姚進(jìn)

[摘 要]APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基等提出的一種建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的建立分為操作A、過(guò)程P、對(duì)象O、圖式S四個(gè)階段，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐?；谶@一理論，以負(fù)數(shù)的概念教學(xué)為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)APOS理論的由來(lái)、發(fā)展及其內(nèi)涵作簡(jiǎn)單闡述。

[關(guān)鍵詞]APOS理論 概念教學(xué) 負(fù)數(shù) 教學(xué)設(shè)計(jì)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）20-063

一、研究背景

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它利用符號(hào)語(yǔ)言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念。概念是對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，只有正確理解概念，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)。在概念教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識(shí)緣起、發(fā)展、演變的過(guò)程，以此幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生積極建構(gòu)知識(shí)，獲得概念。

在數(shù)的發(fā)展過(guò)程中，負(fù)數(shù)是數(shù)系的一個(gè)重要組成部分，之前負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)安排在初中一年級(jí)。由于“正數(shù)”思考方式的影響，學(xué)生在初次接觸與正數(shù)相反的負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)是有難度的，負(fù)數(shù)概念是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。所以，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中對(duì)這部分內(nèi)容作了調(diào)整，在義務(wù)教育第二學(xué)段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”提出“在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會(huì)用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量”，提前了負(fù)數(shù)概念的出現(xiàn)，為有理數(shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆。因此對(duì)負(fù)數(shù)概念教學(xué)的研究有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

二、理論基礎(chǔ)

根據(jù)皮亞杰研究的建構(gòu)主義背景下，美國(guó)的杜賓斯基等人提出了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型。學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行心理建構(gòu)，建構(gòu)過(guò)程要通過(guò)四個(gè)階段：階段一：操作或活動(dòng)（Action）；階段二：過(guò)程（Process）；階段三：對(duì)象（Object）；階段四：概型（Scheme）?！安僮鰽”是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)，是理解概念的一個(gè)必要條件。通過(guò)活動(dòng)，學(xué)生親身感受概念的直觀背景和概念與概念之間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)換感知對(duì)象，為過(guò)程階段提供感性的素材?！斑^(guò)程P”是學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、內(nèi)化、描述并反思活動(dòng)，抽象出概念所特有的內(nèi)涵?！皩?duì)象O”是通過(guò)前面的抽象，認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)，賦予其形式化的定義及符號(hào)，成為一個(gè)具體的對(duì)象。在后繼的學(xué)習(xí)中，以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)。“圖式S”是在頭腦中形成綜合的心理圖式。在概念形成的整個(gè)過(guò)程中，相應(yīng)的活動(dòng)為圖式的形成提供了必要的基礎(chǔ)。單個(gè)圖式只是離散的操作、過(guò)程和對(duì)象，把相似的知識(shí)點(diǎn)分隔開(kāi)了，而多個(gè)圖式則注重各個(gè)圖式之間的銜接，把相似的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合成一個(gè)整體。這樣有利于知識(shí)點(diǎn)之間的遷移，學(xué)生也能理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，并建構(gòu)出知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，形成較大的圖式。

APOS理論下的概念教學(xué)設(shè)計(jì)遵循概念形成的一般規(guī)律，將概念形成的過(guò)程融入課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)階段，可以讓課堂教學(xué)成為學(xué)生構(gòu)建概念的思維發(fā)展平臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生的概念生成。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)：以負(fù)數(shù)概念教學(xué)為例

1.教材解析

日常生活中的實(shí)物計(jì)量產(chǎn)生了數(shù)的概念，能通過(guò)日常生活接觸到的數(shù)只有自然數(shù)，要經(jīng)過(guò)理性的思考才能獲得其他的數(shù)?，F(xiàn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)系擴(kuò)充是從某種測(cè)量的實(shí)際需要出發(fā)來(lái)說(shuō)明擴(kuò)充的必要性。本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”安排在五年級(jí)上冊(cè)第一單元，共編排4個(gè)例題，例1是溫度計(jì)上的數(shù)，例2與海拔有關(guān)，例3是盈利與虧損問(wèn)題，例4與數(shù)軸相聯(lián)系。負(fù)數(shù)是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了自然數(shù)并初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。負(fù)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生對(duì)實(shí)際生活中負(fù)數(shù)應(yīng)用的理解，生活數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)生活化，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

2.具體設(shè)計(jì)方案

（1）操作階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入概念。

任何教學(xué)設(shè)計(jì)都要結(jié)合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，教師引入概念時(shí)要考慮知識(shí)的直觀性和可接受性，更要思考所引概念的必要性。小學(xué)生認(rèn)知中已經(jīng)建立起上下、前后、左右等代表相對(duì)意義的概念，“負(fù)數(shù)”概念安排在五年級(jí)上冊(cè)第一單元，教材中選取“溫度”這一學(xué)生熟知的素材展開(kāi)教學(xué)。播放天氣預(yù)報(bào)片段，讓學(xué)生觀察溫度的表示和讀法，介紹溫度計(jì)的基本知識(shí)。隨后直接呈現(xiàn)例1三個(gè)城市的溫度，提問(wèn)兩個(gè)“20”表示的溫度一樣嗎？讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、交流、體驗(yàn)。

在操作階段，學(xué)生通過(guò)“活動(dòng)”親身體驗(yàn)，轉(zhuǎn)換感知到的對(duì)象，以實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)獲取信息，通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，教師精心設(shè)計(jì)并展開(kāi)操作活動(dòng)，提供足夠的時(shí)間和空間，學(xué)生在操作中感悟，體會(huì)生活生產(chǎn)中引入負(fù)數(shù)概念的必要性。

（2）過(guò)程階段：抽象概括，歸納概念。

出示例2直觀圖，說(shuō)明虛線表示的是海平面，觀察直觀圖，交流得到的相關(guān)信息。之后，教師明確用“正數(shù)”表示珠穆朗瑪峰的海拔高度，用“負(fù)數(shù)”表示吐魯番盆地的海拔高度，這是學(xué)生初步了解正數(shù)和負(fù)數(shù)是一對(duì)相反意義的概念的形象的直觀模型。自學(xué)課本，在彼此的交流中掌握讀和寫的方法。明白像+20、+8844.4這樣的數(shù)都是正數(shù)（正數(shù)前面的“+”可以省略不寫），像-20、-155這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù)。如此歸納出負(fù)數(shù)的概念。

概括概念實(shí)際上就是給概念下定義，運(yùn)用已知的概念去解釋新概念的內(nèi)涵。教學(xué)中應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生通過(guò)積極思考、自主探索、合作交流等多種方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（3）對(duì)象階段：深入理解，剖析概念。

通過(guò)前兩個(gè)階段的活動(dòng)與抽象，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)概念，并給出了形式化的定義及符號(hào)，成為一個(gè)具體的對(duì)象，學(xué)生將會(huì)運(yùn)用這個(gè)具體對(duì)象進(jìn)行之后新的活動(dòng)。在對(duì)象階段，參照例4進(jìn)行如下的教學(xué)：請(qǐng)三位學(xué)生到教室前，其中一位學(xué)生在某一位置固定，另外兩位學(xué)生分別向左、右相反方向走兩步，思考如何確定他們變化后的狀態(tài)。學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，要把負(fù)數(shù)作為具體對(duì)象在問(wèn)題情境中進(jìn)行活動(dòng)，建立數(shù)軸的概念。同時(shí)明確：0右邊的數(shù)都是正數(shù)，左邊的數(shù)都是負(fù)數(shù)。即正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0。

在對(duì)象階段，旨在引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)軸上的點(diǎn)與抽象的正數(shù)、0、負(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，感受數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)感受正數(shù)、負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的排列規(guī)律。進(jìn)入對(duì)象階段時(shí)，負(fù)數(shù)概念是一種靜態(tài)的、獨(dú)立的對(duì)象。通過(guò)比較，提取與負(fù)數(shù)概念相對(duì)應(yīng)的條件，闡明概念的內(nèi)涵與拓展，揭示其中暗含的數(shù)學(xué)思想，在整體上理解概念。

（4）圖式階段：實(shí)際應(yīng)用，形成圖式。

經(jīng)過(guò)三個(gè)階段后，負(fù)數(shù)概念已經(jīng)形成了一個(gè)包含具體對(duì)象、抽象過(guò)程、完整定義以及和其他概念（如零和負(fù)數(shù)等）既有差別又相互聯(lián)系的綜合的心理圖式。圖式階段要加強(qiáng)概念在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，以幫助學(xué)生形成穩(wěn)固的心理圖式。如“練一練”中收入和支出的記錄，要求說(shuō)出各項(xiàng)收入和支出的情況。這是一個(gè)生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，教學(xué)中通過(guò)實(shí)踐應(yīng)用加深學(xué)生對(duì)概念的理解，有意識(shí)地加強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

學(xué)生對(duì)操作、過(guò)程、對(duì)象以及自己認(rèn)知中原有的圖式進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼?，同化或順?yīng)產(chǎn)生平衡狀態(tài)，即新的圖式。這個(gè)階段，概念從具體中抽象出來(lái)，而在抽象的過(guò)程中又完善了對(duì)概念的定義，這是對(duì)以上三個(gè)階段的綜合。個(gè)體的思維和認(rèn)知狀況，在連續(xù)地建構(gòu)中已經(jīng)上升到更高的新的水平。

綜上，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一種對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、對(duì)象、圖式的建構(gòu)過(guò)程，教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該注意操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段的整體性，在教學(xué)中應(yīng)把“操作”（或活動(dòng)）作為指引，在“過(guò)程”中反思，在“對(duì)象”中深入，在“圖式”中整合，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的各個(gè)階段，分層次逐漸展開(kāi)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

（責(zé)編 羅 艷）