對值越大，收斂速度越快，但對收斂后的定位精度影響不大。

加速度為15 m／s2，變加速運動加速度改變的周期分別為20 s、40 s、60 s時定位精度如圖11所示。

圖11 不同周期下變加速運動定位精度比較

由圖11可以看出，周期的改變不影響收斂速度，卻影響收斂后的定位精度，周期越短定位精度越高。

4 結(jié) 語

（1）通過滑窗方式改進(jìn)的最小二乘定位算法適用于單機動平臺下的無源定位，具有無偏性；

（2）該算法可以實現(xiàn)對目標(biāo)的準(zhǔn)確快速定位，具有比擴(kuò)展卡爾曼濾波算法和總體最小二乘定位算法更好的定位精度，具有比最小二乘定位算法更快的運算速度，在保證定位精度的前提下，同時可以減少定位時間；

（3）通過仿真實驗3、4、5，可以根據(jù)實際應(yīng)用中對定位精度CEP和收斂速度的不用要求給出不同的平臺機動策略。

若要求定位精度CEP優(yōu)于10 m，則仿真實驗2、3、4的機動策略均可以滿足此要求，此時可根據(jù)實際情況選擇適合的機動策略；若要求CEP優(yōu)于5 m，可以選擇仿真實驗3和4的機動策略；

若要求收斂時間少于60 s，則可以選擇仿真實驗2和4的機動形式，若選擇3的機動形式，則要求圓周半徑小于5 km，運動速率小于300 m／s；若要求收斂時間少于40 s，可以選擇仿真實驗4的機動策略，仿真實驗2的機動策略需要加速度大于7 m／s2，仿真實驗3的機動策略需要速率小于300 m／s；若要求收斂時間小于20 s，選擇3的機動策略，要求圓周半徑小于1 km，速率小于200 m／s，選擇4的機動策略，要求加速度小于5 m／s2。

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關(guān) 欣（1990—），女，黑龍江人，碩士生研究生，主要研究方向為無源定位；

E-mail：378887027@qq.com

關(guān) 欣（1978—），女，遼寧人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為智能信息處理，多源信息融合；

陶 李（1989—），男，山東人，碩士，主要研究方向為多源信息融合，目標(biāo)識別；

衣 曉（1976—），男，山東人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，多源信息融合。

Least-square Localization A lgorithm Based on Single Platform in Sliding W indow W ay

GUAN Xin1，GUAN Xin1，TAO Li2，YIXiao1
（1.Department of Electronic and Information Engineering Naval Aeronautical Engineering Academy，Yantai，264001，China；2.Aviation Training base，Naval Aeronautical Engineering Academy，Qingdao 266108，China）

In view of the unstable performance of recursionmethod，such as expand Kaman filter，large amount of calculation and poor real-time performance of least squares localization algorithm，this paper puts forward an improved least square method.The algorithm based on the geometric relationships between the target and platforms gets a pseudo linear system of equations including the initial position and velocity of target.To reduce the amountof calculation for solving system of equations and ensure real-time positioning，the paper deal with the conventional least squaremethod in a sliding window way，and further expressed the solution of equations as the recursive form.Simulations experiments verify the effectiveness of the algorithm，compared the positioning performance when platform doing differentmaneuvering，giving themobile strategy that can obtain the position performance.

passive location；bearings-only system；least squaremethod；sliding window way

TN957／TP274

A

1673-5692（2015）05-557-06

10.3969／j.issn.1673-5692.2015.05.019

2015-07-28

2015-9-20

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃（NCET-11-0872）