牛獻(xiàn)禮 中學(xué)高級(jí)教師，小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，現(xiàn)任教于北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

曾于1999年榮獲全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)第四屆評(píng)優(yōu)課一等獎(jiǎng)；多節(jié)錄像課由中央電教館、河南省電教館、北京市電教館等單位發(fā)行；2012年12月，在中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)第十五屆年會(huì)上執(zhí)教觀摩課；在省級(jí)以上教育刊物上發(fā)表教學(xué)論文、案例等100多篇，40余篇論文獲省、市級(jí)以上獎(jiǎng)勵(lì)，參與編著《名師如何觀察課堂》《名師課堂DNA解碼》（小學(xué)數(shù)學(xué)卷）、《可以這樣教數(shù)學(xué)》（數(shù)學(xué)名師的教學(xué)智慧）等多本教育類書籍，主持的五項(xiàng)教育科研成果獲省級(jí)一、二等獎(jiǎng)。

案例：加法交換律

課始，由成語(yǔ)故事“朝三暮四”引出等式“3+4=4+3”。

師：像這樣的等式你還能寫出幾個(gè)嗎？

生：5+9=9+5，

8+2=2+8，

1億+2億=2億+1億，

……

師：這樣的例子能舉出多少個(gè)？

生：無(wú)數(shù)個(gè)。

師：觀察這幾個(gè)等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)“=”兩邊的數(shù)都一樣，只不過(guò)顛倒了一下位置。

師：哦，這兩個(gè)加數(shù)的位置交換了。

生：“=”兩邊的結(jié)果都一樣。

師：你怎么知道兩邊是相等的啊？

生：可以算啊！

師：是不是每次都要算??？

生：不一定都要算。

師：那你為什么這么肯定“兩邊是相等的”？能不能找到一個(gè)“反例”，左右兩邊的兩個(gè)數(shù)相加后結(jié)果不一樣？

生：肯定找不到反例！因?yàn)樽笥覂蛇叺臄?shù)是一樣的，只不過(guò)是位置換了，加起來(lái)結(jié)果當(dāng)然一樣。

師：說(shuō)得有道理！我們可以舉出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的例子，但又舉不出一個(gè)“反例”，說(shuō)明這是加法的一個(gè)規(guī)律。誰(shuí)能把這個(gè)規(guī)律完整地說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：兩個(gè)數(shù)相加，交換它們的位置，結(jié)果不變。

師：總結(jié)得真好！知道這個(gè)規(guī)律叫什么名字嗎？它叫作“加法交換律”。

（出示）兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。這叫作加法交換律。

師：你能用自己喜歡的方式表示出加法交換律嗎？在練習(xí)紙上寫出來(lái)。

學(xué)生獨(dú)立思考，然后全班交流，讓學(xué)生講一講“自己是怎么想的”。

生1：□+○=○+□。

生2：A+B=B+A。

生3：梨+蘋果=蘋果+梨。

生4：用畫圖的方法，小樹葉+大樹葉=大樹葉+小樹葉。

追問(wèn)：你是畫圖表示的，我想問(wèn)問(wèn)，左邊的小樹葉跟右邊的小樹葉一樣嗎？大樹葉呢？

生4：小樹葉和小樹葉一樣，大樹葉和大樹葉一樣，代表相同的數(shù)。

生5：a+b=b+a。

生6：甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)。

……

師：同學(xué)們很愛(ài)動(dòng)腦筋，想出來(lái)這么多的表示方法！在數(shù)學(xué)上，習(xí)慣用字母表示加法交換律，通常寫成“a+b=b+a”。與前面用一段文字表示“加法交換律”相比，你更喜歡哪一種？為什么？

生：喜歡用字母表示，這樣簡(jiǎn)單、好記。

師：確實(shí)，用字母這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示更加簡(jiǎn)潔，也便于交流。所以，有人說(shuō)“數(shù)學(xué)語(yǔ)言是世界上最簡(jiǎn)潔、最美麗的語(yǔ)言”。

師：加法里有交換律，其他運(yùn)算中會(huì)有交換律嗎？先自己想一想，然后在小組里討論一下。

學(xué)生思考、討論后，全班交流。

生：乘法里有交換律，比如3×5=5×3。減法和除法里沒(méi)有交換律，5-3不能寫成3-5，6÷2不能寫成2÷6。

師：說(shuō)得真好！加法和乘法關(guān)系密切，乘法本身就是幾個(gè)相同加數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，所以，加法的交換律可以推廣到乘法里去，但減法和除法里就沒(méi)有交換律?？磥?lái)，規(guī)律有它的適用范圍，我們?cè)谑褂脮r(shí)一定要注意。

……

思考：

加法交換律乃至整個(gè)運(yùn)算律的教學(xué)，一般都是集中于“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和檢驗(yàn)”，尤其注重對(duì)相關(guān)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生“有了猜想，還需要舉很多例子來(lái)驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才準(zhǔn)確”，“舉例驗(yàn)證時(shí)，例子應(yīng)盡可能多，而且，應(yīng)盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論更可靠”。其實(shí)，無(wú)論就教材或是實(shí)際教學(xué)而言，所說(shuō)的“加法交換律”早已得到了默認(rèn)。如學(xué)生自一年級(jí)開始學(xué)習(xí)加法以來(lái)就反復(fù)地接觸到了9+1=1+9=10等事實(shí)，教師在教學(xué)中也常常會(huì)給學(xué)生這樣的建議：為了保證運(yùn)算的正確性，可以通過(guò)交換加數(shù)的位置對(duì)已有結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，如用328+289的計(jì)算去檢驗(yàn)289+328計(jì)算結(jié)果的正確性。在這樣的情況下，我們應(yīng)該怎樣進(jìn)行“加法交換律”的教學(xué)呢？

首先，教學(xué)不應(yīng)集中于“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和檢驗(yàn)”，而應(yīng)通過(guò)教學(xué)促成學(xué)生由原先對(duì)相關(guān)規(guī)律的不自覺(jué)認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向更為自覺(jué)的狀態(tài)。也就是說(shuō)，一方面，要鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言清楚地表述規(guī)律，包括由自然語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)渡；另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出自己的理解和感受，乃至給出自己的比喻。

其次，盡管小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格的證明，但對(duì)規(guī)律的驗(yàn)證也是必要的。教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作出自己的理解與說(shuō)明，并通過(guò)“可以舉出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的例子（正例），同時(shí)又舉不出一個(gè)反例”，幫助學(xué)生理解運(yùn)算律的合理性。

最后，對(duì)加法交換律（或其他運(yùn)算律）作出新的推廣或發(fā)展，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)相關(guān)規(guī)律的適用范圍，從而切實(shí)防止對(duì)規(guī)律的不恰當(dāng)推廣。

進(jìn)一步，由這節(jié)課的教學(xué)推想開去：我們應(yīng)當(dāng)用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)指導(dǎo)具體的教學(xué)。“在教一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候應(yīng)該把知識(shí)看作一個(gè)包，而且要知道當(dāng)前的知識(shí)在知識(shí)包中的作用。你還要知道你所教的這個(gè)知識(shí)受到哪些概念或過(guò)程的支持，所以你的教學(xué)要依賴于強(qiáng)化并詳細(xì)描述這些概念的學(xué)習(xí)。當(dāng)教那些將會(huì)支持其他過(guò)程的重要概念的時(shí)候，你應(yīng)該特別花力氣以確保你的學(xué)生能夠很好地理解這些概念，并能熟練地執(zhí)行這些過(guò)程?！保R立平，《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教》）比如，上述加法交換律的教學(xué)從一開始就確定了研究問(wèn)題的視角，將學(xué)生的注意力引向以下研究方向：從眾多例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、找反例驗(yàn)證規(guī)律、用自己個(gè)性化的方法表述規(guī)律、思考能否推廣到其他運(yùn)算中去，等等。一旦這些共識(shí)達(dá)成，剩下的工作就十分簡(jiǎn)單了，只需要“讓學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)展開數(shù)學(xué)的想象”，就能夠遷移到后續(xù)更多運(yùn)算律的學(xué)習(xí)當(dāng)中去了。

綜上所述，我們應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)思維的分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，從而幫助學(xué)生不僅能夠較好地掌握相關(guān)的知識(shí)與內(nèi)容，也能逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考：應(yīng)當(dāng)超出每一堂課的具體設(shè)計(jì)并從更大的范圍進(jìn)行分析思考。如此，教學(xué)因?yàn)橛辛艘欢ǖ膹V度，也就可能達(dá)到更大的深度。