徐騰飛， 白雪濛， 趙人達(dá)

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031)

隨著高強(qiáng)材料的使用與結(jié)構(gòu)斷面日益輕薄化 的出現(xiàn)，正常使用極限狀態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的影響作用日益增強(qiáng)［1］.變形作為正常使用極限狀態(tài)的重要指標(biāo)之一，采用確定性分析方法很難得到與試驗(yàn)相吻合的結(jié)果［2］.事實(shí)上，混凝土的力學(xué)特性存在隨機(jī)性，這將導(dǎo)致鋼筋混凝土梁的變形也具有隨機(jī)特性，變形結(jié)果很難精確預(yù)測(cè)［3］.在結(jié)構(gòu)分析中，引入隨機(jī)分析方法，有助于改善這一狀況.

目前，對(duì)于混凝土結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性研究，主要針對(duì)結(jié)構(gòu)承載能力隨機(jī)特性，而對(duì)于混凝土結(jié)構(gòu)變形的隨機(jī)特性研究較少［4］.文獻(xiàn)［5］分析了鋼筋混凝土梁開裂后短期變形的隨機(jī)特性，指出鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)變形的變異系數(shù)為25% ～30%.A.Scanlon提出了基于概率的結(jié)構(gòu)變形控制方法［6］.文獻(xiàn)［7］討論了混凝土的不確定特性(包括:彈性模量、抗拉強(qiáng)度、時(shí)變效應(yīng)等)對(duì)結(jié)構(gòu)變形計(jì)算的影響.Bong-Seob Choi等利用蒙特卡洛法研究了給定荷載下鋼筋混凝土梁變形的隨機(jī)特性，該研究發(fā)現(xiàn)鋼筋混凝土梁在不同的荷載下，變形的概率密度函數(shù)呈雙峰或者單峰形態(tài)，概率密度函數(shù)形態(tài)與荷載、截面配筋率相關(guān)［2］.

文獻(xiàn)［8］假設(shè)鋼筋混凝土梁的變形概率密度形態(tài)為正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布，考察了鋼筋混凝土梁的正常使用極限狀態(tài)的可靠度.文獻(xiàn)［9］與文獻(xiàn)［10］分別利用規(guī)范公式對(duì)鋼筋混凝土梁與鋼筋混凝土橋梁進(jìn)行了正常使用極限狀態(tài)可靠度分析.然而文獻(xiàn)［8-10］均未研究鋼筋混凝土梁變形的隨機(jī)特性.

文獻(xiàn)［11］利用響應(yīng)面法結(jié)合蒙特卡洛抽樣對(duì)鋼筋混凝土柱的長(zhǎng)期變形進(jìn)行概率預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)偏心受壓柱最大應(yīng)力接近混凝土抗拉強(qiáng)度時(shí)，抗拉強(qiáng)度對(duì)鋼筋混凝土柱長(zhǎng)期變形的隨機(jī)性影響很大.文獻(xiàn)［12］研究了最大名義拉應(yīng)力接近混凝土抗拉強(qiáng)度時(shí)的鋼筋混凝土梁的隨機(jī)變形特性，并采用分片響應(yīng)面的方法，解決了開裂非線性引起的鋼筋混凝土梁剛度突變所導(dǎo)致的響應(yīng)面不光滑問題.

以上關(guān)于鋼筋混凝土梁變形隨機(jī)性研究是基于給定荷載條件下的，而混凝土梁在服役期間，實(shí)際荷載是在正常使用荷載范圍內(nèi)變化的.在有明顯差異的載荷條件下，不僅確定性的變形有較大的差異，同時(shí)其變形的隨機(jī)特性也可能不同.因此，本文擬在以往研究的基礎(chǔ)上，開展鋼筋混凝土梁加載全過程變形的隨機(jī)分析.以探求正常使用極限狀態(tài)內(nèi)鋼筋混凝土梁變形的隨機(jī)特性變化規(guī)律.

相比于其他材料，鋼筋混凝土有其自身的特點(diǎn).在正常使用荷載的范圍內(nèi)，普通鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)通常處于開裂狀態(tài).混凝土截面開裂將引起截面剛度突變，勢(shì)必影響其結(jié)構(gòu)行為.因此，正常使用荷載下的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)變形隨機(jī)分析必須考慮開裂引起的非線性效應(yīng).本文采用基于退化梁理論的鋼筋混凝土非線性有限元方法，利用蒙特卡洛抽樣技術(shù)，建立了鋼筋混凝土梁的開裂非線性變形的隨機(jī)分析模型.

1 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析

本文采用鋼筋混凝土非線性有限元分析軟件CSBNLA進(jìn)行鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)開裂非線性的變形預(yù)測(cè).退化梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo)采用弱化的平截面假設(shè)，不再假定截面垂直于變形后梁軸線，以此反映剪切變形.退化梁?jiǎn)卧瓤梢苑治鰷\梁，也可分析深梁［13］.

程序采用分塊積分技術(shù)，能有效地考慮混凝土開裂等非線性結(jié)構(gòu)行為.鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想彈塑性模型，而混凝土材料特性采用一維的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來(lái)描述［12-15］，如圖1所示.

圖1 混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.1 Stress-strain relationship for concrete

受壓區(qū)混凝土應(yīng)力-應(yīng)變(σ-ε)關(guān)系描述為

式中:Ec為混凝土材料的初始彈性模量;

fc為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度峰值.

在考慮拉伸剛化效應(yīng)的前提下，受拉區(qū)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

2 隨機(jī)分析模型

本文擬采用Bresler經(jīng)典試驗(yàn)梁為分析對(duì)象.考慮的隨機(jī)源包括:混凝土的抗壓強(qiáng)度f(wàn)c，混凝土的彈性模量Ec，混凝土的抗拉強(qiáng)度f(wàn)r，拉伸剛化模型 β，鋼筋彈性模量 Es，屈服強(qiáng)度 fy，外觀尺寸 b、h0，施加荷載F.

表1給出了各隨機(jī)變量的隨機(jī)特性，其中fcm為抗壓強(qiáng)度均值，Esm為鋼筋彈性模量均值，fym為鋼筋屈服強(qiáng)度均值，bm為截面寬度均值，h0m為截面有效高度均值，F(xiàn)m為施加荷載均值.

表1 隨機(jī)變量的隨機(jī)特性Tab.1 Statistical properties of random variables

本文采用蒙特卡洛抽樣的方法進(jìn)行鋼筋混凝土梁受力全過程隨機(jī)分析，每次加載的非線性分析次數(shù)為10000次.由于蒙特卡洛法需進(jìn)行大量的非線性計(jì)算，為提高計(jì)算效率，故采用并行算法在高級(jí)計(jì)算工作站上完成.

3 鋼筋混凝土梁變形隨機(jī)分析

3.1 模型介紹

1963年Bresler與Scordelis教授完成了一組鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁加載試驗(yàn).這批試驗(yàn)梁被認(rèn)為是經(jīng)典試驗(yàn)梁，并被大量的鋼筋混凝土有限元分析模型作為校核依據(jù)［17-19］.

試驗(yàn)梁為矩形斷面，尺寸及鋼筋位置如圖2所示.

圖2 試驗(yàn)梁斷面尺寸Fig.2 Sizes of beam cross section

混凝土抗壓強(qiáng)度為22.6 MPa，抗拉強(qiáng)度為3.97 MPa;鋼筋的抗拉強(qiáng)度為555 MPa，極限強(qiáng)度為933 MPa，彈性模量為218 GPa.受拉鋼筋單根面積為645 mm2.

試驗(yàn)梁為簡(jiǎn)支梁，跨度為3.66 m.采用跨中單點(diǎn)加載，試驗(yàn)結(jié)果表明極限承載力Fu為334 kN.本文擬分析正常使用荷載下梁體變形的隨機(jī)特性，故最大荷載取為216 kN.

3.2 加載過程梁體變形的隨機(jī)特性

圖3給出了跨中位置加載全過程荷載位移曲線的試驗(yàn)值、隨機(jī)分析均值以及隨機(jī)分析的2.28%與 97.72%分位數(shù)值.由圖3可以看出，試驗(yàn)值落在2.28% ～97.72%的概率區(qū)間內(nèi)，且與隨機(jī)分析的均值曲線比較吻合，這也證明了本文隨機(jī)分析模型的正確性.

圖3 試驗(yàn)梁跨中荷載位移曲線Fig.3 Load vs deflection at half span of test beam

考慮到鋼筋混凝土加載過程中概率分布形態(tài)在發(fā)生變化，故利用概率區(qū)間定義離散系數(shù)

式中:

Δu為跨中變形的97.72%分位值;

Δs為跨中變形的2.28%分位值;

Δmean為跨中變形均值.

當(dāng)變形響應(yīng)為正態(tài)分布時(shí)，離散系數(shù)λ退化為σ/Δmean，即傳統(tǒng)的變異系數(shù).

圖4給出了加載過程中，跨中位移的離散系數(shù)變化規(guī)律，同時(shí)也給出了開裂荷載的概率密度曲線以及開裂荷載的均值 Fcr，mean、2.28% 分位數(shù)值Fcr，s與 97.72% 分位數(shù)值 Fcr，u.由圖 4 可以看出，在加載過程中，跨中位移的離散系數(shù)呈先增大后減小，最終趨于穩(wěn)定的趨勢(shì).而離散系數(shù)出現(xiàn)峰值的區(qū)間恰好與開裂荷載高概率區(qū)間吻合.

選擇A點(diǎn)(加載起點(diǎn))、B點(diǎn)(開裂荷載均值)與C點(diǎn)(加載終點(diǎn))繪制3個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)荷載下跨中變形的概率密度曲線，如圖5所示.

圖4 跨中變形的離散系數(shù)與開裂荷載的概率密度曲線Fig.4 Coefficient of variability of deflection at half span and probability density of cracking load

圖5 跨中變形的概率密度曲線Fig.5 Probability density of deflection at half span

由圖5可以看出，在A點(diǎn)與C點(diǎn)，跨中撓度的概率密度曲線呈現(xiàn)單峰形態(tài)，類似正態(tài)分布，而在B點(diǎn)(開裂荷載均值)，跨中撓度的概率密度曲線呈現(xiàn)出典型的雙峰分布形態(tài).當(dāng)梁體所受荷載在開裂荷載的高概率區(qū)間內(nèi)時(shí)，由于材料參數(shù)的隨機(jī)性，梁體的實(shí)際開裂荷載為隨機(jī)變量，故梁體截面開裂與不開裂的幾率相當(dāng).而混凝土截面開裂前后剛度差異較大，對(duì)應(yīng)的梁體變形也有很大不同，梁體變形的概率密度曲線呈雙峰形態(tài)，變異性大.

3.3 參數(shù)分析

配筋率是鋼筋混凝土梁的重要性能指標(biāo)，其不僅影響鋼筋混凝土梁的極限承載能力，也影響鋼筋混凝土梁開裂后的剛度，從而影響梁體的變形.

荷載加到216 kN前，不同配筋率梁體的跨中截面荷載與位移均值曲線如圖6所示.由圖中可以看出，不同配筋率下，開裂前的變形曲線基本一致，但開裂后由于配筋率不同，導(dǎo)致開裂程度的差異，荷載位移曲線差異很大.

圖6 不同配筋率下跨中撓度均值曲線Fig.6 Mean value of deflection at half span with different steel ratios reinforcement ratios

圖7所示為配筋率分別為0.75%(最小配筋率)、1.50%(試驗(yàn)梁)與 2.00%(最大配筋率)時(shí)，跨中變形的離散系數(shù)隨荷載的變化關(guān)系曲線.

圖7 不同配筋率下跨中撓度變形的離散系數(shù)Fig.7 Coefficient of variability of deflection at half span in loading process with different reinforcement ratios

從圖7可以看出，不同配筋率的鋼筋混凝土梁跨中撓度離散系數(shù)峰值出現(xiàn)位置基本相同，但峰值大小有明顯差異，配筋率與峰值成反比例關(guān)系.隨著荷載的增大，不同配筋率的鋼筋混凝土梁跨中撓度的離散系數(shù)差異迅速減小，最終趨于一致.

由3.2節(jié)分析可知，離散系數(shù)增大是截面開裂的隨機(jī)性引起的，而離散系數(shù)出現(xiàn)峰值的位置對(duì)應(yīng)著截面開裂荷載的高概率區(qū)間.不同配筋率的混凝土截面開裂荷載基本一致，故不同配筋率的鋼筋混凝土梁跨中撓度峰值位置也基本一致.在截面開裂的瞬間，受拉開裂混凝土原本承擔(dān)的荷載全部轉(zhuǎn)化到鋼筋承擔(dān)，鋼筋的應(yīng)力與變形均迅速增大，配筋率越低，增大幅度越大.因此配筋率越低，跨中撓度離散系數(shù)峰值越大.

由表1中數(shù)據(jù)可以看出，構(gòu)成鋼筋混凝土梁變形隨機(jī)性的各個(gè)不確定性因素中，混凝土材料的離散性遠(yuǎn)大于鋼筋材料的離散性.隨著荷載的增大，混凝土逐漸退出工作，混凝土對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響逐漸減小.故跨中撓度的變異性逐漸減小，最終趨于一致.

4 結(jié)論

本文對(duì)鋼筋混凝土試驗(yàn)梁加載全過程的變形概率特性展開研究，結(jié)果表明:

(1)本文隨機(jī)分析模型計(jì)算的荷載位移曲線均值與經(jīng)典試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，試驗(yàn)點(diǎn)均落在本文給出的概率區(qū)間內(nèi)，證明了本文分析模型的正確性.

(2)鋼筋混凝土梁在加載過程中，變形的變異性并非恒定不變的.當(dāng)荷載位于開裂荷載高概率區(qū)間時(shí)，梁體變形的變異性迅速增大并達(dá)到峰值.隨著荷載的增大，梁體變形的變異性開始減小，最終保持不變.由于加載過程中位移變異性的變化，當(dāng)計(jì)算混凝土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)可靠度時(shí)，臨界狀態(tài)的可靠度指標(biāo)可能不是加載過程中最低的可靠度指標(biāo).

(3)不同配筋率的鋼筋混凝土梁開裂后變形的均值有明顯差異.而變形的變異性主要出現(xiàn)在開裂荷載的高概率區(qū)間內(nèi).此時(shí)，配筋率越低，變異性越大.隨著荷載的增大，梁體變形的變異性反而趨于一致.

［1］Bljuger Ephraim. Models ofR.C structures for probabilistic serviceability analysis［J］.Computer and Structures，1998，67:19-27.

［2］CHOI B S，SCANLON A，JOHNSON P A.Monte Carlo simulation of immediate and time-dependent deflections ofreinforced concrete beamsand slabs［J］. ACI Structural Journal，2004，101(5):633-641.

［3］KIM J J，TAHA M M R，NOH H C，et al.Reliability analysis to resolve difficulty in choosing from alternative deflection models of RC beams［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013，37(1):240-252.

［4］KHOR E H，ROSOWSKY D V，STEWART M G.Probabilistic analysis of time-dependent deflections of RC flexural members［J］. Computer and Structures，2001，79(16):1461-1472.

［5］RAMSAY R J，MIRZA S A，MACGREGOR J G.Monte Carlo study of short time deflections of reinforced concrete beams［J］.ACI Journal Proceedings，1979，79(8):897-918.

［6］SCANLON A，PINHEIRO L.Allowable deflections:The other side of the equation［J］.ACI SP，1992，133:111-120.

［7］TAHA M M R，HASSANAIN M A.Estimating the error in calculated deflections of HPC slabs:a parametric study using the theory of error propagation［J］.ACI SP，2003，210:65-92.

［8］唐鐵羽，趙國(guó)藩.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)可靠性分析［C］∥第六屆全國(guó)結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集:第2卷.廣州:［s.n.］，1997:98-108.

［9］趙羽習(xí)，金偉良.正常使用極限狀態(tài)下混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度的分析方法［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，36(6):674-679.ZHAO Yuxi，JIN Weiliang.Methods of reliability based on serviceability limited state for concrete structural members［J］.Journal of Zhejiang University，2002，36(6):674-679.

［10］孫曉燕，黃乘逵.既有鋼筋混凝土橋梁正常使用極限狀態(tài)可靠度分析［J］.湖南大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，33(4):21-25.SUN Xiaoyan， HUANG Chengkui. Methodsof reliability analysis based on serviceability limited state for existing reinforced concrete bridges［J］.Journal of Hunan University，2006，33(4):21-25.

［11］徐騰飛，向天宇，趙人達(dá).偏心鋼筋混凝土受壓柱長(zhǎng)期變形分析［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，49(4):626-630.XU Tengfei，XIANG Tianyu，ZHAO Renda.Longterm random deflection of eccentrically loaded RC column［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2014，49(4):626-630.

［12］徐騰飛，向天宇，白雪濛，等.基于分片響應(yīng)面的鋼筋混凝土梁變形隨機(jī)模擬［J］.工程力學(xué)，2014，31(11):170-174.XU Tengfei，XIANG Tianyu，BAI Xuemeng，et al.Stochastic simulation of reinforced concrete beams with a piecewise response surface［J］.Engineering Mechanics，2014，31(11):170-174.

［13］童育強(qiáng)，向天宇，趙人達(dá).基于退化理論的空間梁?jiǎn)卧邢拊治觯跩］.工程力學(xué)，2006，23(1):33-37.TONG Yuqiang，XIANG Tianyu，ZHAO Renda.A degenerated 3D beam elementforfinite element analysis［J］.Engineering Mechanics，2006，23(1):33-37.

［14］馬坤，向天宇，趙人達(dá)，等.高速鐵路鋼筋混凝土拱橋長(zhǎng)期變形的隨機(jī)分析［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2012，45(11):141-146.MA Kun， XIANG Tianyu， ZHAO Renda， et al.Stochastic analysis of long-term deformation of reinforced concrete arch bridges for high-speed railways［J］.China Civil Engineering Journal，2012，45(11):141-146.

［15］劉蕾蕾，白雪濛，徐騰飛，鋼筋混凝土梁時(shí)變變形的概率密度演化［C］∥第23屆全國(guó)結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集:第Ⅱ冊(cè).蘭州:［s.n.］，2014:80-86.

［16］VAL D V，CHERNIN L.Serviceability reliability of reinforced concrete beams with corroded reinforcement［J］.Journal of Structural Engineering.2009，19(3):896-905.

［17］GOEL R，KUMAR R，PAUL D K.Comparative study of various creep and shrinkage prediction models for concrete［J］.Journal of Materials in Civil Engineering.2007，19(3):249-260.

［18］BRESLER B，SCORDELIS A C.Shear strength of reinforced concrete beams［J］. Journal Proceedings.1963，60(1):51-72.

［19］VECCHIO F J，SHIM W.Experimental and analytical reexamination of classic concrete beam test［J］.Journal of Structural Engineering，2004，130(3):460-469.