活用“1”的代換解題

邱芳忠

（江西省信豐縣第七中學）

“1”的作用在高中數(shù)學解題中不可小視，代換的得當，會給你的解題帶來便捷，下面就以實例為據(jù)，來談談“1”到底能給解題帶來多大的便捷？

一、“1”在比較兩個實數(shù)的大小中的代換

評注：比較兩個既不同底數(shù)與又不同冪的指數(shù)大小，除了要用到指數(shù)函數(shù)的單調性，還要引進“1”作為中間量，以起到紐帶作用.

例2.比較兩個數(shù)log2.13 與log3.12.9 的大小.

解：首先考查函數(shù)y=log2.1x，在x∈R+上是增函數(shù)，∵3＞2.1，∴l(xiāng)og2.13＞log2.12.1=1. 然后考查函數(shù)y=log3.1x，在x∈R+上是增函數(shù)，∵2.9＜3.1，∴l(xiāng)og3.12.9＜log3.13.1=1.綜上所述，log2.13＞log3.12.9.

評注：比較兩個既不同底又不同真數(shù)的對數(shù)的大小，除了要用到對數(shù)函數(shù)的單調性，還要引進“1”作為中間量，以起到紐帶作用.

二、“1”在三角函數(shù)式化簡與求值中的代換

評注：“1”代換tan45°后利用兩角差的正切公式進行求值.

評注：“1”代換后首先要進行弦化切，然后再代值.

三、“1”在證明不等式中的代換

證明：∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1,

當且僅當a=b=c 時，等號成立.

評注：解答本題可以先使用“1”的代換，再轉化使用重要不等式來證明.

四、“1”在求函數(shù)最值中的代換

故當x=4，y=12 時，（x+y）min=16.

評注：解答本題可靈活使用“1”的代換，再用基本不等式求得和的最小值.