安京京，南江霞，卜 紅

（1．桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，2．廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室，廣西 桂林 541004）

1 引 言

關(guān)于支付值為三角形模糊數(shù)的二人零和對策［1］（簡稱模糊二人零和對策）已有大量的研究和應(yīng)用，Bector et al．［2］，Campos［3］，Campos et al．［4］都是運用一種模糊數(shù)的排序方法將支付值中的模糊數(shù)進行去模糊化轉(zhuǎn)化成實數(shù)，進而把原問題的模糊線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為求解一般的線性規(guī)劃模型，這樣求得的對策值是一個實數(shù)．因為局中人的支付值是模糊數(shù)，所以在模糊二人零和對策中，局中人的最優(yōu)策略和對策值也應(yīng)是一個模糊數(shù)．目前只有少量的文獻涉及這部分的研究．Clemente［5］運用了標(biāo)準(zhǔn)排序函數(shù)將模糊二人零和對策的模糊線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為與之等價的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，利用這種排序函數(shù)所得最優(yōu)解也是模糊數(shù)．Li［6］研究了支付值是三角形模糊數(shù)的約束二人零和對策，證明了局中人的對策值與支付值滿足單調(diào)線性關(guān)系，運用模糊數(shù)的0－截集和1－截集，通過求解三個線性規(guī)劃模型得到局中人的最優(yōu)策略和對策值，所求得的局中人的最優(yōu)策略和對策值也是一個三角形模糊數(shù)．提出了一種新的基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法，將支付值為三角形模糊數(shù)的模糊二人零和對策的求解轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)α的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，所得最優(yōu)策略和對策值是三角形模糊數(shù)．

本文組織結(jié)構(gòu)如下，第二部分是預(yù)備知識，給出了三角形模糊數(shù)的定義、截集及運算法則，介紹了區(qū)間數(shù)的比較，并提出了一種新的基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法．第三部分運用三角形模糊數(shù)的比較方法將模糊二人零和對策的求解轉(zhuǎn)化為求解帶有參數(shù)α的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型．第四部分給出了關(guān)于商業(yè)銷售策略選擇的一個數(shù)值實例，并建立模型，給出了數(shù)值結(jié)果．

2 預(yù)備知識

2．1 三角形模糊數(shù)的截集及運算法則

若≥0，，a和ā至少有一個不為零，則稱＝（，a）是一個非負的三角形模糊數(shù)．

三角形模糊數(shù)＝，a，）的α－截集定義為（α）＝｛（x）≥α｝ ，其中α∈［0，1］．記為（α）＝［aL（α），aR（α）］．

2．2 區(qū)間數(shù)的比較

區(qū)間是實數(shù)集R的一個特殊子集［7］，記做＝［aL，aR］＝｛x∈R≤x≤aR｝，其中aL和aR分別是區(qū)間∈的左、右端點．區(qū)間數(shù)∈也可表示為＝〈m（∈），r（∈）〉，其中m（∈）＝（aL＋aR）／2是區(qū)間數(shù)∈的中點，r）＝（aL－aR）／2是區(qū)間數(shù)∈的半徑．

設(shè)＝［aL，aR］和＝［bL，bR］是兩個區(qū)間［7］．‘∈≤’是一個模糊集，它的隸屬函數(shù)為：同樣地，也可以定義∈≥I．

區(qū)間不等式≤的弱等價形式為［7］：

這里α∈［0，1］，表示違背區(qū)間不等關(guān)系≤的可接受程度．

同樣地，定義區(qū)間不等式≥的弱等價形式為：

2．3 基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法

基于區(qū)間數(shù)的比較，給出一種新的三角形模糊數(shù)的排序方法．

1）若a＜b，，且φ（）≤α，則

2）若a＞，且φ（）≤α，則

3）若a＝，ā＝，則

等價于下面的區(qū)間多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

上述規(guī)劃問題可等價于下面的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

這里Ω1是變量在實際問題中應(yīng)該滿足的約束集合．

同樣地，模糊目標(biāo)函數(shù)的極小值問題可描述為：

可等價于下面的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

這里Ω2是變量在實際問題中應(yīng)該滿足的約束集合．

3 模糊二人零和對策及求解方法

設(shè)局中人1和2分別具有純策略集S1＝｛α1，α2，…，αm｝與S2＝｛β1，β2，…，βn｝，當(dāng)局中人1和2分別選取純策略αi∈S1、βj∈S2時，局中人1獲得的支付值為三角形模糊數(shù)＝）（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n） ，而局中人2相應(yīng)地損失的支付值為三角形模糊數(shù)＝．局中人1在所有局勢下的支付值可直觀地用表表示為：

假定局中人1和2分別以概率xi和yj選取純策略αi∈S1和βj∈S2，記x＝｛x1，x2，…，xm｝T，y＝｛y1，y2，…，yn｝T，稱x和y分別為局中人1和2的混合策略．稱

和Y＝0，i＝1，…，n｝分別為局中人1和2的混合策略空間．

在混合策略（x，y）（x∈X，y∈Y）下，局 中人1和2的對策值分別為

根據(jù)前面所述理論，模糊二人零和對策的最優(yōu)解可以通過下面一對區(qū)間數(shù)學(xué)規(guī)劃來求解：

和

根據(jù)定義4，區(qū)間數(shù)學(xué)規(guī)劃模型（6）可轉(zhuǎn)化為下面的多目標(biāo)規(guī)劃模型：

多目標(biāo)規(guī)劃模型有許多的求解方法，在這里，用加權(quán)平均法可將上述多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為下面的帶有參數(shù)α的單目標(biāo)規(guī)劃：

根據(jù)定義4，并用加權(quán)平均法，區(qū)間多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型（7）可轉(zhuǎn)化為下面的帶有參數(shù)α數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：

4 數(shù)值分析

現(xiàn)有公司C1和C2欲占領(lǐng)某一產(chǎn)品市場，各自擬定下一年度產(chǎn)品的銷售計劃，以便增加自己產(chǎn)品在市場上的銷售量．假定該市場對這類商品的需求為大致穩(wěn)定，故一家公司銷售量增加，則會引起另一家公司銷售量減少．每家公司都在考慮采用兩種策略之一來增加自己產(chǎn)品在市場上的銷售量．策略α1：進行產(chǎn)品廣告宣傳；策略α2：改進產(chǎn)品包裝．兩個公司之間策略的選擇可以看成是二人零和對策，即公司C1和C2分別看成是兩個局中人．由于市場環(huán)境的復(fù)雜性和信息的不確定性，兩個公司管理者只能給出下一年度各種局勢下銷售結(jié)果的近似值．假設(shè)

公司C1在所有局勢下的支付值表示為如下的三角形模糊數(shù)：

利用前面所述理論，根據(jù)式（9）和（10）可分別建立局中人1和局中人2的期望收益模型如下：

和

對于給定的參數(shù)α∈［0，1］的特定的值，利用線性規(guī)劃的單純形法［8，9］分別求解式（11）和（12），可得到局中人1的最小最大策略x＊和其最小收益與局中人2的最大最小策略y＊及其最大損失wˉ＊＝，不妨設(shè)α＝0．6，可以得到x＊T＝（0．791 7，0．208 3），v?＊＝（155，161，165），y＊T＝（0．262 3，0．737 7），wˉ＊＝（157，162，166）．顯然

5 結(jié)束語

根據(jù)Li［7］提出的區(qū)間數(shù)的比較方法，提出了一種新的基于區(qū)間數(shù)比較的三角形模糊數(shù)的排序方法，將支付值為三角形模糊數(shù)的模糊二人零和對策的求解轉(zhuǎn)化為求解一個含有參數(shù)α的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型，所得的局中人的最優(yōu)策略和對策值是三角形模糊數(shù)，這個結(jié)果與 Bector et al．［2］，Campos［3］，Campos et al．［4］中所求得的局中人的最優(yōu)策略和對策值是不同的．盡管所提出的模型和方法在一個數(shù)值實例中具體闡述了，這種方法也可以運用于解決其他的競爭對策問題，如在經(jīng)濟，金融和管理等領(lǐng)域．此外，提出的三角形模糊數(shù)的排序方法可以推廣至梯形模糊數(shù)的排序，并且提出的排序方法和模型也可以運用到支付值為三角形模糊數(shù)的多目標(biāo)二人零和對策．今后將進一步研究更多有效的求解模糊二人零和對策的方法．

［1］李登峰．模糊多目標(biāo)多人決策與對策［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2005．

［2］C R BECTOR，S CHANDRA，V VIDYOTTAMA．Duality in linear programming with fuzzy parameters and matrix games with fuzzy pay－offs［J］．Fuzzy Sets and Systems，2004，146（2）：253－269．

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［5］M CLEMENTE，F(xiàn) R FERNANDEZ，J PUERTO．Pareto－optimal security strategies in matrix games with fuzzy payoffs［J］．Fuzzy Sets and Systems，2011，176（1）：36－45．

［6］D F LI，F(xiàn) Y HONG．Solving constrained matrix games with payoffs of triangular fuzzy numbers［J］．Computers and Mathematics with Applications，2012，64（4）：432－446．

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［8］王正東．?dāng)?shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗［M］．北京：科學(xué)出版社，2010．

［9］張宜華．精通 matlab5［M］．北京：清華大學(xué)出版社，1999．