劉依松 陳燈紅

（1.三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學 土木與建筑學院，湖北 宜昌 443002）

系統(tǒng)評價重力壩抗震安全性的關(guān)鍵之一是解決大壩與地基的動力相互作用的問題.Clough對此提出了一種無質(zhì)量地基模型，認為大壩附近一定范圍的地基是線彈性、無質(zhì)量的、地震激勵均勻作用于截斷邊界上.這種模型雖在工程中應用較廣，但存在局限性：①地基實際上是有質(zhì)量的半無限介質(zhì)，地震波動能量向無限遠處散逸，即無限地基的幅射對散射地震波動能量將起到一種吸能作用；②深山峽谷中的高壩，其基底延伸較長，沿壩基交界面的地震動振幅和相位差異明顯，高壩空間整體作用效應明顯，忽略這種不均勻性將難以反映壩體的實際地震反應.為了克服這些不足，近年來，Lysmer等［1］提出了黏性邊界，Deeks等［2］提出了時域解耦的黏彈性邊界，廖振鵬等［3］提出了透射邊界等，比例邊界有限元法［4－5］也在發(fā)展之中.但黏性邊界僅考慮邊界吸能阻尼，未計入介質(zhì)彈性恢復影響，易致低頻漂移.透射邊界常會高頻失穩(wěn)，需增設(shè)許多邊界節(jié)點和單元.黏彈性人工邊界條件基于衰減散射波的影響，在人工邊界上設(shè)置并聯(lián)彈簧和阻尼器，使得低頻精度好，高頻穩(wěn)定性好.采用基于衰減散射波的黏彈性思想，建立了重力壩－地基系統(tǒng)［6］二維平面黏彈性模型，采用ANSYS中的APDL參數(shù)化設(shè)計語言進行重力壩動力響應分析.

1 研究方法

1.1 黏彈性人工邊界

將波陣面方程引入幾何擴散因子，Deeks［2］、劉晶波［7－9］推衍出反映無限介質(zhì)彈性恢復性能的黏彈性人工邊界條件.將平面波和遠場散射波混合經(jīng)驗疊加且考慮多角度透射，杜修力［10－11］改進了黏彈性邊界公式，對于波源問題、衰減散射波問題均有較好的計算精度.對于二維黏彈性邊界，剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)為

式中，KBN、KBT分別表示法向和切向彈簧系數(shù)，rb為散射波源至人工邊界的距離，λ為拉梅常數(shù)，G為介質(zhì)剪切模量，ρ為介質(zhì)質(zhì)量密度，并具有G＝和λ＋2G＝的關(guān)系；CBN、CBT分別為表示法向和切向阻尼系數(shù)，cp、cs分別為P波和S波波速，α、β為無量綱參數(shù)，分別取0.8、1.1.

黏彈性人工邊界作為一種應力連續(xù)分布的人工邊界條件，可采用與普通單元類似的形函數(shù)進行離散，結(jié)點i處的形函數(shù)為

位移形函數(shù)矩陣為

黏彈性人工邊界上分布的彈性矩陣為

單元的剛度矩陣公式為

經(jīng)式（5）計算得到，黏彈性人工邊界單元的剛度矩陣如式（6），阻尼矩陣具有相同的形式，只需將剛度系數(shù)K用相應的阻尼系數(shù)C替換即可.

其中，l為黏彈性人工邊界單元的長度.

1.2 地震荷載輸入方法

黏彈性邊界能夠吸收由近場向遠域散射的外行波，將外源地震波引入計算區(qū)域時，只需在人工邊界處施加自由場荷載即可，可以把近域地基作為半無限空間自由場地基的子結(jié)構(gòu)，由其在入射地震波作用下的邊界相互作用力給出［10－11］

圖1 壩－地基系統(tǒng)黏彈性邊界及自由場示意圖

自由場應力可由彈性理論求得，即

當在底邊界垂直入射P波時，底部的邊界條件為u＝0，v＝v0（t），則自由場在沿高度h處，自由場位移、速度可表示為入射波和反射波的疊加，即

式中，H為底邊界到自由表面的距離.

并且對于底部邊界，有h＝0，n＝［0－1］T，則將式（10）代入式（9）中，可得自由場應力σfb為

將式（10）、（11）代入式（8）中，等效荷載FB可求得，即

當在底邊界垂直入射SV波時，底部的邊界條件為u＝u0（t），v＝0，按照同樣的方法，等效荷載FB為

對于側(cè)邊界的自由場應力也可按類似的方法推導出.

2 數(shù)值實現(xiàn)與算例驗證

黏彈性人工邊界具有較多優(yōu)點，最主要的是和有限元的結(jié)合實現(xiàn)起來比較方便，只需在有限元模型人工邊界上結(jié)點的法向和切向分別設(shè)置并聯(lián)的彈簧單元和阻尼器單元.在ANSYS程序中，彈簧－阻尼器元件可以用COMBIN14單元來模擬，該單元具有彈簧和阻尼選項.值得一提的是，在實際的有限元實現(xiàn)過程中，各向邊界物理元件參數(shù)的實際取值等于式（1）給出的量值與對應有限元結(jié)點所代表網(wǎng)格面積的乘積.利用ANSYS中的APDL參數(shù)化設(shè)計語言，編寫了實現(xiàn)黏彈性人工邊界的宏文件VSB.mac，程序流程圖如圖3所示.利用Fortran語言編寫了式（12）、（13）所示的加載子程序Load.for，可以方便地施加等效地震荷載.

圖2 彈性半空間網(wǎng)格圖

圖3 黏彈性人工邊界程序流程圖

為驗證上述黏彈性邊界單元及波動輸入方法程序的正確性，現(xiàn)采用均勻彈性半空間［12］受底部垂直入射SV波進行驗證.波動輸入采用的力學計算模型如圖2所示.介質(zhì)的力學參數(shù)為：彈性模量E＝13.23 GPa，泊松比ν＝0.25，質(zhì)量密度ρ＝2 700kg／m3，波速為cs＝1 400m／s，cp＝2 425m／s，計算區(qū)的范圍為762m×381m，有限元單元尺寸為19.05m×19.05 m，時間步長取為0.01s，入射波的方程見式（14）.

經(jīng)過計算得到 A（－381，381），B（0，381），C（381，381），D（381，0），E（0，0）等5個點的x向位移時程，如圖4所示.

圖4 頂部和底部位移時程

從A、B、C 3個點的x向位移時程圖可以看出：A、B、C 3點的位移值相同，說明是由入射波和反射波共同引起的位移時程，且頂部的最大值為接近SV入射波幅值的2倍.從D、E兩個點的位移時程圖可以看出，D、E兩點位移值相同，位移曲線的前半段為入射波引起的位移時程，后半段為反射波引起的位移時程.5個點的解均與理論解相吻合.因此，在ANSYS編寫的黏彈性邊界單元及實現(xiàn)波動輸入子程序是正確的.

3 工程應用

某水電站具有發(fā)電、防洪、航運等綜合效益，屬Ⅰ等大（1）型工程，大壩為碾壓混凝土重力壩，與泄水建筑物同為1級建筑物，防洪標準按500年一遇設(shè)計，10 000年一遇校核.7孔溢流壩布置于河床中央，溢流壩段右側(cè)為擋水壩段，壩段寬22m，壩頂寬18m，下游壩坡1∶0.73.上游壩坡在高程270.00m以上為直立坡、以下為1∶0.25的斜坡，壩體橫剖面見圖5所示.壩址的地震基本烈度為7度，大壩按8度地震控制，設(shè)計烈度為8度，設(shè)計地震加速度為0.2g.按照本文分析方法，結(jié)合波動輸入子程序，在正常蓄水位條件下，對大壩－地基系統(tǒng)進行考慮地基輻射阻尼效應的抗震分析，有限元網(wǎng)格如圖6所示.

圖5 壩體位移和應力的關(guān)鍵部位

圖6 壩體網(wǎng)格圖

在計算過程中，地震荷載不再按照慣性力輸入，而是將合成的人工地震波及反應譜（見圖7）加速度轉(zhuǎn)化為位移、速度，然后求得自由場應力，進行等效地震荷載輸入.輸入的各向位移、速度如圖8所示.動力時程分析各特征點的位移、應力結(jié)果見表1，不同地震輸入模型下壩體位移時程比較如圖9所示，壩體關(guān)鍵部位的應力比較如圖10所示.

圖7 合成的人工地震波及反應譜

圖8 輸入的各向速度和位移

圖9 不同地震輸入模型位移值比較

圖10 不同地震輸入模型應力值比較

由表1可知，考慮了黏彈性人工邊界后的無限域地基輻射阻尼影響的地震響應分析所得到的大壩－地基動力響應峰值比固定邊界無質(zhì)量地基模型的所得結(jié)果減小了4%～38%.

表1 特征點位移、應力峰值比較

4 結(jié) 論

1）在有限元模型人工邊界上結(jié)點的法向和切向分別設(shè)置一系列并聯(lián)的彈簧和阻尼器單元，以考慮基于衰減散射波的地基輻射阻尼的影響，利用ANSYS中的APDL參數(shù)化設(shè)計語言，編寫實現(xiàn)黏彈性人工邊界的宏文件，對重力壩－地基系統(tǒng)進行了動力響應分析.

2）與無質(zhì)量地基模型相比，考慮了黏彈性人工邊界后的無限域地基輻射阻尼影響的地震響應分析的大壩－地基動力響應峰值降低了4%～38%.

3）無質(zhì)量地基模型并非是有限的、線彈性的、無質(zhì)量的均勻作用于截斷邊界上，而是夸大了結(jié)構(gòu)的動力響應，所得成果偏于保守，需要改進和優(yōu)化.在進行動力響應分析時，考慮無限域地基的輻射阻尼影響更符合工程實際.

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