張晨輝，楊斌鑫

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

枝晶生長過程的相場方法模擬研究

張晨輝，楊斌鑫

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

采用相場方法對(duì)金屬枝晶的生長過程進(jìn)行數(shù)值模擬。用凝固相場方程描述過冷條件下枝晶生長的物理過程，同時(shí)在相場方程中耦合溫度場方程以體現(xiàn)凝固過程中釋放的潛熱對(duì)相變的影響。采用有限差分法進(jìn)行求解，討論了松弛時(shí)間、方向角、界面寬度、熔點(diǎn)、各向異性、潛熱等因素對(duì)枝晶的形狀和生長的影響。結(jié)果表明，隨著松弛時(shí)間、界面寬度和熔點(diǎn)的逐漸增加，晶體的生長速率也在逐漸增加，并且枝晶越來越發(fā)達(dá)。

枝晶生長;相場模型;有限差分法

在化學(xué)、固體物理和材料科學(xué)中，對(duì)枝晶生長的研究已經(jīng)成為了一個(gè)重要方面。在材料結(jié)晶過程中，晶體生長是一個(gè)普遍現(xiàn)象，且枝晶是冶金學(xué)上一種非常重要的一種形態(tài)。枝晶的生長主要取決于系統(tǒng)的溫度，當(dāng)界面前沿液體內(nèi)出現(xiàn)負(fù)溫度梯度，距離界面越遠(yuǎn)，過冷度越大，界面不能保持穩(wěn)定的平面狀，某些界面局部出現(xiàn)前凸，生長速率加快，形成枝晶。Kobayashi提出了純金屬枝晶生長的相場模型，隨后Wheeler［1-2］等完善了Kobayashi提出的模型并定量模擬了純鎳的枝晶生長。Karma［3-4］等對(duì)相場模型進(jìn)行了薄界面限制下的漸進(jìn)分析。Tong［5］和Beckermann［6］對(duì)耦合強(qiáng)迫對(duì)流場的相場模型進(jìn)行了定量模擬，隨后，Jeong［7］首次耦合流場進(jìn)行了三維模擬。于艷梅［8］、張玉妥［9］、李新中［10］分別對(duì)枝晶生長進(jìn)行了模擬，取得一定成就。

1 相場模型

凝固過程的相場模型是Fix［11］和Langer［12］為了解決界面問題并且處理尖銳界面模型中的不連續(xù)點(diǎn)時(shí)首先提出的。相場模型由Collins、Levine［13］和Kobayashi［14］用來研究枝晶的生長。相場模型普遍用來模擬晶體生長，它是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，解釋了過冷條件下枝晶生長的物理過程。這個(gè)模型可以處理自由邊界問題而不用追蹤不斷移動(dòng)的界面。相場模型由兩個(gè)非線性方程組成，兩相之間的界面被認(rèn)為是具有厚度非常小的擴(kuò)散層。利用相場序參數(shù)φ(r→，t)表示系統(tǒng)在時(shí)間t和空間r→處的物理狀態(tài)，也將φ(r→，t)叫做Level Set函數(shù)，φ(r→，t)的值在0到1之間變化。φ(r→，t)=0時(shí)，表示液相; φ(r→，t)=1時(shí)表示固相;0＜φ(r→，t)＜1時(shí)，表示固液界面層。相場模型最主要的思想是用連續(xù)界面來代替尖銳界面，通過規(guī)定φ(r→，t)的值來區(qū)分固液兩相以及界面。相場模型是由一個(gè)守恒型方程和一個(gè)非守恒型方程組成，分別描述了序參量φ(r→，t)和溫度場T(r→，t)隨時(shí)間的演化過程，T(r→，t)為系統(tǒng)溫度。下面給出相場模型的基本方程:

在方程(1)中，τ是松弛時(shí)間，G［φ］是系統(tǒng)的自由能函數(shù)，“-”確保當(dāng)相變層總自由能減小，系統(tǒng)的總自由能達(dá)到最小。系統(tǒng)的總自由能函數(shù)如下:

自由能函數(shù)f(φ)在φ=1和φ=0處，取得最小值。當(dāng)m＜0時(shí)，系統(tǒng)為固相φ=1;當(dāng)m＞0時(shí)，系統(tǒng)為液相φ=0;當(dāng)m=0時(shí)，固液兩相處于平衡狀態(tài)。取m［15］為:

其中:β，η為材料參數(shù);T是系統(tǒng)的實(shí)際溫度; Tm是材料的熔點(diǎn)(T，Tm均為無量綱溫度值)。

大多數(shù)枝晶生長都表現(xiàn)為各向異性，因此需要將各向異性引入相場模型中。假設(shè)界面厚度ε是角θ的函數(shù)，即ε=ε(θ)，θ是x軸與▽?duì)盏膴A角。當(dāng)各項(xiàng)同性時(shí)，ε是常數(shù)，當(dāng)各向異性時(shí)，ε=ε(θ)為:

其中:δ為常數(shù)，當(dāng)各向同性時(shí)ε=δ;μ為各向異性的強(qiáng)度系數(shù);j為各向異性的模數(shù);θ0為各向異性軸的方向，改變?chǔ)?的值可以改變枝晶的方向。

各向異性在相場模型中決定枝晶側(cè)枝的生長。方程(2)是基本的熱擴(kuò)散方程，其中稱為源項(xiàng)(F為無量綱值)，與枝晶凝固時(shí)界面釋放的潛熱有關(guān)。在二維空間中，最終的相場模型為:

2 數(shù)值方法和結(jié)果

對(duì)于空間離散，采用有限差分法(中心差分);對(duì)于時(shí)間離散，采用向前差分;對(duì)于相場方程(7)和溫度場方程(8)中出現(xiàn)的和▽2φ分▽2T別采用九點(diǎn)式方法進(jìn)行離散。下面給出在離散方程之后，所需相場模型參數(shù)的取值(稱為原始參數(shù)):

2.1 松弛時(shí)間τ對(duì)枝晶的影響

松弛時(shí)間τ的物理意義為原子通過固液界面所用的時(shí)間。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t=0.3 s時(shí)，分別比較τ=0.000 3 s，τ= 0.000 4 s，τ=0.000 5 s時(shí)枝晶的形態(tài)。在圖1中分別給出了3個(gè)松弛時(shí)間對(duì)應(yīng)的枝晶圖形，通過觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)τ的取值越小(τ=0.000 3 s)，枝晶生長的越快，這和實(shí)際情況是一致的:當(dāng)τ比較小時(shí)(τ=0.000 3 s)，原子保持平衡并且經(jīng)歷形核所花費(fèi)的時(shí)間要少，反之(τ=0.000 5 s)，所需的時(shí)間要很長。而且可以看到τ對(duì)枝晶側(cè)枝尖端生長速度，尖端半徑都有很大影響，由圖1可以觀察到當(dāng)τ從0.000 3 s到0.000 5 s增加時(shí)，尖端速度和半徑都在減小。

圖1 同松弛時(shí)間的枝晶生長的形態(tài)Fig.1 Morphology of dendrite growth at different relaxation time

2.2 方向角θ0對(duì)枝晶的影響

方向角θ0的物理意義為各向異性軸的方向。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t= 0.3 s時(shí)，分別比較了時(shí)枝晶的形態(tài)。

圖2 不同方向角的枝晶生長的形態(tài)Fig.2 Morphology of dendrite growth under different orientation angle

在圖2中分別給出了兩個(gè)方向角對(duì)應(yīng)的枝晶圖形，通過觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)，改變?chǔ)?的值，只改變枝晶主軸的方向與軸的夾角，并不會(huì)改變枝晶的形態(tài)。

2.3 界面寬度ε對(duì)枝晶的影響

界面寬度ε的物理意義為相場模型中擴(kuò)散界面的厚度。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t=0.3 s，時(shí)分別比較ε=0.01和ε=0.011時(shí)枝晶的形態(tài)。在圖3中分別給出了兩個(gè)界面厚度對(duì)應(yīng)的枝晶圖形，通過觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，稍微增大，枝晶側(cè)枝的尖端生長速度和尖端半徑都會(huì)變大。特別地，當(dāng)界面厚度趨于零時(shí)，枝晶生長基本停止。

圖3 不同界面寬度的枝晶生長的形態(tài)Fig.3 Morphology of dendrite growth under different interface width

2.4 熔點(diǎn)對(duì)枝晶的影響

熔點(diǎn)Tm的物理意義為物質(zhì)在熔點(diǎn)Tm處的固液相自由能相等。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t=0.3 s時(shí)，分別比較Tm=1.0，Tm= 1.1和Tm=1.2時(shí)枝晶的形態(tài)。在圖4中給出了三個(gè)溫度對(duì)應(yīng)的枝晶圖形，通過觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大Tm時(shí)，枝晶側(cè)枝的生長速度加快，但是側(cè)枝的尖端半徑卻在減小。

圖4 不同熔點(diǎn)的枝晶生長的形態(tài)Fig.4 Morphology of dendrite growth at different melting temperature

2.5 各向異性模數(shù)j對(duì)枝晶的影響

各向異性模數(shù)j的物理意義為表征熔體中雜質(zhì)對(duì)枝晶的影響。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t=0.3 s時(shí)分別比較j=4，j=6和j=8時(shí)枝晶的形態(tài)。在圖5中分別給出了三個(gè)模數(shù)對(duì)應(yīng)的枝晶圖形、溫度場分布圖形，通過觀察圖5可以發(fā)現(xiàn)，各向異性模數(shù)對(duì)枝晶形狀的影響很大，當(dāng)j=4時(shí)，枝晶有四條主軸，當(dāng)j=6時(shí)，枝晶有六條主軸，比較這兩種情況下的枝晶形態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)各各向異性模數(shù)逐漸增加時(shí)，枝晶主軸上逐漸出現(xiàn)許多側(cè)枝，并且尖端生長速度和半徑都在增加;并且在其他參數(shù)相同的情況下，j=4的枝晶的主軸出現(xiàn)了分叉。比較j=6和j=8發(fā)現(xiàn):j=8的枝晶的生長速度比j=6時(shí)小，而且主軸也要比j=6細(xì)。

2.6 無量綱潛熱F對(duì)枝晶的影響

無量綱潛熱F的物理意義為表征枝晶形成過程中釋放的潛熱和過冷度整個(gè)過程的影響，它和潛熱成正比，與過冷度成反比。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t=0.3 s時(shí)，分別比較F=0.5、F=1.0、F=1.2和F=1.8時(shí)枝晶的形態(tài)。在圖6中分別給出了4個(gè)潛熱對(duì)應(yīng)的枝晶圖形，通過觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)無量綱潛熱對(duì)枝晶的生長形態(tài)有很大的影響，在枝晶的凝固過程中潛熱起著至關(guān)重要的作用。當(dāng)F逐漸從0.5增加到1.8，晶體從原來的光滑界面逐漸變成了樹枝型界面，在這個(gè)過程中，主枝和側(cè)枝都在晶體周圍逐漸的形成，并且隨著F的增大，側(cè)枝的尖端生長速度和尖端半徑都在減小。在相同條件下，F(xiàn)的值越大，枝晶的生長速度會(huì)逐漸的減小，側(cè)枝從無到有，接著再從有而且比較粗大逐漸變小，變細(xì)。

圖5 不同各向異性模數(shù)的枝晶生長的形態(tài)和溫度場分布Fig.5 Morphology and temperature distribution of dendrite growth under different anisotropy mode

圖6 不同潛熱的枝晶生長的形態(tài)Fig.6 Morphology of dendrite growth under different latent heat

2.7 各向異性強(qiáng)度系數(shù)μ對(duì)枝晶的影響

各向異性強(qiáng)度系數(shù)μ的物理意義為表征了枝晶生長過程中界面處的各向異性的強(qiáng)度。在原始參數(shù)的基礎(chǔ)上，當(dāng)其它參數(shù)不變時(shí)，在t=0.3 s時(shí)，分別比較μ=0、μ=0.02和μ=0.06時(shí)枝晶的形態(tài)。在圖7中分別給出了3個(gè)各向異性強(qiáng)度系數(shù)對(duì)應(yīng)的枝晶圖形，通過觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，μ=0時(shí)，枝晶各個(gè)方向的生長都比較均勻，表現(xiàn)為海藻形態(tài);而且枝晶的主枝和側(cè)枝都發(fā)生了分裂，這是枝晶尖端的不穩(wěn)定行為造成的結(jié)果。微觀可解性指出，枝晶尖端的非穩(wěn)態(tài)行為與各向異性有關(guān)。隨之各向異性系數(shù)的增加，枝晶尖端的分叉行為不再出現(xiàn)，而是在枝晶的6個(gè)主軸上出現(xiàn)了側(cè)枝，主枝逐漸變細(xì)并且優(yōu)先生長，而在其他方向的生長卻受到了抑制［16］。

圖7 不同各向異性強(qiáng)度系數(shù)的枝晶生長的形態(tài)Fig.7 Morphology of dendrite growth under different anisotropic coefficient of strength

3 結(jié)論

針對(duì)相場方程和溫度場方程進(jìn)行了離散，且利用fortran語言進(jìn)行了編程。通過簡單分析各個(gè)參數(shù)即:松弛時(shí)間、方向角、界面寬度、熔點(diǎn)、各向異性模數(shù)、潛熱、各向異性強(qiáng)度系數(shù)，得到了對(duì)凝固過程起重要作用的參數(shù)，以及它們各自對(duì)晶體生長過程的影響機(jī)理。(1)隨著松弛時(shí)間、界面寬度和熔點(diǎn)的逐漸增加，晶體的生長速率也在逐漸增加，并且枝晶越來越發(fā)達(dá);(2)潛熱對(duì)于枝晶的形成起著最重要的作用，輕微改變潛熱的值就會(huì)得到不同的結(jié)晶形態(tài)。

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Simulation of Dendritic Growth with Phase Field Method

ZHANG Chen-hui，YANG Bin-xin
(School of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

The growth of metal dendritic crystal is simulated numerically by using phase field method.The phasefield equation of solidification is used to describe the physical process of dendritic growth under the condition of undercooling.Meanwhile，the temperature evolution equation is coupled into phase-field equation to reflect the influence of the latent heat released during the process of solidification on phase change.The finite difference method is used to solve the phase-field and temperature equations.The evolution and shapes of dendrites under different conditions are given.The influences of the parameters，such as relaxation time，orientation angle，interfacial width，melting temperature，interface anisotropy and latent heat，on the growth and shape of dendrite，are discussed in detail.Numerical results show that the growth rate of crystal increases gradually，and the dendrites will be fully developed as the values of relaxation time，the interface width and the melting point increase.

dendritic growth，phase-field method，finite difference method

TQ026.7

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.02.016

1673-2057(2015)02-0160-05

2014-11-03

山西省自然科學(xué)基金(2012011019-2);太原科技大學(xué)博士基金(20112011)

張晨輝(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c工程數(shù)值計(jì)算。