李 會(huì) 平

(1.安徽綠海商務(wù)職業(yè)學(xué)院，安徽 合肥 230601;2.廣西民族大學(xué)，廣西 南寧 530006)

正六邊形網(wǎng)格的3D相容性條件

李 會(huì) 平1，2

(1.安徽綠海商務(wù)職業(yè)學(xué)院，安徽 合肥 230601;2.廣西民族大學(xué)，廣西 南寧 530006)

經(jīng)典復(fù)分析的離散化是一個(gè)重要的研究課題。依據(jù)有向四角形圖可以定義離散柯西-黎曼方程，四角形圖相容性結(jié)論已經(jīng)得到，正六邊形網(wǎng)格的相容性問(wèn)題可以利用四角形的離散柯西-黎曼方程進(jìn)行研究，得到正六邊形網(wǎng)格3D相容性的充分條件。

離散柯西-黎曼方程；相容性；四角形；正六邊形

R.J.Duffin得到了離散解析函數(shù)許多基本的性質(zhì)[1]，后來(lái)，又建立了菱形網(wǎng)格的理論[2]；Alexander I. Bobenko與Yuri B. Suris研究了四角形圖上的可積方程[3]，獲得了非常有價(jià)值的結(jié)論，隨后研究了四角形圖上的可積非交換方程[4]。四角形相容性理論已建立，六邊形網(wǎng)格的相容性有待探索。本課題利用四角形的離散柯西-黎曼方程導(dǎo)出正六邊形網(wǎng)格3D相容性的充分條件。先給出幾個(gè)定義。

定義1 稱(chēng)復(fù)平面的胞腔剖分D為四角形圖，若D的所有面是四角形[5]。

定義2 用V(D),F(D)分別表示圖D的頂點(diǎn)與面的集合，函數(shù)f:V(D)→C相對(duì)于權(quán)函數(shù)v稱(chēng)為離散全純函數(shù)(離散解析函數(shù))，若對(duì)任意有正方向的四角形(x0,y0,x1,y1)∈F(D)有

這些方程叫離散柯西-黎曼方程[5]。

定義3 任取三維正六邊形圖D的一個(gè)單元x1x2x3x4x5x6-x1′x2′x3′x4′x5′x6′，稱(chēng)正六邊形網(wǎng)格相對(duì)于權(quán)函數(shù)v具有3D相容性[1]，若由面(x3,x4,x4′，x3′)與面(x5,x4,x4′，x5′)傳遞的f(x4′)的值相等。JP

定義4 稱(chēng)權(quán)函數(shù)v(x,y)=f(y)-f(x)為直線權(quán)函數(shù)，其中x,y為頂點(diǎn)。

定義5 稱(chēng)正六邊形中關(guān)于某頂點(diǎn)相隔奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的一對(duì)頂點(diǎn)為該頂點(diǎn)的相隔頂點(diǎn)。

下面給出主要結(jié)果并證明。

定理 正六邊形網(wǎng)格在點(diǎn)x的第k個(gè)花瓣相對(duì)于權(quán)函數(shù)v具有3D相容性的充分條件為

其中，l,m,n為復(fù)數(shù)，(x,x′)為一條側(cè)棱，函數(shù)f:V(D)→C相對(duì)于權(quán)函數(shù)v為離散全純函數(shù)。

證明 不妨取x=x1，k=1,此時(shí)三維正六邊形圖D的一個(gè)單元記為x1x2x3x4x5x6-x1′x2′x3′x4′x5′x6′，初始值f(xi)(i=1,2,3,4,5,6)及f(x1′)已知，由側(cè)面(x1,x2,x2′，x1′)即得

即f(x2′)=f(x1)-iv(x2,x1′)[f(x1′)-f(x2)]。

由側(cè)面(x2,x3,x3′，x2′)得

即

f(x3′)=f(x2)-iv(x3,x2′)[f(x2′)-f(x3)] =

f(x2)-iv(x3,x2′){[f(x1)-f(x3)-

iv(x2,x1′)[f(x1′)-f(x2)]}由側(cè)面(x3,x4,x4′，x3′)即得

即

f(x4′)=f(x3)-iv(x4,x3′)[f(x3′)-f(x4)]=

f(x3)-iv(x4,x3′)×{f(x2)-f(x4)-

iv(x3,x2′)[f(x1)-f(x3)]-

v(x2,x1′)v(x3,x2′)[f(x1′)-f(x2)]}

(1)

另一方面，由下標(biāo)2換6，3換5，1和4不變，

f(x4′)=f(x5)-iv(x4,x5′)×{f(x6)-f(x4)-

iv(x5,x6′)[f(x1)-f(x5)]-v(x6,x1′)v(x5,x6′)[f(x1′)-f(x6)]}=f(x5)-iv(x2,x1′)×{f(x6)-f(x4)-iv(x3,x2′)[f(x1)-f(x5)]-

v(x4,x3′)v(x3,x2′)[f(x1′)-f(x6)]}

(2)

當(dāng)f(x2)=f(x6)且f(x3)=f(x5)，v(x2,x1′)=v(x6,x1′)時(shí)，v(x4,x3′)=v(x2,x1′)，故得(1) 式和(2) 式相等。

推論 正六邊形網(wǎng)格在點(diǎn)x的第k個(gè)花瓣相對(duì)于直線權(quán)函數(shù)v具有3D相容性的充分條件是f(xm)=f(xn),xm與xn為點(diǎn)x的相隔頂點(diǎn)。

證明 由v為直線權(quán)函數(shù)，并且f(xm)=f(xn),xm與xn為點(diǎn)x的相隔頂點(diǎn)，即得推論成立。

[1] R.J.Duffin. Basic properties of discrete analytic functions[J] .J. Duke Math.，1956(23):335-363.

[2] R.J.Duffin.Potential theory on a rhombic lattic[J]. J. Combinatorial Theory, 1968(5):258-272.

[3] A.I. Bobenko, Y. B. Suris. Integrable equations on quad-graphs[J]. J. Internat. Math.，Res.Notices, 2002(11):573-611.

[4] A.I.Bobenko,Y. B.Suris. Integrable non-commutative equations on quad-graphs. The consistency approach[J]. Lett. Math. Phys.，2002(61):241-254.

[5]A.I. Bobenko,C. Mercat,Y. B. Suris. Linear and non-linear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green′s function[J].J. reine und angew. Math.，2005(583): 117-161.

3D Consistency Condition of Regular Hexagon Lattice

LI Hui-ping1,2

(1.Anhui Lvhai Vocational College of Business, Hefei 230601,China; 2.Guangxi University for Nationalities,Nanning 530006,China)

It is an important topic to study in the discretization of the classical complex analysis. According to the directed quadrilateral graph，discrete Cauchy-Riemann equations can be defined, the consistency conclusion of quadrilateral graph has been obtained. In this paper, the consistency of regular hexagon lattice is defined firstly, then 3D consistency sufficient condition of regular hexagon lattice is obtained by applying discrete Cauchy-Riemann equations of quadrilateral.

discrete Cauchy-Riemann equations, consistency, quadrilateral, regular hexagon

2015-06-09

李會(huì)平，男，安徽望江人，碩士，安徽綠海商務(wù)職業(yè)學(xué)院講師，主要研究方向?yàn)閺?fù)分析、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)研究等。

時(shí)間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.004.html

O174.5

A

1007-4260(2015)04-0015-01

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.004